線性代數第六章二次型與對稱矩陣第一講

1、第六章第六章 二次型與對稱矩陣二次型與對稱矩陣 二次型及其對稱矩陣在數學理論、數值計算及工二次型及其對稱矩陣在數學理論、數值計算及工 程應用中都占有重要地位。程應用中都占有重要地位。 1 1 二次型及其矩陣二次型及其矩陣221(1)axbxycycossinsincosyxyyxx221.mxny 在解析幾何中，為了便于研究二次曲線在解析幾何中，為了便于研究二次曲線的幾何性質，我們可以選擇適當的坐標變換：的幾何性質，我們可以選擇適當的坐標變換：把方程化為標準形把方程化為標準形 從代數從代數學的觀點看，化標準型的過程就是通過變量學的觀點看，化標準型的過程就是通過變量的線性變換化簡一個二次齊次多項

2、式，使它的線性變換化簡一個二次齊次多項式，使它只有平方項。這樣的問題，在許多理論問題只有平方項。這樣的問題，在許多理論問題或是實際問題中常會遇到?；蚴菍嶋H問題中常會遇到。 現(xiàn)在我們把這類問題一般化，討論現(xiàn)在我們把這類問題一般化，討論n個變個變量的二次齊次多項式的化簡問題。量的二次齊次多項式的化簡問題。 4.1 4.1 二次型概念二次型概念 定義定義1.11.1 含有含有n個變量個變量x1 , x2 ,xn的二次齊的二次齊次函數次函數nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),(nnxxaxa22222222nnnxaninjjiijxxa11ijjijiijjiijjiijx

3、xaxxaxxaaa2,（2） 1 1、二次型的矩陣形式、二次型的矩陣形式1211( ,)nnnijijijf x xxa x x 111 11221221 122221 122()()()nnnnnnnnnnx a xa xa xx a xa xa xx a xa xa x11 112 2121 122 22121 12 2( ,)n nn nnnnnn na xa xa xa xa xa xx xxa xa xa x1112112122221212nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaaxt.x ax其中其中11121121222212,.nnnnnnnaaaxaaaxaaaxax

4、1）稱稱a為二次型為二次型 f 的矩陣的矩陣，顯然顯然 a=at; 2）a=(aij), 若若 aij 為復數，稱為復數，稱 f 為為復二次型復二次型； 3）a=(aij), 若若 aij 為實數，稱為實數，稱 f 為為實二次型實二次型； 4）稱）稱r(a)為為二次型二次型 f 的秩的秩, ,記為記為r(f)。（3） 例例 1 1. 把下面的二次型寫成矩陣形式：把下面的二次型寫成矩陣形式：;34),() 1 (22212121xxxxxxf;34),()2(222121321xxxxxxxf 112312323120(2)(,),230.000 xf x xxxxxxx 11212212(1)

5、(,),;23xf xxxxx 解例例2.2.( (書書p168p168）.),(,021 2),(3222213211ttyyyybyygbyyyyyg 其中其中原二次型可表示為原二次型可表示為的矩陣為的矩陣為二次型二次型 2 2、線性變換、線性變換 定義定義1.21.2 把變量把變量x1,x2, ,xn化為變量化為變量y1,y2,yn的一組線性關系式的一組線性關系式11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp yp yxp yp yp y 叫做由變量叫做由變量x1,x2, ,xn化為變量化為變量y1,y2,yn的的 一個一個線性變換。線性變換。

6、1111121222122222,nnnnnnnnxypppxypppxypppxyp若記若記則線性變換可表示為則線性變換可表示為x=py （4） 上式中的矩陣上式中的矩陣p稱為該變換的稱為該變換的系數矩陣系數矩陣。當。當p p可逆可逆時，（時，（4）稱為）稱為可逆的線性變換可逆的線性變換；當當p不不可逆時，可逆時，（4）稱為不可逆的線性變換。當線性變換（）稱為不可逆的線性變換。當線性變換（4）可逆時，線性變換可逆時，線性變換y=p-1x (5) 稱為（稱為（4）式的）式的逆變換逆變換。 設設x=py是可逆的線性變換將二次型化為是可逆的線性變換將二次型化為f =(py)ta(py)=yt(pt

7、ap)y。則稱矩陣則稱矩陣a a、b b合同（或相合合同（或相合），），記為記為 。對。對方陣方陣a進行的運算進行的運算ptap稱為對稱為對a的的合同變換合同變換， p稱稱為為合同因子合同因子。baptap=b 定義定義1.31.3 對于對于n階矩陣階矩陣a、b, 如果有如果有n階階可逆矩陣可逆矩陣p使得使得 令令 b=ptap，則，則b是對稱矩陣，是對稱矩陣，ytby是新變量是新變量y1,y2, ,yn的一個二次型。變換前后兩個二次型矩的一個二次型。變換前后兩個二次型矩陣陣a、b間的這種關系間的這種關系稱為稱為合同關系合同關系。注：注：合同必等價，反之不真。合同必等價，反之不真。 顯然，合同

8、矩陣具有如下顯然，合同矩陣具有如下性質性質： 2）對稱性：若）對稱性：若 ，則，則 ; 1）反身性：）反身性： ； 3）傳遞性：若）傳遞性：若 ， ,則則 ; 4）若）若 ，則，則r(a)=r(b); 5）若若 ，且，且a為對稱矩陣，則為對稱矩陣，則b亦為亦為 對稱矩陣。對稱矩陣。baaaabcabababacbf(x)= xtax=(py)ta(py)=ytptapy=ytby。 顯然，如果二次型顯然，如果二次型xtax經可逆的線性變換經可逆的線性變換 x=py化為二次型化為二次型 ytby，則必有，則必有 ，即，即ba 合同與相似是兩個互相獨立的概念。合同合同與相似是兩個互相獨立的概念。合

9、同的矩陣未必相似，相似的矩陣也未必合同。的矩陣未必相似，相似的矩陣也未必合同。（參見（參見p170(a)3、4題）題）但是，對于實對稱矩但是，對于實對稱矩陣陣a，當合同因子，當合同因子p是正交矩陣時，由于是正交矩陣時，由于p-1= pt，所以對所以對a的合同變換與相似變換是一致的。的合同變換與相似變換是一致的。 綜上所述，綜上所述，二次型二次型f(x)= xtax能用可逆的線能用可逆的線性變換性變換x=py化為化為ytby的充分必要條件是有可逆的充分必要條件是有可逆矩陣矩陣p，使，使ptap=b。 2 2二次型的標準形二次型的標準形 定義定義2.12.1 稱只含有平方項稱只含有平方項(不含交叉

10、項不含交叉項)的二次型的二次型為二次型的為二次型的標準型（或法式）。標準型（或法式）。2221122nnfyyybbb112212tnyyyyyynnbbbyy （6） 顯然，一個二次型為標準形的充分必要條顯然，一個二次型為標準形的充分必要條件是它的矩陣為對角矩陣。件是它的矩陣為對角矩陣。 所謂一般二次型的化簡問題，就是尋找一所謂一般二次型的化簡問題，就是尋找一個可逆的線性變換：個可逆的線性變換：11111221221122221122,nnnnnnnnnnxc yc yc y xc yc yc yxc y +c y +c ytttt()()() .fx axcya cyyc ac yxcyf

11、x axt 標標。把化成準型于是即即 定理定理2.12.1 設設a為為n階對稱矩陣，二次型階對稱矩陣，二次型f(x)= xtax能用可逆線性變換能用可逆線性變換x=py化為標準化為標準形（形（6）的充分必要條件是存在）的充分必要條件是存在 n階可逆矩階可逆矩陣陣p使使ptap=b=diag(b1,b2, ，bn). 定理定理2.1告訴我們，二次型經可逆線告訴我們，二次型經可逆線性變換化為標準形的問題與對稱矩陣化為性變換化為標準形的問題與對稱矩陣化為對角矩陣的問題實質上是同一問題。對角矩陣的問題實質上是同一問題。 顯然，經可逆變換顯然，經可逆變換 x=c y 把把 f 化成化成 ytc tacy

12、 ，c tac 仍為對稱矩陣，且二次型的秩不變。仍為對稱矩陣，且二次型的秩不變。 2.1 2.1 用正交變換化實二次型為標準形用正交變換化實二次型為標準形 定理定理2.22.2 對于任意的對于任意的n元二次型元二次型f(x)= xtax，必有正交變換必有正交變換x=py，使，使f化為標準形化為標準形2221122nnf y y y其中其中1,2, ，n恰是恰是a的全部特征值。的全部特征值。（書（書p171p171） 應用定理應用定理2.2求實二次型求實二次型f(x)= xtax標準型標準型問題，其實質上就是用正交變換化實對稱矩陣問題，其實質上就是用正交變換化實對稱矩陣a為對角矩陣的問題。為對角

13、矩陣的問題。 其中其中1,2, ，n恰是恰是a的全部特征值。由定的全部特征值。由定理理2.1便知定理成立。便知定理成立。ptap=p-1ap= diag(1,2, ，n)， 證明證明 由于由于a為為n階對稱矩陣。由第五章定理階對稱矩陣。由第五章定理5.3知有知有n階正交矩陣階正交矩陣p，使得，使得用正交變換化二次型為標準形的具體步驟：用正交變換化二次型為標準形的具體步驟：;,. 1aaxxft求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 221na 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出對對應應于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnn

14、c 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffcyx 的的標標準準形形則則得得作作正正交交變變換換 解解 1）二次型的矩陣為）二次型的矩陣為0111101111011110a，121314232434222222 fx xx xx xx xx xx x為標化準形.（p171例例2.1）2)0,aea 由求 的特征值：1111111111111)1 (111111111111ae2111(1) 012021 1000212022101111)1 (222(1) (23)(1) (3)(1)0.得得a的特征值為的特征值為1 1=-3=-3，2=3= 4=1

15、，311111111311131 131131113111131113ae11111111022001100220004402240000 由由(a- -e) )x =0,求求a的全部特征向量，當的全部特征向量，當1=- -3時，時，解方程解方程(a- -3e)x =0.1 1111 0 010 11 00 1 01,0 0110 0 110 0000 0 00111,11 得基礎解系得基礎解系單位化，得單位化，得1111,121p1111111 111110000,1111000011110000a e,.xxxxxxxxxx1234223344解得23410.aex當，（）解方程由1223

16、434111100010001xxkkkxx ，即k2,k3,k4不同時為零不同時為零.234101101,.011011 234101101221,.011222011ppp 取取單位化，得單位化，得222212343fyyyy . 1122334411102221110222,11102221110222xyxyxyxy（4）令）令p=(p1,p2,p3,p4),于是得正交變換于是得正交變換x=py,即即5）用正交變換）用正交變換x=py將將f化成標準形化成標準形例例2 2 試求實二次型試求實二次型 322132186),(xxxxxxxf 的標準形。不要求給出所用的可逆線性變換。的標準形

17、。不要求給出所用的可逆線性變換。解解 實二次型實二次型 f 的矩陣為的矩陣為 040403030a依題意，只要求出依題意，只要求出a的特征值就可以了。由的特征值就可以了。由（p173例例2.3）.55 055 )25(40430322213212yyfaae 的的一一個個標標準準形形為為于于是是二二次次型型，的的特特征征值值為為知知 2.2 用拉格朗日配方法化二次型為標準形用拉格朗日配方法化二次型為標準形22212311322522623 f=x + x + x + x x + x x + x x標標可可逆逆線線性性變變換換例3.用配方法化二次型成準形，并求出所用的. 解解 由于由于 f 中含

18、有的平方項，故把含有中含有的平方項，故把含有 x1 的項的項歸為一類，配方得：歸為一類，配方得：23223212332222321322322323121232221)2()()2 ()2 (2)(44222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfyxxxyxxyx112322333,2, 令令112322333,2,.xyyyxyyx y即 所用的線性變換為所用的線性變換為112233111012.001xyxyxy則該變換把則該變換把f化成標準形為化成標準形為2212. fyy,xyyxyyxy11221233 解解 在在f中不含有平方項，由于含有中不含有平方項，由于含有x1,

19、x2的乘積的乘積項，故令項，故令成標準型，并求出所用的可逆的線性變換成標準型，并求出所用的可逆的線性變換.121323226fx xx xx x 例例4.4. 用配方法化二次型用配方法化二次型（p175例例2.5）代入可得代入可得221213232222211332233322213233224824228862()2(2)6f yyy yy yyy yyyy yyyyyyyy11322333,2,zyyzyyzy 令11322333,2,yzzyzzyz 即1111222233331 1 01 0 111 00 1 2,0 0 10 0 1xyyzxyyzxyyz 和所用的線性變換為所用的線

20、性變換為則該變換把則該變換把f化成標準形化成標準形222123226. fzzz123123123110101110012001001113111,001zzzz zzxxx說明：說明：用配方法化二次型為標準形的用配方法化二次型為標準形的 關鍵在于消去交叉項。關鍵在于消去交叉項。 一般有以下兩種情形：一般有以下兩種情形：（1）二次型中含某變量）二次型中含某變量 的平方項和交叉項，先集中的平方項和交叉項，先集中含含 的交叉項，然后與的交叉項，然后與 配方，化成完全平方，令新配方，化成完全平方，令新變量代替各個平方項中的變量，即可作出可逆的線性變換，變量代替各個平方項中的變量，即可作出可逆的線性變

21、換，同時立即寫出她的逆變換（即用新變量表示舊變量的變同時立即寫出她的逆變換（即用新變量表示舊變量的變換），換），需要注意的是需要注意的是： 每次只能對一個變量配平方，余下的項中每次只能對一個變量配平方，余下的項中不應再出現(xiàn)此變量，以保證所做的變換是可逆變換。不應再出現(xiàn)此變量，以保證所做的變換是可逆變換。 再對剩下的變量同樣進行，直到各項都化為平方項為止。再對剩下的變量同樣進行，直到各項都化為平方項為止。2ixixix（2）二次型中沒有平方項，只有交叉項，則先利）二次型中沒有平方項，只有交叉項，則先利用平方差公式構造可逆線性變換，化二次型為含平用平方差公式構造可逆線性變換，化二次型為含平方項的二

22、次型，如當方項的二次型，如當 的系數的系數 時，則令時，則令）處處理理。情情形形（再再按按項項代代入入二二次次型型后后出出現(xiàn)現(xiàn)平平方方1,),( 22jijiijkkjijjiiyayajikyxyyxyyx 0 ijajixx說明說明: 任何二次型都可以用配方法化為標準形任何二次型都可以用配方法化為標準形.定理定理2.32.3 任何二次型必可經過可逆線性變換化任何二次型必可經過可逆線性變換化 為標準形為標準形.定理定理2.42.4 任何對稱矩陣必可合同于對角矩陣任何對稱矩陣必可合同于對角矩陣.小結小結將一個二次型化為標準形，可以用將一個二次型化為標準形，可以用正交變換正交變換法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，這取決于問題