北師大版三角形的證明(全章節(jié)復(fù)習(xí)題)

1、 等腰三角形（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念, 掌握等腰三角形的軸對(duì)稱性；2. 掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，會(huì)利用這些性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理、證明、計(jì)算和作圖3. 理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定方法及其證明過程. 通過定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.4. 理解反證法并能用反證法推理證明簡單幾何題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中，ABA

2、C，ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B、C是底角2.等腰三角形的作法 已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a； 2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧 相交于點(diǎn)A; 3.連接AB,AC. ABC為所求作的等腰三角形3.等腰三角形的對(duì)稱性 (1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形； (2)BC； (3)BDCD，AD為底邊上的中線.(4)ADBADC90°，AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸.4.等邊三角形三條邊都相等的三角

3、形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對(duì)稱軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對(duì)稱軸.要點(diǎn)詮釋：（1）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.A180°2B，BC .（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”推論：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互

4、相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”2.等腰三角形中重要線段的性質(zhì)等腰三角形的兩底角的平分線（兩腰上的高、兩腰上的中線）相等.要點(diǎn)詮釋：這條性質(zhì)，還可以推廣到一下結(jié)論：（1）等腰三角形底邊上的高上任一點(diǎn)到兩腰的距離相等。（2）等腰三角形兩底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等.（3）等腰三角形兩底角平分線，兩腰上的中線，兩腰上的高的交點(diǎn)到兩腰的距離相等，到底邊兩端上的距離相等.（4）等腰三角形頂點(diǎn)到兩腰上的高、中線、角平分線的距離相等.要點(diǎn)三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊. 要點(diǎn)詮釋：(1)要

5、弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個(gè)三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因?yàn)檫€未判定它是一個(gè)等腰三角形2.等邊三角形的判定定理三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.3. 含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)四、反證法在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推導(dǎo)論證，最后推出與學(xué)過的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾

6、的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明命題的方法叫做反證法.要點(diǎn)詮釋：反證法也稱歸謬法，是一種間接證明的方法，一般適用于直接證明有困難的命題一般證明步驟如下：（1） 假定命題的結(jié)論不成立； （2） 從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學(xué)過的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果； （3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的.【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)角度的計(jì)算題1、如圖，在ABC中，D在BC上，且ABACBD，130°，求2的度數(shù).舉一反三：【變式】已知：如圖，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，ACBCBD，ADAE，D

7、ECE，求B的度數(shù)類型二、等腰三角形中的分類討論2、在等腰三角形中，有一個(gè)角為40°，求其余各角3、已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊舉一反三：【變式】已知等腰三角形的底邊BC8，且|ACBC|2，那么腰AC的長為( ) A10或6 B10 C6 D8或6類型三、等腰三角形的性質(zhì)及其運(yùn)用4、如圖，在ABC中，邊ABAC求證：ACBABC舉一反三：【變式】已知：如圖，在ABC中，AB=AC，A=60°，BD是中線，延長BC至點(diǎn)E，使CE=CD求證：DB=DE5、已知：如圖，ABC的兩條高BE、CD相交于點(diǎn)O，且OB=OC，求證：ABC是等腰三角形舉一反三【變式

8、1】如圖，在ABC中，AB=AC，BAD=CAE，點(diǎn)D、E在BC上，試說明ADE是等腰三角形類型三、 含有30°角的直角三角形6. 如圖所示，ABC中，ACB=90°，CDAB，垂足是D，A=60°.求證：BD=3AD. 舉一反三：【變式】如圖，等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P，AP=3，BP=4，CP=5，求APB的度數(shù)類型四、反證法7. 求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°。舉一反三：【變式】下列選項(xiàng)中，可以用來證明命題“若a21，則a1”是假命題的反例是（） A . a= 2 B . a= 1 C . a=1 D. a=2【鞏固練習(xí)】一.選

9、擇題1. 已知一個(gè)等腰三角形兩邊長分別為5，6，則它的周長為( ) A16 B17 C16或17D10或122. 用反證法證明命題：如果ABCD，ABEF，那么CDEF，證明的第一個(gè)步驟是（） A. 假設(shè)CDEF ;B. 假設(shè)ABEFC. 假設(shè)CD和EF不平行D. 假設(shè)AB和EF不平行3. 將兩個(gè)全等的且有一個(gè)角為30°的直角三角形拼成如圖所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（ ）A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)4. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x4|+(y8)20，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A20或16B20 C16D以上答案均不

10、對(duì)5. 如圖，D是AB邊上的中點(diǎn)，將沿過D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上F處，若，則度數(shù)是（ ） A60° B70° C80° D不確定 6. 如圖，在ABC中，AB=AC，BD是ABC的平分線，若ADB=93°，則A=（）A31°B46.5°C56°D62°二.填空題7如圖，ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，ADBDBC，若A40°，則CBD_° 8. 等腰三角形的頂角比其中一個(gè)底角大30°，則頂角的度數(shù)為 9.用反證法證明“如果同位角不相等，那么這兩條直線不平行“的第一步應(yīng)假設(shè)_.10.

11、等腰三角形的一個(gè)角是70°，則它的頂角的度數(shù)是 .11.如圖，AD是ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出ABC是等腰三角形的是_（把所有正確答案的序號(hào)都填寫在橫線上）BAD=ACD；BAD=CAD；AB+BD=AC+CD；ABBD=ACCD12. 如圖，ABC的周長為32，且AB=AC，ADBC于D，ACD的周長為24，那么AD的長為 .三.解答題13已知：如圖，ABC中，ABAC，D是AB上一點(diǎn)，延長CA至E，使AEAD試確定ED與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論14.如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，BECE于點(diǎn)EADCE于點(diǎn)D求證：BECCDA

12、15. 用反證法證明：等腰三角形的底角是銳角角的平分線的性質(zhì)（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì)2掌握角平分線的判定及角平分線的畫法3. 熟練運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.要點(diǎn)詮釋：用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PEAD于點(diǎn)E，PFBD于點(diǎn)F，則PEPF.要點(diǎn)二、角的平分線的判定 角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)詮釋：用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：若PEAD于點(diǎn)E，PFBD于點(diǎn)F，PEPF，則P

13、D平分ADB要點(diǎn)三、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.要點(diǎn)四、三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個(gè)旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè).如圖所示：ABC的內(nèi)心為，旁心為，這四個(gè)點(diǎn)到ABC三邊所在直線距離相等.【典型例題】類型一、角的平分線的性質(zhì)1

14、如圖，ACB90°,BD平分ABC交AC于D，DEAB于E，ED的延長線交BC的延長線于F. 求證：AECF.2、如圖, ABC中, C 90°, AC BC, AD平分CAB, 交BC于D, DEAB于E, 且AB6, 則DEB的周長為( ) A. 4B. 6C.10D. 以上都不對(duì)舉一反三：【變式】已知：如圖，AD是ABC的角平分線，且，則ABD與ACD的面積之比為（ ）A3：2 B C2：3 D.3、如圖，OC是AOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)，PDOA交于點(diǎn)D，PEOB交于點(diǎn)E，F(xiàn)是OC上除點(diǎn)P、O外一點(diǎn)，連接DF、EF，則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論類型二、

15、角的平分線的判定4、已知，如圖，CEAB,BDAC,BC，BFCF.求證：AF為BAC的平分線.舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別是E，F(xiàn)，BECF求證：AD是ABC的角平分線.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. AD是ABC的角平分線, 自D點(diǎn)向AB、AC兩邊作垂線, 垂足為E、F, 那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ) A.DE DFB. AE AF C.BD CD D. ADE ADF2如圖，在RtABC中，C90°，BD是ABC的平分線，交AC于D，若CD，AB，則ABD的面積是（ ）A B CD23. 如圖，平分于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，

16、則的最小值為（ ）A.1 B.2 C.3 D. 44. 到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（ ）A.三角形三條高線的交點(diǎn) B.三角形三條中線的交點(diǎn)C三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)D.三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)5. 如圖，下列條件中不能確定點(diǎn)O在APB的平分線上的是（ ） APBAPDC B. AODCOB C. ABPD，DCPB D.點(diǎn)O到APB兩邊的距離相等.6. 已知，如圖，ABCD，BAC、ACD的平分線交于點(diǎn)O，OEAC于E，且OE5，則直線AB與CD的距離為（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20二.填空題7如圖，已知C90°，AD平分BAC，BD2CD，若點(diǎn)D到AB的距

17、離等于5，則BC的長為_8. 如圖，在ABC中，C90°，DEAB，12，且AC6，那么線段BE是ABC的 ，AEDE。9. 已知：如圖，在ABC中，BD、CE分別平分ABC、ACB，且BD、CE交于點(diǎn)O，過O作OPBC于P，OMAB于M，ONAC于N，則OP、OM、ON的大小關(guān)系為_10.如圖,直線、表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,可供選擇的地址有 處.11已知：如圖，在RtABC中，C90°，沿著過點(diǎn)B的一條直線BE折疊ABC，使C點(diǎn)恰好落在AB邊的中點(diǎn)D處，則A的度數(shù)等于_12.已知如圖點(diǎn)D是ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，下列說

18、法（1）ADCD (2)D到AB、BC的距離相等（3）D到ABC的三邊的距離相等 （4）點(diǎn)D在B的平分線上其中正確的說法的序號(hào)是_.三.解答題13已知，如圖，CD90°,E是CD上一點(diǎn)，AE、BE分別平分DAB、ABC.求證：E是CD的中點(diǎn).14如圖，在ABC中，C90°，BD平分ABC，DEAB于E，若BCD與BCA的面積比為38，求ADE與BCA的面積之比15. 已知：如圖，ABC的外角CBD和BCE的平分線BF、CF交于點(diǎn)F.求證：一點(diǎn)F必在DAE的平分線上線段的垂直平分線-知識(shí)講解(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能夠利用尺規(guī)作已知線

19、段的垂直平分線2.會(huì)證明三角形的三條中垂線必交于一點(diǎn).掌握三角形的外心性質(zhì)定理.3.已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形. 4.能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理解決簡單的幾何問題及實(shí)際問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段的垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線2.線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法： （1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)； （2）作直線CD，CD即為所求直線要點(diǎn)詮釋：(1)作弧時(shí)的半徑必須大于AB的長，否則就不能得到兩弧的交點(diǎn)了(2)線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直

20、線.要點(diǎn)二、線段的垂直平分線定理線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等要點(diǎn)詮釋：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一同時(shí)也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件要點(diǎn)三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上要點(diǎn)詮釋：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)

21、的集合要點(diǎn)四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心外心. 要點(diǎn)詮釋:1.三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)（三線共點(diǎn)），該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.2.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合. 3.外心到三頂點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類試題，它要求寫出“已知，求作，作法和畫圖”，畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫出作法，但是必須保留痕跡.證明過程一般不用寫出來.最后要點(diǎn)題即“xxx即為所求”.【典型例題】類型一、線段的垂直平分線

22、定理1、如圖，ABC中ACBC，邊AB的垂直平分線與AC交于點(diǎn)D，已知AC=5，BC=4，則BCD的周長是（ ） A9 B8 C7 D6舉一反三：【變式1】如圖，在ABC中，AB=AC，A=36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論錯(cuò)誤的是（）ABD平分ABC BBCD的周長等于AB+BCCAD=BD=BC D點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)【變式2】如圖所示，在ABC中，DE是AC的中垂線，AE3cm，ABD的周長為13cm，則ABC的周長是 cm類型二、線段的垂直平分線的逆定理2、如圖，已知AB=AC,ABD=ACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線舉一反三：【變式】如圖，

23、P是MON的平分線上的一點(diǎn)，PAOM,PBON,垂足分別為A、B求證：PO垂直平分AB類型三、線段的垂直平分線定理與逆定理的綜合應(yīng)用3、已知：如圖，AB=AC，DB=DC，E是AD上一點(diǎn) 求證：BE=CE 4、如圖所示，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC，D為BC邊上的中點(diǎn)，CEAD于點(diǎn)E，BFAC交CE的延長線于點(diǎn)F，求證：AB垂直平分DF舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，AB=AC，A=120°，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、N. 求證：CM=2BM. 類型四、尺規(guī)作圖5、如圖，A，B，C是新建的三個(gè)居民小區(qū)，我們已經(jīng)在到三個(gè)小區(qū)距離相等的地方修

24、建了一所學(xué)校，你能確定學(xué)校的位置嗎？線段的垂直平分線鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一選擇題1如圖，在RtABC中，B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E已知BAE=10°，則C的度數(shù)為（）A30° B40° C50° D60°2如圖，ABC中，DE是AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，已知AE=1cm，ACD的周長為12cm，則ABC的周長是（）A13cm B14cm C15cm D16cm3 如圖，在ABC中，A=105°，AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C，且AB+BC=BE，則B的度數(shù)是（

25、）A45° B60° C50° D55°4如圖，已知直角三角形ABC中，ACB=90°，E為AB上一點(diǎn)，且CE=EB，EDCB于D，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）AAE=BE BCE=AB CCEB=2A DAC=AB5如圖，等腰ABC中，AB=AC，A=20°線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則CBE等于（）A、80°B、70°C、60°D、50°6如圖所示，BEAC于點(diǎn)D，且ADCD，BDED，若ABC54°，則E（ ）A25° B27° C

26、30° D45°二填空題7 ABC中，若ABAC2cm，BC的垂直平分線交AB于D點(diǎn)，且ACD的周長為14cm，則AB_，AC_8如圖，ABC中，ABAC，AB的垂直平分線交AC于P點(diǎn)（1）若A35°，則BPC_；（2）若AB5 cm，BC3 cm，則PBC的周長_9如圖，在ABC中，BC邊上的垂直平分線DE交邊BC于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E若EDC的周長為24，ABC與四邊形AEDC的周長之差為12，則線段DE的長為 10如圖，在ABC中，C90°，A30°，CD2cm， AB的垂直平分線MN交AC于D，連結(jié)BD，則AC的長是_cm 11如圖，在

27、ABC中，C90°，AB的垂直平分線MN分別交AC，AB于點(diǎn)D，E 若CBD : DBA 3:1，則A的度數(shù)為_ 12如圖，在ABC中，AC16cm，AB的垂直平分線交AC于D，如果BC10 cm，那么BCD的周長是 cm三解答題： 13已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD的垂直平分線交BC的延長線于F求證：BAF=ACF14如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BEAE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F求證：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD15為了推進(jìn)農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革，準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個(gè)醫(yī)療點(diǎn)P，使P到該鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村的村委會(huì)所

28、在地的距離都相等（A、B、C不在同一直線上，地理位置如下圖），請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)P的位置要求：寫出已知、求作；不寫作法，保留作圖痕跡三角形的證明全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.經(jīng)歷回顧與思考的過程，深刻理解和掌握定理的探索和證明.2.結(jié)合具體實(shí)例感悟證明的思路和方法，能運(yùn)用綜合、分析的方法解決有關(guān)問題.3.能正確運(yùn)用尺規(guī)作圖的基本方法作已知線段的垂直平分線和角的平分線，以及繪制特殊三角形.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形1.三角形全等的性質(zhì)及判定全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)：等腰三

29、角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）3.等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸.判定定理：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.4.含30°的直角三角形的邊的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)詮釋：等邊三角形是中

30、考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì)算也很常見，因此對(duì)于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，不如邊長為a的等邊三角形他的高是，面積是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中邊與角的關(guān)系，打破了以往那種只有角或邊的關(guān)系，同時(shí)也為我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).要點(diǎn)二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.命題與逆命題命題包括題設(shè)和結(jié)論兩部分；逆命題是將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到的；正確的逆命題就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角

31、三角形全等（HL）要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理在語言敘述的時(shí)候一定要注意，不能說成“兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應(yīng)該說成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”.直角三角形的全等判定方法，還有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5種判定方法.要點(diǎn)三、線段的垂直平分線1.線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.2.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的

32、長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線.要點(diǎn)詮釋：注意區(qū)分線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應(yīng)用范圍；利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距離最短問題.要點(diǎn)四、角平分線1.角平分線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.2.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線要點(diǎn)詮釋：注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應(yīng)用范圍；幾何語言的表述，這也是證明線段相

33、等的一種重要的方法.遇到角平分線時(shí)，要構(gòu)造全等三角形.【典型例題】類型一、能證明它們么1. 如圖，ACD和BCE都是等腰直角三角形，ACD=BCE=90°，AE交CD于點(diǎn)F，BD分別交CE、AE于點(diǎn)G、H試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由舉一反三：【變式】將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖1方式擺放，其中ACB=DEB=90°，A=D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F（1）求證：AF+EF=DE；（2）若將圖1中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，且0°60°，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出變換后的圖形，

34、并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖1中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，且60°180°，其它條件不變，如圖3你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由類型二、直角三角形2. 下列說法正確的說法個(gè)數(shù)是（）兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 43. 如圖：AB=AD，ABC=ADC=90°，EF過點(diǎn)C，B

35、EEF于E，DFEF于F，BE=DF 求證：RtBCERtDCF類型三、線段垂直平分線4. 如圖，在銳角ABC中，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，AD、CE相交于F，BF的中點(diǎn)為P，AC的中點(diǎn)為Q，連接PQ、DE（1）求證：直線PQ是線段DE的垂直平分線；（2）如果ABC是鈍角三角形，BAC90°，那么上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)按鈍角三角形改寫原題，畫出相應(yīng)的圖形，并給予必要的說明舉一反三：【變式】在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，A=40度（1）求M的度數(shù)；（2）若將A的度數(shù)改為80°，其余條件不變，再求M的大?。唬?）你發(fā)現(xiàn)

36、了怎樣的規(guī)律？試證明；（4）將（1）中的A改為鈍角，（3）中的規(guī)律仍成立嗎？若不成立，應(yīng)怎樣修改類型四、角平分線5. 如圖，ABC中，A=60°，ACB的平分線CD和ABC的平分線BE交于點(diǎn)G求證：GE=GD舉一反三：【變式】如圖：在ABC中，C=90° AD是BAC的平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；證明：（1）CF=EB （2）AB=AF+2EB三角形的證明全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【鞏固練習(xí)】一.選擇題1有一塊邊長為24米的正方形綠地，如圖所示，在綠地旁邊B處有健身器材，由于居住在A處的居民踐踏了綠地，小明想在A處樹立一個(gè)標(biāo)牌“少走米，踏之何忍”請(qǐng)你

37、計(jì)算后幫小明在標(biāo)牌的“”填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字是（） A3米 B4米 C5米 D6米2. 設(shè)M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形，則下列四個(gè)圖中，能表示它們之間關(guān)系的是（）A BC D3. 如圖，EAAB，BCAB，EA=AB=2BC，D為AB中點(diǎn)，有以下結(jié)論：(1)DE=AC；(2)DEAC；(3)CAB=30°；(4)EAF=ADE。其中結(jié)論正確的是（ ）A、(1)，(3) B、(2)，(3) C、(3)，(4) D、(1)，(2)，(4)4. 如圖，ABC中，C=90°，AC=BC，AD平分CAB交BC于點(diǎn)D，DEAB，垂足為E，且AB=6cm，則DEB的周長為（ ）A、4cm B、6cm C、8 cm D、10cm5.如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，且BD=BC=AD，則A的度數(shù)為（ ）A、30° B、36° C、45° D、70°6.如圖，已知AC平分PAQ，點(diǎn)B，B分別在邊AP，