計(jì)算二重積分課件

1、計(jì)算二重積分PPT課件計(jì)算二重積分PPT課件為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積以曲面以曲面為底，為底，的值等于以的值等于以),( ),(yxfzDdyxfD 應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法, ,axb),( yxfzzyxVdyxfD ),( badxxA)()(xA基本思路：化為定積分基本思路：化為定積分 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算計(jì)算二重積分PPT課件1. 直角坐標(biāo)系下的計(jì)算法直角坐標(biāo)系下的計(jì)算法yxoab)(2xy)(1xyDyxoabD)(1xy)(2xyyxoabD)(2xy)(1xy(1) X型積分區(qū)域型積分區(qū)域D: 1

2、(x)y 2(x) , a xb 特點(diǎn)特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).計(jì)算二重積分PPT課件zxoaby),(yxfz )(2xy)(1xyx+dxxdyyxfxx )()(21),( A( x) Ddyxf ),( A( x) 1(x) 2(x)z=f (x, y)yz baxxdxdyyxf),( )()(21 Ddyxf ),( badxxA)(計(jì)算二重積分PPT課件后積分的先定限后積分的先定限, ,先積分的后定限先積分的后定限, ,限內(nèi)作條線限內(nèi)作條線, ,先交的為下限先交的為下限, ,后交的為上限。后

3、交的為上限。 ),( )()(21 baxxdyyxfdx Ddyxf ),(D是是X型區(qū)域，二重積分化為先對(duì)型區(qū)域，二重積分化為先對(duì)y， 后對(duì)后對(duì)x的二次積分。的二次積分。關(guān)鍵：確定各積分變量的積分限。關(guān)鍵：確定各積分變量的積分限。計(jì)算二重積分PPT課件例例1,d Dxy 計(jì)計(jì)算算其中其中D為為y2 =x 和和y =x2 所圍的閉區(qū)域所圍的閉區(qū)域.yxoy=x2 xy 11解解: : D D為為X型區(qū)域型區(qū)域 102dd d xxDyxyxxy xyxxxd21022 xxxd)(211052 10636321 xx121 xyxxD 2, 10計(jì)算二重積分PPT課件(2) Y型積分區(qū)域型積

4、分區(qū)域D： 1(y)x 2(y) , c ydyxocdDx= 1( y)x= 2( y)yxoDx= 1( y)x= 2( y)cd dcyyDyxyxfyxfdd),( d),()()(21 dcyyxyxfy)()(21d),(d yxocdDx= 1( y)x= 2( y)計(jì)算二重積分PPT課件后積分的先定限后積分的先定限, ,先積分的后定限先積分的后定限, ,限內(nèi)作條線限內(nèi)作條線, ,先交的為下限先交的為下限, ,后交的為上限。后交的為上限。D是是Y 型區(qū)域，二重積分化為先對(duì)型區(qū)域，二重積分化為先對(duì)x， 后對(duì)后對(duì)y的二次積分。的二次積分。關(guān)鍵：確定各積分變量的積分限。關(guān)鍵：確定各積分

5、變量的積分限。 d),( Dyxf dcyyxyxfy)()(21d),(d 計(jì)算二重積分PPT課件yxox=y2 yx 11D D也為也為Y型區(qū)域型區(qū)域 10dd d 2xxyyxyyyD 121 例例1,d Dxy 計(jì)計(jì)算算其中其中D為為y2 =x 和和y =x2 所圍的閉區(qū)域所圍的閉區(qū)域. yxyyD 2, 10計(jì)算二重積分PPT課件 X型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界

6、相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.計(jì)算二重積分PPT課件例例2,2 Dydx計(jì)算計(jì)算其中其中D為由為由 x=0 和和 y=0 及及 y = 2 2x所圍成閉域所圍成閉域. .y yx xo o2 21 1y y = 2= 2 2 2x x解解: : D為為X型區(qū)域型區(qū)域 1022022dd dyyxxyxxD xyxxd21022022 xxxxd )484(2110432 105435423421 xxx151 計(jì)算二重積分PPT課件yxo2121yxD也為也

7、為Y型區(qū)域型區(qū)域 2021022dd dxyxyyxyD 151 計(jì)算二重積分PPT課件y yx xo oyx1x= =y 例例3 計(jì)算計(jì)算 2112222dddyyDxyxyyx ,d22 Dyx 其中其中D由由y =2, y=x及及xy=1所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域2 21 1解解: D為為Y型區(qū)域型區(qū)域 21132d31yxyyy 215d)1(31yyy214241231 yy19281 計(jì)算二重積分PPT課件若先對(duì)若先對(duì)y再對(duì)再對(duì)x積分積分 21ddd 222222DDDyxyxyx 212221212122ddddxxyyxxyyxx19281 yxo21xy1x=y21D1D2 D也為

8、也為X型區(qū)域型區(qū)域計(jì)算二重積分PPT課件xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖計(jì)算二重積分PPT課件xy 222xxy 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖計(jì)算二重積分PPT課件 1210sinxdyydx計(jì)計(jì)算算yxoy=xy=1x=0D解解區(qū)域區(qū)域D既是既是X型，又是型，又是Y型的型的可積，可積，由一元積分學(xué)知由一元積分學(xué)知 102sin dyy但但siny2的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)原積分不能直接得到原積分不能直接得到Idyydxx 1210sin ydxydy0210sin 102sindyy

9、y 1cos121 先交換積分順序先交換積分順序例例6計(jì)算二重積分PPT課件,22dxdyexIDy 計(jì)計(jì)算算圍圍成成。為為其其中中xyyxD , 1,0yxoy=xy=1x=0D解解區(qū)域區(qū)域D既是既是X型，又是型，又是Y型的型的。的的原原函函數(shù)數(shù)不不是是初初等等函函數(shù)數(shù)2ye yydxexdyI02102 313102yoyxdye 1022261ydeyye3161 例例7 103231dyeyy計(jì)算二重積分PPT課件求兩個(gè)底面半徑相等的直交圓柱所圍成立體的求兩個(gè)底面半徑相等的直交圓柱所圍成立體的體積。體積。yxzoRD1解解如圖設(shè)兩個(gè)圓柱的方程為如圖設(shè)兩個(gè)圓柱的方程為,222222Rzx

10、Ryx 222Rzx 2210 ,0),(xRyRxyxD dxdyxRVD 1221dyxRdxxRR 220220 302232RdxxRR 313168RVV 例例8xoD22xRyyR計(jì)算二重積分PPT課件二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）二、小結(jié)二、小結(jié).),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型計(jì)算二重積分PPT課件設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)Adxxf 10)(， 求求 110)()(x

11、dyyfxfdx.思考題思考題計(jì)算二重積分PPT課件 1)(xdyyf不不能能直直接接積積出出,改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考題解答思考題解答則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf計(jì)算二重積分PPT課件故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 計(jì)算二重積分PPT課件一、一、 填空題填空題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Dd

12、yxx )cos(_._.其中其中D是頂是頂 點(diǎn)分別為點(diǎn)分別為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形閉區(qū)域的三角形閉區(qū)域 . . 3 3、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x軸及半圓周軸及半圓周)0(222 yryx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,化為先對(duì)化為先對(duì)y后對(duì)后對(duì)x的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題計(jì)算二重積分PPT課件 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對(duì)化為先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y的二次

13、積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為 _. _. 5 5、將二次積分、將二次積分 22221),(xxxdyyxfdx改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._. 6 6、將二次積分、將二次積分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._.計(jì)算二重積分PPT課件 7 7、將二次積分、將二次積分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._.二、畫出積分區(qū)域二、畫出積分區(qū)域, ,并計(jì)算下列二重積分并計(jì)算下列二重積分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所確

14、定的閉區(qū)域所確定的閉區(qū)域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直線是由直線 xyxyy2, 2 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。計(jì)算二重積分PPT課件4 4、,2 Ddxdyxy其其中中D: : 20 , 11 yx. .三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線由直線, 2 yxxy 和和x軸所圍成軸所圍成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求該求該薄片的質(zhì)量薄片的質(zhì)量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所圍成的所圍成的立體的體積立體的體積 . .計(jì)算二重積分PPT課件一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22121121),(),(yydxyx