2017年浙江嘉興高考數(shù)學一模試卷

1、2017年浙江省嘉興市高考數(shù)學一模試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1設復數(shù)z=1i（i是虛數(shù)單位），則+z等于（）A2B2C2iD2i2已知R，則“cos=”是“=2k+，kZ”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件3已知a為實數(shù)，設函數(shù)f（x）=，則f（2a+2）的值為（）A2aBaC2Da或24已知實數(shù)x，y滿足，若ax+y的最大值為10，則實數(shù)a=（）A4B3C2D15設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若=，則=（）ABCD6已知拋物線y2=4x的焦點為F，直線l過F且與拋物線交于A、B兩點，若|AB|=5，則AB中點的橫坐標為（）A

2、B2CD17函數(shù)f（x）=（）xx2的大致圖象是（）ABCD8已知平面向量、滿足|=|=1， =，若向量滿足|+|1，則|的最大值為（）A1BCD29已知函數(shù)f（x）=3sin（3x+），x0，則y=f（x）的圖象與直線y=2的交點個數(shù)最多有（）A2個B3個C4個D5個10如圖，點F1、F2是橢圓C1的左右焦點，橢圓C1與雙曲線C2的漸近線交于點P，PF1PF2，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1、e2，則（）Ae22=Be22=Ce22=De22=二、填空題（共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，滿分36分）11已知集合A=x|1x2，B=x|x24x0，則AB=，A（RB）=12某

3、幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是cm2，體積是cm313已知隨機變量的分布列如下： 012 Pb a2則E（）的最小值為，此時b=14已知f（x）=x2，g（x）=2x5，則不等式|f（x）|+|g（x）|2的解集為；|f（2x）|+|g（x）|的最小值為15動點P從正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A出發(fā)，沿著棱運動到頂點C1后再到A，若運動中恰好經(jīng)過6條不同的棱，稱該路線為“最佳路線”，則“最佳路線”的條數(shù)為（用數(shù)字作答）16已知a0，b0，且滿足3a+b=a2+ab，則2a+b的最小值為17如圖，已知三棱錐ABCD的所有棱長均相等，點E滿足=3，點P在棱AC上

4、運動，設EP與平面BCD所成角為，則sin的最大值為三、解答題（共5小題，滿分74分）18在銳角ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若A滿足2cos2A+cos（2A+）=（）求A的值；（）若c=3，ABC的面積為3，求a的值19如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱AA1底面ABCD，AB=1，AC=，BC=BB1=2（）求證：AC平面ABB1A1；（）求二面角AC1DC的平面角的余弦值20已知函數(shù)f（x）=xalnx+b，a，b為實數(shù)（）若曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為y=2x+3，求a，b的值；（）若|f（x）|對x2，3恒成立，

5、求a的取值范圍21如圖，設斜率為k（k0）的直線l與橢圓C： +=1交于A、B兩點，且OAOB（）求直線l在y軸上的截距（用k表示）；（）求AOB面積取最大值時直線l的方程22已知數(shù)列an滿足：a1=，an=an12+an1（n2且nN）（）求a2，a3；并證明：2an3；（）設數(shù)列an2的前n項和為An，數(shù)列的前n項和為Bn，證明： =an+12017年浙江省嘉興市高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1設復數(shù)z=1i（i是虛數(shù)單位），則+z等于（）A2B2C2iD2i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的加減運算【分析】利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出

6、【解答】解： +z=+1i=+1i=1+i+1i=2故選：A2已知R，則“cos=”是“=2k+，kZ”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】cos=，解得=2k±，kZ，即可判斷出結(jié)論【解答】解：cos=，解得=2k±，kZ，“cos=”是“=2k+，kZ”的必要但充分條件故選：B3已知a為實數(shù)，設函數(shù)f（x）=，則f（2a+2）的值為（）A2aBaC2Da或2【考點】函數(shù)的值【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)值即可【解答】解：函數(shù)f（x）=，f（2a+2）=log2（2a+22）=a，故

7、選：B4已知實數(shù)x，y滿足，若ax+y的最大值為10，則實數(shù)a=（）A4B3C2D1【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，判斷最優(yōu)解的位置，將點的坐標代入求出a的值即可【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：由，解得A（3，4），令z=ax+y，因為z的最大值為10，所以直線在y軸上的截距的最大值為10，即直線過（0，10），所以z=ax+y與可行域有交點，當a0時，直線經(jīng)過A時z取得最大值即ax+y=10，將A（3，4）代入得：3a+4=10，解得：a=2，當a0時，直線經(jīng)過A時z取得最大值即ax+y=10，將A（3，4）代入得：3a+4=10，解得：a=2，與a0矛盾，綜

8、上：a=25設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若=，則=（）ABCD【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)【分析】利用=，可得d=a1，即可求出【解答】解：設公差為d，則=，d=a1，=，故選A6已知拋物線y2=4x的焦點為F，直線l過F且與拋物線交于A、B兩點，若|AB|=5，則AB中點的橫坐標為（）AB2CD1【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】先根據(jù)拋物線方程求出p的值，再由拋物線的性質(zhì)可得到答案【解答】解：拋物線y2=4x，P=2，設經(jīng)過點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，其橫坐標分別為x1，x2，利用拋物線定義，AB中點橫坐標為x0=（x1+x2）=（|AB|P）=（52）=故選：C7函數(shù)f（x）=（）x

9、x2的大致圖象是（）ABCD【考點】函數(shù)的圖象【分析】利用排除法，即可得出結(jié)論【解答】解：由題意，x=0，f（0）=1，排除B，x=2，f（2）=0，排除A，x，f（x）+，排除C，故選D8已知平面向量、滿足|=|=1， =，若向量滿足|+|1，則|的最大值為（）A1BCD2【考點】平面向量數(shù)量積的運算【分析】通過向量的數(shù)量積的定義，設出向量的坐標，利用向量的坐標運算和向量的模的公式及幾何意義，結(jié)合圓的方程即可得出最大值為圓的直徑【解答】解：由平面向量、滿足|=|=1， =，可得|cos，=11cos，=，由0，可得，=，設=（1，0），=（，），=（x，y），則|+|1，即有|（+x，y）|

10、1，即為（x+）2+（y）21，故|+|1的幾何意義是在以（，）為圓心，半徑等于1的圓上和圓內(nèi)部分，|的幾何意義是表示向量的終點與原點的距離，而原點在圓上，則最大值為圓的直徑，即為2故選：D9已知函數(shù)f（x）=3sin（3x+），x0，則y=f（x）的圖象與直線y=2的交點個數(shù)最多有（）A2個B3個C4個D5個【考點】三角函數(shù)的最值【分析】令f（x）=2，得sin（3x+）=，根據(jù)x0，求出3x+的取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得出函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=2的交點最多有4個【解答】解：令f（x）=3sin（3x+）=2，得sin（3x+）=（1，1），又x0，3x0，3，3x+

11、，3+；根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得該方程在正弦函數(shù)一個半周期上最多有4個解，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=2的交點最多有4個故選：C10如圖，點F1、F2是橢圓C1的左右焦點，橢圓C1與雙曲線C2的漸近線交于點P，PF1PF2，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1、e2，則（）Ae22=Be22=Ce22=De22=【考點】圓錐曲線的綜合【分析】設橢圓及雙曲線方程，由曲線共焦點，則a12+b12=c2，a22+b22=c2，求得雙曲線的漸近線方程，代入橢圓方程，求得P點坐標，由直角三角形的性質(zhì)，即可求得丨OP丨=c，利用勾股定理及橢圓及雙曲線的性質(zhì)即可求得答案【解答】解：設橢圓的方程

12、為：，雙曲線的方程為：，P（x，y），由題意可知：a12+b12=c2，a22+b22=c2，雙曲線的漸近線方程：y=±x，將漸近線方程代入橢圓方程：解得：x2=，y2=，由PF1PF2，丨OP丨=丨F1F2丨=c，x2+y2=c2，代入整理得：a14+a22c2=2a12c2，兩邊同除以c4，由橢圓及雙曲線的離心率公式可知：e1=，e2=，整理得：e22=，故選D二、填空題（共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，滿分36分）11已知集合A=x|1x2，B=x|x24x0，則AB=x|1x4，A（RB）=x|1x0【考點】交、并、補集的混合運算【分析】先求出集合A，B，再求出RB

13、，由此能求出AB和 A（RB）【解答】解：集合A=x|1x2，B=x|x24x0=x|0x4，RB=x|x0或x4，AB=x|1x4，A（RB）=x|1x0故答案為：x|1x4，x|1x012某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是76cm2，體積是40cm3【考點】由三視圖求面積、體積【分析】根據(jù)幾何體的三視圖得該幾何體是一個底面為直角梯形的四棱柱，由三視圖求出幾何元素的長度，由梯形的面積公式、柱體的體積公式求出該幾何體的體積，由四棱柱的各個面的長度求出幾何體的表面積【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖得：該幾何體是一個底面為直角梯形的四棱柱，其底面是正視圖中的直角梯形，上底為

14、1cm，下底為4cm，高為4cm，由側(cè)視圖知四棱柱的高為4cm，所以該幾何體的體積V=40（cm3），由正視圖可知直角梯形斜腰是5，則該幾何體的表面積S表面積=2×+（1+4+4+5）×4=76（cm2），故答案為：76，4013已知隨機變量的分布列如下： 012 Pb a2則E（）的最小值為，此時b=【考點】離散型隨機變量的期望與方差【分析】由題意可得：b+a2+=1，即b+a2=，b0，1，a1，1E（）=0+a2+2（）=a2a+1=+，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出【解答】解：由題意可得：b+a2+=1，即b+a2=，b0，1，a1，1E（）=0+a2+2（）=a2a

15、+1=+，當且僅當a=時取等號，此時b=故答案為：，14已知f（x）=x2，g（x）=2x5，則不等式|f（x）|+|g（x）|2的解集為，3；|f（2x）|+|g（x）|的最小值為1【考點】絕對值不等式的解法【分析】通過討論x的范圍，求出不等式|f（x）|+|g（x）|2的解集即可；根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出|f（2x）|+|g（x）|的最小值即可【解答】解：f（x）=x2，g（x）=2x5，|f（x）|+|g（x）|2，即|x2|+|2x5|2，x時，x2+2x52，解得：x3，2x時，x2+52x2，解得：x1，x2時，2x+52x2，解得：x，綜上，不等式的解集是，3；|f（2x）|+|g（

16、x）|=|2x4|+|2x5|2x42x+5|=1，故|f（2x）|+|g（x）|的最小值是1，故答案為：，3，115動點P從正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A出發(fā)，沿著棱運動到頂點C1后再到A，若運動中恰好經(jīng)過6條不同的棱，稱該路線為“最佳路線”，則“最佳路線”的條數(shù)為18（用數(shù)字作答）【考點】排列、組合的實際應用；棱柱的結(jié)構(gòu)特征【分析】根據(jù)分步計數(shù)和分類計數(shù)原理即可求出答案【解答】解：從A點出發(fā)有3種方法，（A1，B，D），假如選擇了A1，則有2種選法（B1，D1）到C1，再從C1出發(fā)，若選擇了（B1，或D1），則只有一種方法到A，若選擇了C，則有2種方法到A，故“最佳路線”的條數(shù)為C

17、31C21（1+2）=18種，故答案為：1816已知a0，b0，且滿足3a+b=a2+ab，則2a+b的最小值為3+2【考點】基本不等式【分析】由a0，b0，且滿足3a+b=a2+ab，可得b=0，解得1a3則2a+b=2a+=a1+3，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出【解答】解：由a0，b0，且滿足3a+b=a2+ab，b=0，解得1a3則2a+b=2a+=a1+32+3=2+3，當且僅當a=1+，b=1時取等號故答案為：3+217如圖，已知三棱錐ABCD的所有棱長均相等，點E滿足=3，點P在棱AC上運動，設EP與平面BCD所成角為，則sin的最大值為【考點】直線與平面所成的角【分析】設棱長為4

18、a，PC=x（0x4a），則PE=求出P到平面BCD的距離，即可求出結(jié)論【解答】解：設棱長為4a，PC=x（0x4a），則PE=設P到平面BCD的距離為h，則=，h=x，sin=，x=2a時，sin的最大值為故答案為三、解答題（共5小題，滿分74分）18在銳角ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若A滿足2cos2A+cos（2A+）=（）求A的值；（）若c=3，ABC的面積為3，求a的值【考點】余弦定理【分析】（）由三角恒等變換化簡2cos2A+cos（2A+）=，結(jié)合A的取值范圍，即可求出A的值；（）根據(jù)ABC的面積公式求出b的值，再利用余弦定理求出a的值【解答】解：（）ABC中，

19、2cos2A+cos（2A+）=，2+cos（2A+）=，即1+cos2A+cos2Acossin2Asin=，sin2Acos2A=，sin2Acos2A=，即sin（2A）=；又ABC是銳角三角形，0A，2A，2A=，解得A=；（）c=3，且ABC的面積為SABC=bcsinA=3，解得b=4；由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=42+322×4×3×=13，解得a=19如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱AA1底面ABCD，AB=1，AC=，BC=BB1=2（）求證：AC平面ABB1A1；（）求二面角AC1DC的平面角

20、的余弦值【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定【分析】（）推導出ABAC，AA1AC，由此能證明AC平面ABB1A1（）過點C作CPC1D于P，連接AP，則AC平面DCC1D1，從而CPA是二面角AC1DC的平面角，由此能求出二面角AC1DC的平面角的余弦值【解答】證明：（）在底面ABCD中，AB=1，AC=，BC=2，AB2+AC2=BC2，ABAC，側(cè)棱AA1底面ABCD，AA1AC，又AA1AB=A，AA1，AB平面ABB1A1，AC平面ABB1A1解：（）過點C作CPC1D于P，連接AP，由（）可知，AC平面DCC1D1，CPA是二面角AC1DC的平面角，CC1=BB1=2

21、，CD=AB=1，CP=，tan=，cos，二面角AC1DC的平面角的余弦值為20已知函數(shù)f（x）=xalnx+b，a，b為實數(shù)（）若曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為y=2x+3，求a，b的值；（）若|f（x）|對x2，3恒成立，求a的取值范圍【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】（I）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得f（1）=2，f（1）=5，列方程組解出a，b即可；（II）分離參數(shù)得出xax+，分別求出左側(cè)函數(shù)的最大值和右側(cè)函數(shù)的最小值即可得出a的范圍【解答】解：（I）f（x）=1，曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為y=2x+3

22、，f（1）=2，f（1）=5，解得a=1，b=4（II）|f（x）|對x2，3恒成立，即|1|對x2，3恒成立，|xa|對x2，3恒成立，xax+對x2，3恒成立，設g（x）=x，h（x）=x+，x2，3，則g（x）=1+0，h（x）=10，g（x）在2，3上是增函數(shù)，h（x）在2，3上是增函數(shù)，gmax（x）=g（3）=2，hmin（x）=h（2）=a的取值范圍是2，21如圖，設斜率為k（k0）的直線l與橢圓C： +=1交于A、B兩點，且OAOB（）求直線l在y軸上的截距（用k表示）；（）求AOB面積取最大值時直線l的方程【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標準方程【分析】（）設l：y=kx

23、+t，A（x1，y1），B（x2，y2），由OAOB，得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，聯(lián)立，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t29=0，由此利用韋達定理、根的判別式，結(jié)合已知條件能求出直線l在y軸上的截距（）設AOB的面積為S，O到直線l的距離為d，則S=|AB|d，由此利用點到直線的距離公式和弦長公式能求出AOB面積取最大值時直線l的方程【解答】解：（）設l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），斜率為k（k0）的直線l與橢圓C： +=1交于A、B兩點，且OAOB，AOB=90°，x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，