初高中數(shù)學銜接知識點專題精簡

1、初高中數(shù)學銜接知識點專題精簡版初高中數(shù)學銜接知識點專題（一）數(shù)與式的運算【要點回顧】1絕對值1絕對值的代數(shù)意義：即2絕對值的幾何意義：的距離3兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示的距離4兩個絕對值不等式:；2乘法公式我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：；3完全平方差公式：我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：公式1公式2(立方和公式)公式3(立方差公式)說明:上述公式均稱為“乘法公式”3根式1式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1)；(2)；(3)；(4)2平方根與算術(shù)平方根的概念：叫做的平方根，記作，其中叫做的算術(shù)平方根3立方根的概念：叫做的立方根，記為4分

2、式1分式的意義形如的式子，若b中含有字母，且，則稱為分式當m0時，分式具有下列性質(zhì)：（1）；（2）2繁分式當分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，如，說明：繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1)利用除法法則；(2)利用分式的基本性質(zhì)3分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程【例題選講】例1解下列不等式：（1）例2計算：（1）（2）（3）例3已知，求的值例4已知，求的值例5計算(沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)

3、)：（1）（2）（3）（4）例6設，求的值專題二因式分解1公式法常用的乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：；3完全平方差公式：45(立方和公式)6(立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運用上述公式可以進行因式分解2分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取因此，可以先將多項式分組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組常見題型：（1）分組后能提取公因式（2）分組后能直接運用公式3十字相乘法（1）型的因式分解這類式

4、子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：二次項系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)之積；一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和，運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式（2）一般二次三項式型的因式分解由我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解4其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法

5、（2）拆、添項法例1（公式法）分解因式：(1)；(2)例2（分組分解法）分解因式：（1）（2）例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)(2)(3)(4)例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)；(2)解：說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要當二次項系數(shù)不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調(diào)整，添加正、負號例5（拆項法）分解因式(3)(4)專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【要點回顧】1一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：由于可以用的取值情況

6、來判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：對于一元二次方程ax2bxc0（a0），有1當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：；2當0時，方程有兩個相等的實數(shù)根：；3當0時，方程沒有實數(shù)根2一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達定理”上述定理成立的前提是特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知x1x2p，x1·x2q，即p(x1x2)，qx1·x2，所以，方程x2pxq0可化為x2

7、(x1x2)xx1·x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1·x20因此有以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1·x20【例題選講】例1已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根（3）方程有實數(shù)根；（4）方程無實數(shù)根例2已知實數(shù)、滿足，試求、的值例3若是方程的兩個根，試求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)例4已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根(1)是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求

8、出的值；若不存在，請說明理由(2)求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值解：(1)假設存在實數(shù)，使成立一元二次方程的兩個實數(shù)根，又是一元二次方程的兩個實數(shù)根，但不存在實數(shù)，使成立(2)要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值為 專題四平面直角坐標系一次函數(shù)、反比例函數(shù)要點回顧】1平面直角坐標系平面直角坐標系內(nèi)的對稱點：對稱點或?qū)ΨQ直線方程對稱點的坐標軸軸原點點直線直線直線直線2函數(shù)圖象1一次函數(shù)：稱是的一次函數(shù)，記為：(k、b是常數(shù)，k0)特別的，當=0時，稱是的正比例函數(shù)。2正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k0)的圖象是的一條直線，當時，圖象過原點及第一

9、、第三象限，y隨x的增大而；當時，圖象過原點及第二、第四象限，y隨x的增大而3一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(k、b是常數(shù)，k0)的圖象是過點(0，b)且與直線y=kx平行的一條直線.設(k0)，則當時，y隨x的增大而；當時，y隨x的增大而4反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(k0)是雙曲線，當時，圖象在第一、第三象限，在每個象限中，y隨x的增大而；當時，圖象在第二、第四象限.，在每個象限中，y隨x的增大而雙曲線是軸對稱圖形，對稱軸是直線與；又是中心對稱圖形，對稱中心是原點【例題選講】例1已知、，根據(jù)下列條件，求出、點坐標(1)、關(guān)于x軸對稱；(2)、關(guān)于y軸對稱；(3)、關(guān)于原點對稱例2已知一次函數(shù)y

10、kx2的圖象過第一、二、三象限且與x、y軸分別交于、兩點，o為原點，若aob的面積為2，求此一次函數(shù)的表達式。例3如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象回答：當取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值 專題五二次函數(shù)二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質(zhì)：1當a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口方向；頂點坐標為，對稱軸為直線；當時，y隨著x的增大而；當時，y隨著x的增大而；當時，函數(shù)取最小值2當a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口方向；頂點坐標為，對稱軸為直線；當時，y隨著x的增大而；當時，y隨著x的增大而；當時，函數(shù)取最大值上述二

11、次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過上圖直觀地表示出來因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題2二次函數(shù)的三種表示方式：（1）一般式：；（2）頂點式：（3）交點式：說明：確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設成什么形式時，可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則二次函數(shù)的關(guān)系式可設如下三種形式：給出三點坐標可利用一般式來求；給出兩點，且其中一點為頂點時可利用頂點式來求給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點.時可利用交點式來求【例題選講】例1求二次函數(shù)y3x26x1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值

12、時，y隨x的增大而增大（或減?。┎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元此時每天的銷售利潤是多少例3已知函數(shù)，其中，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量x的值例4根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關(guān)系式（1）已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線yx1上，并且圖象經(jīng)過點（3，1）；（2）已知二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，且

13、頂點到x軸的距離等于2；（3）已知二次函數(shù)的圖象過點(1，22)，(0，8)，(2，8)專題六二次函數(shù)的最值問題【要點回顧】1二次函數(shù)的最值二次函數(shù)在自變量取任意實數(shù)時的最值情況(當時，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當時，函數(shù)在處取得最大值，無最小值2二次函數(shù)（x為全體實數(shù)時）最大值或最小值的求法第一步確定a的符號，a0有最小值，a0有最大值；第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值3求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值如：在（其中）的最值第一步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸：；第二步：討論：1若時求最小值或時求最大值，需分三種情況討論：對稱軸小于即，即對稱軸在的左側(cè)；對稱軸，即對稱

14、軸在的內(nèi)部；對稱軸大于即，即對稱軸在的右側(cè)。2若時求最大值或時求最小值，需分兩種情況討論：對稱軸，即對稱軸在的中點的左側(cè)；對稱軸，即對稱軸在的中點的右側(cè)；說明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應位置，具體情況，參考例4?！纠}選講】例1求下列函數(shù)的最大值或最小值（1）；（2）例2當時，求函數(shù)的最大值和最小值例3當時，求函數(shù)的取值范圍例4當時，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對位置解：函數(shù)的對稱軸為畫出其草圖(1)當對稱軸在所給范圍左側(cè)即時：當時，；(2)當對稱軸在所給范圍之間即時：當時，；(3)當對稱

15、軸在所給范圍右側(cè)即時：當時，綜上所述：例5當時，求函數(shù)的最大值。各專題參考答案專題一數(shù)與式的運算參考答案例1（1）解法1：由，得；若，不等式可變?yōu)?，即；若，不等式可變?yōu)椋?，解得：綜上所述，原不等式的解為解法2：表示x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離，所以不等式的幾何意義即為x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離小于1，觀察數(shù)軸可知坐標為x的點在坐標為3的點的左側(cè)，在坐標為1的點的右側(cè)所以原不等式的解為解法3：，所以原不等式的解為（2）解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)?，?，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)椋?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)椋?，解得x

16、4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為x0，或x4解法二：如圖，表示x軸上坐標為x的點p到坐標為1的點a之間的距離|pa|，即|pa|x1|；|x3|表示x軸上點p到坐標為2的點b之間的距離|pb|，即|pb|x3|所以，不等式4的幾何意義即為|pa|pb|4由|ab|2，可知點p在點c(坐標為0)的左側(cè)、或點p在點d(坐標為4)的右側(cè)所以原不等式的解為x0，或x4例2（1）解：原式=說明：多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降冪或升冪排列（2）原式=（3）原式=（4）原式=例3解：原式=例4解：原式=，把代入得原式=例5解：（1）原式=（2）原式=說明：注意性質(zhì)的使用：當化去絕對值符號但字母的

17、范圍未知時，要對字母的取值分類討論（3）原式=（4）原式=例6解：原式=說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復雜時，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量【鞏固練習】123或456專題二因式分解答案例1分析：(1)中應先提取公因式再進一步分解；(2)中提取公因式后，括號內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或解：(1)(2)例2（1）分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式解：（2）分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式解：例5解：【鞏固練習】

18、12；3其他情況如下：；.4專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習題答案例1解：，(1)；(2)；(3)；(4)例2解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實數(shù)，所以上述方程有實數(shù)根，因此：，代入原方程得：綜上知：例3解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1)(2)(3)(4)說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達定理體現(xiàn)了整體思想【鞏固練習】1a；2a；3；4；5(1)當時，方程為，有實根；(2)當時，也有實根6(1)；(2)專題四平面直角坐標系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)參考答案例1解：(1)因為、關(guān)于x軸對稱，它們橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，所以，則、(2)因為

19、、關(guān)于y軸對稱，它們橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同，所以，則、(3)因為、關(guān)于原點對稱，它們的橫縱坐標都互為相反數(shù)，所以，則、例2分析：因為直線過第一、三象限，所以可知k>0，又因為b2，所以直線與y軸交于（0，2），即可知ob2，而aob的面積為2，由此可推算出oa2，而直線過第二象限，所以a點坐標為（2，0），由a、b兩點坐標可求出此一次函數(shù)的表達式。解：b是直線ykx2與y軸交點，b（0，2），ob2，過第二象限，【鞏固練習】1b2d(2，2)、c(8，2)、b(6，0)3（1）（2）點的坐標是或?qū)ｎ}五二次函數(shù)參考答案例1解：y3x26x13(x1)24，函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是

20、直線x1；頂點坐標為(1，4)；當x1時，函數(shù)y取最大值y4；當x1時，y隨著x的增大而增大；當x1時，y隨著x的增大而減??；采用描點法畫圖，選頂點a(1，4)，與x軸交于點b和c，與y軸的交點為d(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖25所示）說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確例2分析：由于每天的利潤日銷售量y×(銷售價x120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值解：

21、由于y是x的一次函數(shù)，于是，設ykx（b），將x130，y70；x150，y50代入方程，有解得k1，b200yx200設每天的利潤為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000(x160)21600，當x160時，z取最大值1600答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元例3分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論解：（1）當a2時，函數(shù)yx2的圖象僅僅對應著一個點(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x2；（2）當2a0時，由圖226可知，當x2時，函數(shù)取最大值y4；當xa時，函數(shù)取最小值ya2；（3）當0a2時，由

22、圖226可知，當x2時，函數(shù)取最大值y4；當x0時，函數(shù)取最小值y0；（4）當a2時，由圖226可知，當xa時，函數(shù)取最大值ya2；當x0時，函數(shù)取最小值y0說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題例4（1）分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a解：二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，頂點的縱坐標為2又頂點在直線yx1上，所以，2

23、x1，x1頂點坐標是（1，2）設該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（3，1），解得a2二次函數(shù)的解析式為，即y2x28x7說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題（2）分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數(shù)的表達式設成交點式解法一：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，可設二次函數(shù)為ya(x3)(x1)(a0)，展開，得yax22ax3a，頂點的縱坐標為，由于二次函數(shù)

24、圖象的頂點到x軸的距離2，|4a|2，即a所以，二次函數(shù)的表達式為y，或y分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達式解法二：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，對稱軸為直線x1又頂點到x軸的距離為2，頂點的縱坐標為2，或2于是可設二次函數(shù)為ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函數(shù)圖象過點(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函數(shù)為y(x1)22，或y(x1)22說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題（3）解：設該二次函數(shù)為yax2bxc(a0)由函數(shù)圖象過點(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得解得a2，b12，c8所以，所求的二次函數(shù)為y2x212x8【鞏固練習】1（1）d（2）c（3）d2（1）yx2x2（2）yx22x33（1）（2）（3）（4）4當長為6m，寬為3m時，矩形的面積最大5（1）函數(shù)f（x）的解析式為（2）函數(shù)y的圖像如圖所示（3）由函數(shù)圖