彈簧振子的低阻尼振動

1、彈簧振子的低阻尼振動力學(xué)實(shí)驗(yàn)最困難的問題就是摩擦力對測量的影響。氣墊導(dǎo)軌就是為消除摩擦而 設(shè)計(jì)的力學(xué)實(shí)驗(yàn)的裝置，它使物體在氣墊上運(yùn)動，避免物體與導(dǎo)軌表面的直接接觸， 從而消除運(yùn)動物體與導(dǎo)軌表的摩擦。利用氣墊導(dǎo)軌可以進(jìn)行許多力學(xué)實(shí)驗(yàn)，如測加 速度，驗(yàn)證牛頓第二定律，研究簡諧振動等。一、實(shí)驗(yàn)前應(yīng)弄清楚的問題1、 查閱有關(guān)氣墊導(dǎo)軌及光電門計(jì)時系統(tǒng)的資料，了解氣墊導(dǎo)軌的水平調(diào)節(jié)以及 操作注意事項(xiàng)，理解光電計(jì)時系統(tǒng)的工作原理。2、存儲式數(shù)字毫秒計(jì)具有哪些基本功能？3、彈簧振子在低阻尼狀態(tài)下的振動為什么可以看作簡諧振動？4、你打算怎樣測定輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)？理論依據(jù)是什么5、你打算怎樣測定彈簧振子的振動周

2、期？擬采用什么方法處理數(shù)據(jù)？6如何建立彈簧振子的振動周期與質(zhì)量以及振幅隨時間變化的實(shí)驗(yàn)公式？7、如何測量上述第6兩種情形中彈簧振子經(jīng)過中間平衡位置時的最大速度？8、實(shí)驗(yàn)中如何判定氣墊導(dǎo)軌是否調(diào)水平了？9、熟悉實(shí)驗(yàn)儀器的使用方法，實(shí)驗(yàn)操作時應(yīng)該注意哪些方面 ？二、實(shí)驗(yàn)室可提供的主要器材氣墊導(dǎo)軌、滑塊、砝碼、彈簧兩根、光電計(jì)時系統(tǒng)、電子天平三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測量給定輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)，表格自擬。2、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案研究彈簧振子振動周期T與質(zhì)量m的關(guān)系及彈簧振子經(jīng)過中 間平衡位置時的對應(yīng)最大速度 V,表格自擬。3、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案研究彈簧振子振動周期T與初始振幅的關(guān)系及彈簧振子經(jīng)過 中間平衡位置時的對

3、應(yīng)最大速度 V,表格自擬。四、數(shù)據(jù)處理要求1、根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用作圖法繪出 V 2A2圖，T2 m圖，并求出彈簧振子的最 大動能，并計(jì)算實(shí)驗(yàn)值和理論值的相對誤差，分析誤差來源。2、根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，給出關(guān)于彈簧振子的振動周期與質(zhì)量之間定性結(jié)論及振幅 的改變對周期的影響。五、實(shí)驗(yàn)報(bào)告的要求1 報(bào)告實(shí)驗(yàn)的研究意義。2 介紹實(shí)驗(yàn)的原理，測量方案和實(shí)驗(yàn)步驟。3 數(shù)據(jù)處理過程清楚，正確表達(dá)測量結(jié)果。4總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)論和心得體會。六、思考與討論：1、 本實(shí)驗(yàn)的彈簧倔強(qiáng)系數(shù)"，若"1、相差較大，對本實(shí)驗(yàn)有何影響？2、本實(shí)驗(yàn)中若氣軌沒有被調(diào)節(jié)水平，對測量結(jié)果有何影響？3、 若考慮彈簧的質(zhì)量，則彈簧振子

4、的周期（其中I為彈簧的有效質(zhì) 量，為系統(tǒng)的倔強(qiáng)系數(shù)）。試問：通過本實(shí)驗(yàn)?zāi)芊駵y出彈簧的有效質(zhì)量和系統(tǒng)的倔強(qiáng)系數(shù)？如何測量?力學(xué)實(shí)驗(yàn)遇到的最大難題是運(yùn)動體與支承面的直接接觸產(chǎn)生的摩擦力，它嚴(yán)重地限制了力 學(xué)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確度，為了避免運(yùn)動物體與支承面的直接接觸，人們使它們之間產(chǎn)生一層薄薄的空 氣膜(氣墊導(dǎo)軌的氣墊厚度為 10200卩m),這就是氣墊技術(shù)(用氣體把運(yùn)動物體墊”起來)。其最大特點(diǎn)就是低摩擦。這一技術(shù)在實(shí)際中已得到廣泛應(yīng)用。如氣墊船、氣墊軸承等。在力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，它可用于平均速度、瞬時速度、加速度、力的測定，還可用于驗(yàn)證牛頓定 律、動量守恒、機(jī)械能守恒以及彈簧振子的振動、阻尼系數(shù)、磁力能的測定等。

5、1 低阻尼狀態(tài)的彈簧振子如圖1所示，將質(zhì)量為 m的滑塊兩頭各接一質(zhì)量可忽略的彈簧，讓它偏離平衡位置后釋放， 它將來回振動，構(gòu)成一個彈簧振子。滑塊在氣軌上振動時，與氣軌之間的摩擦力可忽略，但受 到空氣阻力和粘滯力的作用，振幅將逐漸減小。由于阻力很小，可認(rèn)為彈簧振子處在低阻尼狀 態(tài)，振動周期與無阻尼時的振動周期相同。2 建立簡諧振動彈簧振子的周期與質(zhì)量的關(guān)系式要建立簡諧振動彈簧振子的周期與質(zhì)量的關(guān)系式T = f (M )，只需測量出在不同質(zhì)量下彈簧振子的周期即可。3 建立低阻尼情況下彈簧振子的振幅隨時間的變化關(guān)系式要建立低阻尼狀態(tài)下彈簧振子的振幅A隨時間t的變化關(guān)系A(chǔ) = f，需要測量出不同時間下

6、彈簧振子的振幅。但振幅和時間不易在氣軌上采用簡單的方式直接測量，可以采用的測量方法 如下。(1) 采用振動周期的個數(shù)確定低阻尼彈簧振子的振動時間，t =nT。(2) 根據(jù)滑塊通過平衡位置的最大速度確定低阻尼彈簧振子的振幅，1 mvmax = 1 kA。2 2(3) 測量最大速率Vmax二公，厶X即為雙遮光片通過光電門時兩次遮光所經(jīng)過的距離，厶t是通過光電門所用的時間。由此可知，測量振幅隨時間的變化關(guān)系A(chǔ) = f (t)，只有測量出與t (t=nT)的關(guān)系即可。實(shí)驗(yàn)裝置及儀器1 實(shí)驗(yàn)裝置及儀器簡介實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，主要包括氣墊導(dǎo)軌、滑塊、砝碼、彈簧、光電計(jì)時系統(tǒng)等。氣軌是在 能作相對運(yùn)動的物體

7、之間充一層薄薄的空氣層，讓運(yùn)動物體懸在空氣層上，消除接觸摩擦，使 運(yùn)動近似為無摩擦運(yùn)動的一種裝置。氣墊導(dǎo)軌的整體結(jié)構(gòu)主要有四部分組成：導(dǎo)軌、滑塊、供 氣裝置和光電計(jì)時系統(tǒng)。圖1低阻尼下彈簧振子的振動研究實(shí)驗(yàn)裝置圖中：為導(dǎo)軌，上面有氣孔、標(biāo)尺，兩端有碰簧；為彈簧；為滑塊，由遮光片、碰簧組 成；為光電門，由光源、光敏二極管組成；為光電計(jì)時器；為標(biāo)尺。2.氣墊導(dǎo)軌的調(diào)節(jié)(1) 粗調(diào)。把滑塊放在氣軌中央靜止釋放，觀察滑塊是否停在原處不動。若總往一處滑 動，則氣軌傾斜，應(yīng)調(diào)節(jié)單底角螺絲。順時針旋轉(zhuǎn)升高，逆時針旋轉(zhuǎn)降低。(2) 細(xì)調(diào)。理論上要求做到向左的加速度等于向右的加速度，則氣軌完全水平。實(shí)驗(yàn)中采用如

8、下方法，輕推滑塊，使其經(jīng)過兩個光電門做來回運(yùn)動，按先后次序記下滑塊往返一次經(jīng) 過兩個光電門的時間.為、厶t2、.辻3和住4。由于空氣阻力和粘滯阻力的作用，滑塊經(jīng)過第一個 光電門的速度要比經(jīng)過第二個的要大一些。如果丸2 .tl和.14 - , ：t3的均差值大于0，且基本相等，則可保證向左和向右的加速度同數(shù)量級，氣墊導(dǎo)軌可近似視為水平。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1. 調(diào)節(jié)氣軌水平及光電計(jì)時系統(tǒng)正常工作。2測量彈簧振子質(zhì)量 m與振動周期T的關(guān)系，建立周期與質(zhì)量之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式?；瑝K依次增加50g質(zhì)量，使用單擋光片，分別測量振動周期。3測量低阻尼下彈簧振子 At nT的關(guān)系，建立振幅隨時間變化的經(jīng)驗(yàn)公式?；瑝K不增加

9、質(zhì)量，使用雙遮光片，光電門置于平衡位置處，使滑初始幅為30cm，待滑塊運(yùn)行平穩(wěn)后，每隔10個周期測一次測出n=10, 20, 30, 40, 50, 60, 70時對應(yīng)的,建立時 間與振幅的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)1 氣軌是較精密儀器，實(shí)驗(yàn)中必須避免導(dǎo)軌受碰撞、摩擦而變形、損傷，沒有給氣軌通 氣時，不準(zhǔn)在導(dǎo)軌上放置和強(qiáng)行推動滑塊。2實(shí)驗(yàn)時必須調(diào)整氣軌水平。3. 實(shí)驗(yàn)中不能用手按著滑塊在氣軌上滑動。4. 連接滑塊和彈簧時，不能過度拉伸彈簧，以免損壞。5. 注意調(diào)節(jié)光電門位置，必須使雙遮光片在平衡位置遮光。數(shù)據(jù)記錄及處理1 .建立簡諧振動彈簧振子的周期與質(zhì)量的關(guān)系式2R = 0.9999。(1) T與M

10、之間關(guān)系的測量數(shù)據(jù)表1 T與M關(guān)系的測量數(shù)據(jù)表質(zhì)量/M241.62291.62341.62391.62441.62491.6210T /s16.693818.289919.824921.121622.475923.6868T /s1.669381.828991.982492.112162.247592.368682 2T2/s22.78682963.34520443.93026664.46121995.05166085.6106449(2) T與M之間關(guān)系曲線圖1 T與M之間關(guān)系的實(shí)驗(yàn)曲線和擬合曲線擬合公式為：T=，相關(guān)系數(shù) R2 = 0.9999。圖2 T2與M之間關(guān)系的實(shí)驗(yàn)曲線和擬合曲線擬

11、合公式為：T2 = 11.297M + 0.056005 11.297M , T=3.3611M”2，相關(guān)系數(shù)因此，簡諧振動彈簧振子周期與質(zhì)量的關(guān)系式為：T=3.360M 1/2,與理論關(guān)系式符，比較可得 2n /k1/2=3.360 ,所以 k=3.497 (N/m )。2.建立低阻尼情況下彈簧振子的振幅隨時間的變化關(guān)系式(1)周期數(shù)門與厶t之間關(guān)系的測量數(shù)據(jù)表1 n與厶t關(guān)系的測量數(shù)據(jù)表周期數(shù)n10203040506070 t/ms12.6317.4223.4530.8639.9651.1964.22由上述曲線形狀可以判斷，該曲線的函數(shù)形式為指數(shù)形式，擬合公式：.-10.112eO-27O

12、3n，相關(guān)系數(shù)R =0.9967 。根據(jù)t=nT和：舟可得.t-X.10.112e0.2703LMA亠e2叫10.112將 M=0.24162kg , k=3.497N/m , x=9.945 X 10-3m, T=1.66938s 代入上述表達(dá)式，可以求得彈 簧振子的振幅隨時間的變化關(guān)系式為：-0.2703丄_0.2703t01619tA=A0eT (SI)A=0.2613eT =0.2613e(m)思考題1.測量彈簧振子的周期T時，光電毫秒計(jì)如何操作？（請看實(shí)驗(yàn)5-8附錄5-3氣墊導(dǎo)軌及計(jì)時系統(tǒng)使用說明，教科書 147頁）2在測量不同質(zhì)量的振子周期過程中，共測量6次。先測量只有滑塊的振子的

13、周期，依次給滑塊振子增加50g的鐵塊，至U 250g為止。依次測得周期分別為T?、T3、T4、T5、丁6。請你采用逐差法，求出振子周期同質(zhì)量關(guān)系式T2=Cm中比例系數(shù)C。3. 以振子周期平方T2為縱坐標(biāo)，振子質(zhì)量m為橫坐標(biāo)，作出T2=Cm的關(guān)系曲線，求出直線 的斜率，即為T2=Cm中的C,這種處理數(shù)據(jù)的方法叫什么方法？4. 在測量T2=Cm中的常數(shù)C時，有人說只要稱出振子的質(zhì)量 m,再測量出周期T ,由C=T2/m 即可求出C,這樣存在何種誤差？這種誤差由什么引起？如何克服？5. 已知振子的質(zhì)量 m°,通過上面的測量，如何求出彈簧的等效質(zhì)量？6. 在測量彈簧振子的阻尼系數(shù)即式An二A

14、°e：nT中的a時如果開始測得振子通過平衡位置時走了 AX勺距離是t。，在經(jīng)過10個周期、20個周期、30個周期、40個周期和50個周期依次測 得相應(yīng)的時間為t2、t3、t4、t5，利用逐差法，寫出求阻尼系數(shù)a勺公式。7利用測得振子周期 T以及測得振子開始經(jīng)過平衡位置通過距離所用時間 寫出求初始振幅A 0的公式。&阻尼簡諧振動為二階常系數(shù)微分方程x'' 2 乂2x =0，解這個微分方程。實(shí)驗(yàn)5- 8氣軌上的實(shí)驗(yàn)低阻尼下彈簧振子的振動研究基本方法與技能1. 探索物理規(guī)律的實(shí)驗(yàn)方法。2. 用光電控制系統(tǒng)測量振動周期和速度方法。3. 建立物理經(jīng)驗(yàn)公式的方法。4. 氣

15、墊導(dǎo)軌水平調(diào)節(jié)技術(shù)；光電轉(zhuǎn)換測量和控制技術(shù)。5. 累加放大測量法減小儀器誤差。測量與數(shù)據(jù)記錄要求1.調(diào)節(jié)氣軌縱向水平及光電計(jì)時系統(tǒng)正常。2 測量彈簧振子質(zhì)量 m與振動周期T的關(guān)系?；瑝K依次增加50g質(zhì)量，改變5次質(zhì)量，使用單擋光片，分別測量振動周期。測量振動周期時采用累加放大測量法，10個周期累加測量。每個質(zhì)量條件下，測量1次即可。3 測量低阻尼下彈簧振子 與nT的關(guān)系。滑塊不增加質(zhì)量，使用雙遮光片，光電門置于平衡位置處，使滑塊初始幅為1530cm，待滑塊運(yùn)行平穩(wěn)后，每隔10個周期測一次,測出周期數(shù)n=10、20、30、40、50、60、70時對應(yīng) 的肛4所有數(shù)據(jù)列表記錄，數(shù)據(jù)表格符合規(guī)范。數(shù)

16、據(jù)處理要求1.建立周期與質(zhì)量之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式(1) 列表處理T與M之間關(guān)系的測量數(shù)據(jù)。(2) 在直角坐標(biāo)紙中作 T與 M之間關(guān)系曲線。(3) 判斷函數(shù)關(guān)系， M與T近似成二次曲線關(guān)系，建立函數(shù)模型，即T2二kM。(4) 曲線改直，作M與T2之間的關(guān)系曲線，求解k值。(5) 確定T與M之間的函數(shù)關(guān)系T2=kM，即變化規(guī)律。(6) 驗(yàn)證所確定的規(guī)律是否正確。任意選取一個實(shí)驗(yàn)質(zhì)量M，代入確定的規(guī)律，計(jì)算出 T , 與實(shí)驗(yàn)測量值比較是否相符。2建立振幅隨時間變化規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)公式(1) 列表處理n與At之間關(guān)系的測量數(shù)據(jù)。(2) 在直角坐標(biāo)紙中作n與A t之間關(guān)系曲線。(3) 判斷函數(shù)關(guān)系，門與厶t近似成指數(shù)曲線關(guān)系，建立函數(shù)模型，即.述二eCD。(4) 曲線改直，作n與In t之間的關(guān)系曲線，求