1.4正弦函數(shù)-余弦函數(shù)的性質(zhì)推薦課件

1、2021/8/221（1 1）定義域）定義域（2 2）值）值 域域（6 6）周期性）周期性（4 4）奇偶性）奇偶性（3 3）單調(diào)性）單調(diào)性（5 5）對稱性）對稱性2021/8/222( 2 ,0)( ,-1)23( ,0)( ,1)2要點回顧要點回顧. 正弦曲線、余弦函數(shù)的圖象正弦曲線、余弦函數(shù)的圖象1)1)圖象作法圖象作法-幾何法幾何法五點法五點法2)2)正弦曲線、余弦曲線正弦曲線、余弦曲線x6yo-12345-2-3-41余弦曲余弦曲線線(0,1)( ,0)2( ,-1)( ,0)23( 2 ,1)x6yo-12345-2-3-41正弦曲正弦曲線線(0,0)2021/8/223在生活中的周

2、期性現(xiàn)象在生活中的周期性現(xiàn)象!2021/8/224思考思考1 1：今天是：今天是20122012年年1212月月7 7日，星期五，那么日，星期五，那么7 7天后是星期幾？天后是星期幾？3030天后呢？為什么？天后呢？為什么？因為因為 30=2+7x4 30=2+7x4 所以所以3030天后與天后與2 2天后相同，天后相同，故故3030天后是天后是星期日星期日2021/8/2251. 1.一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x),f(x),如果存在一個如果存在一個非零非零的常數(shù)的常數(shù)T T，使得當(dāng)，使得當(dāng)x x取定義域內(nèi)的每一個值取定義域內(nèi)的每一個值時，都有時，都有f(x+T)=f(x)f(x+

3、T)=f(x)，那么函數(shù)，那么函數(shù)f(x)f(x)就叫就叫做做概念概念2.2.對于一個周期函數(shù)對于一個周期函數(shù)f(x),f(x),如果在它所有的如果在它所有的周期中存在一個周期中存在一個最小的正數(shù)最小的正數(shù)，那么這個最那么這個最小的正數(shù)就叫做小的正數(shù)就叫做f(x)f(x)的的非零常數(shù)非零常數(shù)T T叫做這個函數(shù)的叫做這個函數(shù)的說明：說明：我們現(xiàn)在談到三角函數(shù)周期時，如果我們現(xiàn)在談到三角函數(shù)周期時，如果不加特別說明，一般都是指的最小正周期。不加特別說明，一般都是指的最小正周期。2021/8/226xyo-2 - 2 3 4 結(jié)合圖像：在定義域內(nèi)任取一個 ，k2由誘導(dǎo)公式可知： 正弦函數(shù)正弦函數(shù))(

4、sinRxxyxxkxsin)2sin()()2(xfkxf 正弦函正弦函數(shù)數(shù) 是周期函數(shù)，周期是是周期函數(shù)，周期是)(sinRxxy即2021/8/227思考思考3：余弦函數(shù)是不是周期函數(shù)？如：余弦函數(shù)是不是周期函數(shù)？如果是，周期是多少？果是，周期是多少？性質(zhì)性質(zhì)1 1：正弦函數(shù)：正弦函數(shù)y=sinxy=sinx，余弦函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosxy=cosx都都是周期函數(shù)，且它們的周期為是周期函數(shù)，且它們的周期為)0,(2kzkk由誘導(dǎo)公式可知：xkxcos)2cos(即)()2(xfkxf最小正周期是最小正周期是22021/8/228XX+2yx024-2y=sinx(xR)自變量自變量x增

5、加增加2時函數(shù)值時函數(shù)值不斷重復(fù)地不斷重復(fù)地出現(xiàn)的出現(xiàn)的oyx48xoy612三角函數(shù)的周期性三角函數(shù)的周期性: :3.T是是f(x)的周期，那么的周期，那么kT也一定是也一定是f(x)的周期的周期.(k為非零整數(shù)為非零整數(shù))2021/8/229:1.,()( )( ).sin()sin,424f xTf xTyf xxx 例例定定義義是是對對定定義義域域中中的的值值來來說說的的只只有有注注意意: :每每一一個個個個別別的的滿滿足足不不能能說說值值: :是是的的周周期期如如2sin()sin ,sin.22xxxyx 就就是是說說不不能能對對 在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的每每一一個個值值使使因因此

6、此不不是是的的周周期期sin()sin.323 但但是是2021/8/2210判斷下列說法是否正確判斷下列說法是否正確（1 1） 時，時， 則則 一定不是一定不是 的周期的周期 3x 2sin()sin3xx 23 sinyx （ ）（2 2） 時，時， 則則 一定是一定是 的周期的周期 76x 2sin()sin3xx 23 sinyx （ ） 2021/8/2211求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期：sin x是以是以2為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .(2)sin(2 )sin(22 )sin 2() ,sin2xxxyx 是以是以為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .解解:(1)對

7、任意實數(shù)對任意實數(shù) 有有 (1)3sin ,(2)sin2 ,1(3)2sin(),26yx xRyx xRyxxR)2()2sin(3sin3)(xfxxxfx2021/8/2212(3)112sin()2sin(2 )262612sin(4 ),26xxx12sin()26yx是以是以為周期的周期函為周期的周期函數(shù)數(shù)2021/8/2213你能從上面的解答過程你能從上面的解答過程中歸納一下這些函數(shù)的中歸納一下這些函數(shù)的周期與解析式中的哪些周期與解析式中的哪些量有關(guān)系嗎？量有關(guān)系嗎？2221212xycos3xy2sin)621sin(2xy 函數(shù) 周期)621sin(2xy2TT4T4T21

8、22021/8/2214函數(shù) 及函數(shù) 的周期 RxxAy),sin(RxxAy),cos(兩個函數(shù)RxxAy),sin(RxxAy),cos(（其中 為常數(shù)且A0),A的周期僅與自變量的系數(shù)有關(guān)，那么如何的周期僅與自變量的系數(shù)有關(guān)，那么如何用自變量的系數(shù)來表述上述函數(shù)的周期？用自變量的系數(shù)來表述上述函數(shù)的周期？2T2021/8/2215解：解： sinf xAxsin2Axsin2Ax2sinAx2fx2T2021/8/2216sin(),cos(),(,2,0,0):.yAxxRyAxxRAAT 一般地，函數(shù)及函數(shù)其中為常數(shù) 且的周期為歸納總結(jié)歸納總結(jié)2021/8/2217P36 練習(xí)練習(xí)1

9、練習(xí)2：求下列函數(shù)的周期課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：RxxyRxxyRxxyRxxy),431sin() 4 (,cos21) 3 (,4cos) 2 (,43sin) 1 (38342432T242T212T632312T2021/8/2218當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測 （1 1）下列函數(shù)中，最小正周期是的函數(shù)是（ ）2cos21sinxyBxyA、xyCcos、xyD2cos、（2 2）函數(shù)xysin的最小正周期為_。0),3sin(xy3_（3 3）已知函數(shù)的周期為，則(4)函數(shù) 的最小正周期是 2)1 (cosxy42021/8/2219練習(xí)題練習(xí)題.求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期：32T6T8T2

10、TTxy3sin) 1 (3cos)2(xy 4sin3)3(xy )10sin()4(xyRxxy),32cos()5(2021/8/2220 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) y=Asin(x+) 及及y=Acos(x+) （其中（其中A , ,為常數(shù)，為常數(shù)，且且 A0, 0 ）的周期是）的周期是: :周期求法：周期求法： 1. 1.定義法：定義法： 2.2.公式法：公式法：2 (0)T 3.3.圖象法圖象法: :2021/8/2221(1)周期函數(shù)、周期及最小正周期的概念.；小小 結(jié)結(jié) (2)正（余）弦函數(shù)的周期.(3)函數(shù) 及函數(shù) 的周期 RxxAy),sin(RxxAy),cos(2T20

11、21/8/2222課外作業(yè)：課外作業(yè)： P46 習(xí)題習(xí)題1.A組組 第第3題題 2021/8/22232. 是不是周期函數(shù)？為什么？是不是周期函數(shù)？為什么？sinxxyx1.y=sinx(x0,4)1.y=sinx(x0,4)是周期函數(shù)嗎？是周期函數(shù)嗎？3.已知函數(shù)已知函數(shù) 的周期是的周期是4，且當(dāng)，且當(dāng) 時，時， ，求，求( )yf x 2( )1f xx(1),(5),(16).fff思考思考： 嗎？嗎？2(5)5126f 2 , 2x 思考： 2021/8/22242.2.奇偶性奇偶性(1) ( )sin ,f xx xR xR 任意任意()sin()fxx sin x ( )f x (

12、 )sin ,f xx xR 為為奇奇函數(shù)函數(shù)(2) ( )cos ,f xx xRxR 任意任意()cos()fxx cosx ( )f x ( )cos ,f xx xR 為為偶偶函數(shù)函數(shù)2021/8/2225正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象探究探究余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象問題：它們的圖象有何問題：它們的圖象有何對稱性對稱性？x22322523yO23225311x22322523yO232253112.2.奇偶性奇偶性2021/8/2226中心對稱：中心對稱：將圖象繞將圖象繞對稱中心對稱中心旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)180度后所得度后所得的曲線能夠和原來的曲線重合。的曲線能夠和原來的曲線重合。軸對稱：軸對

13、稱：將圖象繞將圖象繞對稱軸對稱軸折疊折疊180度后所得的曲度后所得的曲線能夠和原來的曲線重合。線能夠和原來的曲線重合。2021/8/2227x22322523yO23225311PP正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象53113,22222x 對稱軸：對稱軸：,2xkkZ (,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) 對稱中心：對稱中心：(,0)kkZ 2021/8/2228余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象, 0, 2x 對稱軸：對稱軸：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 對稱中心：對稱中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO232253112021/8/2229練

14、習(xí)練習(xí) 為函數(shù)為函數(shù) 的一條對稱軸的是的一條對稱軸的是（ ）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：經(jīng)驗證，當(dāng)解：經(jīng)驗證，當(dāng).12C x 時時232x12x 為對稱軸為對稱軸2021/8/2230例題例題 求求 函數(shù)的對稱軸和對稱中心函數(shù)的對稱軸和對稱中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令則則sin(2)sin3yxz sinyz 的對稱軸為的對稱軸為,2zkkZ 232xk 解得：對稱軸為解得：對稱軸為,122xkkZ(2)sinyz 的對稱中心為的對稱中心為(,0) ,kkZ 23xk 對稱中心為對稱中心為62

15、xk zk (,0) ,Z62kk 2021/8/2231解解（1）令）令則則的對稱軸為的對稱軸為解得：對稱軸為解得：對稱軸為的對稱中心為的對稱中心為對稱中心為對稱中心為 求求 函數(shù)的對稱軸和對稱中心函數(shù)的對稱軸和對稱中心1cos()24yx 421xzzcos1cos()24yx zycoskz kx421Zkkx,22zycos)2(zkk),0 ,2(,2kz2421kxZkkx,22Zkk),0 ,22(Zkkx,222021/8/2232x22322523yO23225311PP正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象53113,22222x 對稱軸：對稱軸：,2xkkZ (,0),(0,0),

16、( ,0),(2 ,0) 對稱中心：對稱中心：(,0)kkZ 小結(jié)小結(jié)2021/8/2233余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象, 0, 2x 對稱軸：對稱軸：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 對稱中心：對稱中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO232253112021/8/2234探究：正弦函數(shù)的最大值和最小值探究：正弦函數(shù)的最大值和最小值最大值：最大值：2x當(dāng)當(dāng) 時，時， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：2x當(dāng)當(dāng) 時，時，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311零點：零點：)(Zkkx3.3.最值最值2021/8/2235探究

17、：余弦函數(shù)的最大值和最小值探究：余弦函數(shù)的最大值和最小值最大值：最大值：0 x當(dāng)當(dāng) 時，時， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：x當(dāng)當(dāng) 時，時，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311零點：零點：)(2Zkkx3.3.最值最值2021/8/2236例例1.下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小值時的自變量值時的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么的集合，并說出最大、最小值分別是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：這兩個函數(shù)都有最大值、最小值這兩個函數(shù)都有最

18、大值、最小值.（1）使函數(shù)）使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的x的集合，就是的集合，就是使函數(shù)使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |2,x xkkZ 使函數(shù)使函數(shù) 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是使函數(shù)使函數(shù) 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |(21) ,x xkkZ 函數(shù)函數(shù) 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR2021/8/2237例例1.下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小值時的自變量值時的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么的集合，并說出最大、最小值分別是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：（2）令）令t=2x,因為使函數(shù)因為使函數(shù) 取最大值的取最大值的t的集