2022年初中數(shù)學(xué)因式分解知識(shí)點(diǎn)

1、因式分解概述定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫作分解因式。意義： 它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)的整式四則運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力。分解因式與整式乘法互為逆變形。因式分解的方法因式分解沒(méi)有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公

2、因式法、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法，除法等。注意三原則1 分解要徹底2 最后結(jié)果只有小括號(hào)3 最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）基本方法提公因式法各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)

3、最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“ -” 號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出 “ -”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)?？谠E：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1 把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。例如： -am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a2+1/2變成2(a2+1/4)不叫提公因式公式法如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法。平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2

4、；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式 )的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式 )的積的2 倍。立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3 3a2b 3ab2 b3=(a b)3公式： a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如： a2+4ab+4b2=(a+2b)2。

5、（ 3）分解因式技巧1. 分解因式與整式乘法是互為逆變形。2. 分解因式技巧掌握：等式左邊必須是多項(xiàng)式；分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來(lái)多項(xiàng)式的次數(shù)；分解因式必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。3. 提公因式法基本步驟：（ 1）找出公因式；（ 2）提公因式并確定另一個(gè)因式：第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別

6、除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。競(jìng)賽用到的方法分組分解法分組分解是解方程的一種簡(jiǎn)潔的方法，我們來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)。能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我們把a(bǔ)x 和 ay 分一組，bx 和 by 分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。同樣，這道題也可以這樣做。ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 幾道例題：1. 5ax+5bx+3ay+3by 精品學(xué)習(xí)資料 可

7、選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -解法： =5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 說(shuō)明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax 和 5bx 看成整體，把3ay 和 3by 看成一個(gè)整體，利用乘法分配律輕松解出。2. x3-x2+x-1 解法： =(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出x2 ，然后相合輕松解決。3. x2-x-y2-y 解法： =(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)

8、-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。十字相乘法這種方法有兩種情況。 x² +(p+q )x+pq型的式子的因式分解這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1 的二次三項(xiàng)式因式分解：x² +(p+q )x+pq=(x+p)(x+q) kx²+mx +n 型的式子的因式分解如果有k=ac ， n=bd ，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx²+mx +n=(ax +

9、b)(cx +d) 圖示如下：c d 例如：因?yàn)? -3 7 2 -3 7=-21 ， 12=2 ，且 2-21=-19，所以 7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中拆項(xiàng)、添項(xiàng)法這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。例如： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c

10、-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -=(c+b)(c-a)(a+b)配方法對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。例如： x² +3x-40 =x²+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)²-(6.5)² =(x+

11、8)(x-5)應(yīng)用因式定理對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=0 ，如果f(a)=0 ，那么f(x) 必含有因式x-a 例如： f(x)=x²+5x+6 ， f(-2)=0 ，則可確定x+2 是 x² +5x+6 的一個(gè)因式。(事實(shí)上，x² +5x+6=(x+2)(x+3) ) 注意： 1、對(duì)于系數(shù)全部是整數(shù)的多項(xiàng)式，若x=q/p （ p,q 為互質(zhì)整數(shù)時(shí)）該多項(xiàng)式值為零，則q 為常數(shù)項(xiàng)約數(shù)，p 最高次項(xiàng)系數(shù)約數(shù)；2、對(duì)于多項(xiàng)式f(a)=0,b為最高次項(xiàng)系數(shù)，c 為常數(shù)項(xiàng)，則有a 為 c/b 約數(shù)換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一

12、個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)，這種方法叫做換元法。注意 :換元后勿忘還元. 例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時(shí)，可以令y=x²+x,則原式 =(y +1)(y +2)-12 =y²+3y +2-12=y²+3y-10 =(y +5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1)也可以參看右圖。求根法令多項(xiàng)式f(x)=0, 求出其根為x1 ，x2 ， x3 ， xn ，則該多項(xiàng)式可分解

13、為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) (x -xn) 例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6時(shí)，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0，則通過(guò)綜合除法可知，該方程的根為0.5 ， -3， -2， 1精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -所以 2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)圖象法令 y=f(x) ，做出函數(shù)y=f(x) 的圖象，找到函數(shù)圖像與x 軸的交點(diǎn)x1 ,x2 ,x3 , xn ，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f

14、(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) (x -xn) 與方法相比，能避開(kāi)解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。例如在分解x3 +2x2-5x-6時(shí)，可以令y=x3; +2x2 -5x-6. 作出其圖像，與x 軸交點(diǎn)為-3， -1， 2 則 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)主元法先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。特殊值法將 2 或 10 代入 x，求出數(shù)p，將數(shù)p 分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2 或 10 的和與差的形式，將2 或 10 還原成x，即得因式分解式。例如在分解x3+9x2+23x+15時(shí)，令

15、x=2 ，則x3 +9x2+23x+15=8+36+46+15=105，將 105 分解成3 個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3 57 注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而 3、 5、 7 分別為x+1 ，x+3 ， x+5 ，在 x=2 時(shí)的值，則 x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗(yàn)證后的確如此。待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例如在分解x4-x3-5x2-6x-4時(shí)，由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。于是設(shè)x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d

16、) =x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1 ，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4 解得 a=1 ， b=1 ， c=-2 ， d=-4 則 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -也可以參看右圖。雙十字相乘法雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。雙十字相乘法就是二元二次六項(xiàng)式，啟始的式子如下: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f x、 y 為未知

17、數(shù)，其余都是常數(shù)用一道例題來(lái)說(shuō)明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12分析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。解：圖如下，把所有的數(shù)字交叉相連即可x 2y 2 x 3y 6 原式 =(x+2y+2)(x+3y+6)雙十字相乘法其步驟為：先用十字相乘法分解2 次項(xiàng)，如十字相乘圖中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；先依一個(gè)字母（如y）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)。如十字相乘圖中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6) ；再按另一個(gè)字母（如x）的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如十字相乘圖，這一步不能省，否則容易出錯(cuò)。多項(xiàng)式因式分解的一

18、般步驟：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解；如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解；分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。也可以用一句話來(lái)概括：“ 先看有無(wú)公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。 ”幾道例題1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（補(bǔ)項(xiàng)）=(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方

19、）=(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2求證：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,y ，下式的值都不會(huì)為33 ：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y

20、2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)（分解因式的過(guò)程也可以參看右圖。）當(dāng) y=0 時(shí)，原式=x5 不等于33 ；當(dāng) y 不等于0 時(shí)， x+3y ， x+y ， x-y ， x+2y ， x-2y 互不相同，而 33 不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。3. abc 的三邊a、b、 c 有如下關(guān)系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。分析

21、：此題實(shí)質(zhì)上是對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。證明：-c2+a2+2ab-2bc=0， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b+c)=0 a、 b、 c 是 abc 的三條邊， a 2b c 0 a c 0，即 a c， abc 為等腰三角形。4把 -12x2n yn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1) 分解因式。解： -12x2n yn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1) =-6xn y(n-1)(2xny-3x2y2+1)因式分解四個(gè)注意：因式分解中的四個(gè)注意，可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“ 公 ” 先提 “ 公 ” ，某項(xiàng)提出莫漏1，括號(hào)里面分到“ 底 ” ?，F(xiàn)舉下例可供參考例 1 把 a2 b2 2ab 4 分解因式。解： a2 b2 2ab 4（ a2 2ab b2 4）（a b 2）（ a b 2）這里的 “ 負(fù) ” ，指 “ 負(fù)號(hào) ” 。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如9