數(shù)學(xué)物理方法傅里葉變換法

1、 積分變換在數(shù)學(xué)物理方程中也有廣泛的用途，變換后，積分變換在數(shù)學(xué)物理方程中也有廣泛的用途，變換后，方程得以化簡(jiǎn)，偏微分方程變成常微分方程，求解常微方程得以化簡(jiǎn)，偏微分方程變成常微分方程，求解常微方程后，再進(jìn)行逆變換就得到原來(lái)偏微分方程的解，方程后，再進(jìn)行逆變換就得到原來(lái)偏微分方程的解，同時(shí)，積分變換還可能得到有限形式的解，分離變數(shù)同時(shí)，積分變換還可能得到有限形式的解，分離變數(shù)法或者傅里葉級(jí)數(shù)發(fā)往往不能。法或者傅里葉級(jí)數(shù)發(fā)往往不能。 本章主要介紹本章主要介紹傅里葉變換法傅里葉變換法在求解偏微分方程中的應(yīng)用。在求解偏微分方程中的應(yīng)用。 itfF tfF)(Fii1 dttftF tfF)(1aFa

2、)(Faxf)(F00Fexxfxi )(F00Fxfexi ,2F2121FFxfxf用分離變數(shù)法求解有界空間的定解問(wèn)題時(shí)，得到的本征值是用分離變數(shù)法求解有界空間的定解問(wèn)題時(shí)，得到的本征值是求解無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)求解無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng))(|),(|)(0002xuxuxuautttxxtt應(yīng)用傅里葉變換，即用應(yīng)用傅里葉變換，即用2/ikxe同乘方程和定解條件同乘方程和定解條件中的各項(xiàng)，并對(duì)空間變量中的各項(xiàng)，并對(duì)空間變量x積分，積分，t看做參數(shù)，則看做參數(shù)，則分分，對(duì)于無(wú)界空間的定解問(wèn)題，適用于傅里葉變換法求解。，對(duì)于無(wú)界空間的定解問(wèn)題，適用于傅里葉變換法求解。連續(xù)連續(xù)的，所求的解可表示為對(duì)連

3、續(xù)本征值求積分的的，所求的解可表示為對(duì)連續(xù)本征值求積分的傅里葉積傅里葉積無(wú)界空間，分離變數(shù)法求解定解問(wèn)題時(shí)，所得到的本征值是無(wú)界空間，分離變數(shù)法求解定解問(wèn)題時(shí)，所得到的本征值是離散的，所求的解可表為對(duì)本征值求和的離散的，所求的解可表為對(duì)本征值求和的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，對(duì)于，對(duì)于定解問(wèn)題變換成：定解問(wèn)題變換成：)(|),(|00022kUkUUakUtt 其中其中)()(kk，分別是分別是)(),(xx的傅里葉變換，這樣原來(lái)的傅里葉變換，這樣原來(lái)的定解問(wèn)題變成了常微分方程及初值條件，通解為：的定解問(wèn)題變成了常微分方程及初值條件，通解為：ikatikatekBekAktU)()(),(代入初始條

4、件可得：代入初始條件可得：)(121)(21)()(121)(21)(kikakkBkikakkA故故ikatikatikatikatekikaekekikaekktU)(121)(21 )(121)(21),(對(duì)對(duì)U作逆傅里葉變換，可得最后的結(jié)果如下：作逆傅里葉變換，可得最后的結(jié)果如下： atxatxdaatxatxtxu )(21)()(21),(求解無(wú)限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題求解無(wú)限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題)(|)(002xuxuautxxt作傅里葉變換，定解問(wèn)題變?yōu)椋鹤鞲道锶~變換，定解問(wèn)題變?yōu)椋?(|0022kUUakUt此常微分方程的初始問(wèn)題的解為此常微分方程的初始問(wèn)題的解為takekktU2

5、2)(),(進(jìn)行傅里葉逆變換可得：進(jìn)行傅里葉逆變換可得：dkeededkeekktUFtxuikxtakikikxtak2222)(21 )(),(),(1 交換積分次序交換積分次序ddkeetxuxiktak)(21 ),()(22積分公式：積分公式：22224/)/(eadkeekk222222222222222222222224404040)2(4)2(422222eedxeedeedkeedkeedkexkkkk求解無(wú)限長(zhǎng)細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)問(wèn)題求解無(wú)限長(zhǎng)細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)問(wèn)題0|)(,(02txxtuxtxfuau作傅里葉變換，定解問(wèn)題變?yōu)榉驱R次常微分方程：作傅里葉變換，定解問(wèn)題變?yōu)榉驱R次

6、常微分方程：0|);(022tUktFUakU令令)(,xita利用上述公式可得利用上述公式可得detatxutax224)(21)( ),(用用take22同乘方程各項(xiàng)，可得：同乘方程各項(xiàng)，可得：taktakektFektUdtd2222);(),(對(duì)對(duì)t積分一次，并考慮零初始值可得：積分一次，并考慮零初始值可得： taktakiktaktakddeeefdekFektU0022222222),( );();(進(jìn)行傅里葉逆變換進(jìn)行傅里葉逆變換dkeddeeftxuikxtiktak 0)(22),(21),(交換積分次序可得：交換積分次序可得： txiktakdddkeeftxu0)()(2

7、221),(),( 是單位面積硅片是單位面積硅片表層原有雜質(zhì)總量表層原有雜質(zhì)總量.并利用積分公式可得最后的結(jié)果為：并利用積分公式可得最后的結(jié)果為： ttaxddetaftxu0)(4)(22)(21),(),(在半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中，雜質(zhì)擴(kuò)散深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于硅片厚度，可在半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中，雜質(zhì)擴(kuò)散深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于硅片厚度，可)0( )0(|0|00002xxuuuautxxxxt0硅片，這里求解的是半無(wú)界空間硅片，這里求解的是半無(wú)界空間x0中的定解問(wèn)題中的定解問(wèn)題:有的雜質(zhì)向硅片內(nèi)擴(kuò)散，但不讓新的雜質(zhì)穿過(guò)硅片表面進(jìn)入有的雜質(zhì)向硅片內(nèi)擴(kuò)散，但不讓新的雜質(zhì)穿過(guò)硅片表面進(jìn)入以把硅片看成無(wú)限厚，在限定源擴(kuò)散中，是

8、只讓硅片表層已以把硅片看成無(wú)限厚，在限定源擴(kuò)散中，是只讓硅片表層已沒(méi)有雜質(zhì)穿過(guò)硅片表面沒(méi)有雜質(zhì)穿過(guò)硅片表面,即即:0|0 xxu第二類齊次邊界條件第二類齊次邊界條件這種邊界條件意味著偶延拓這種邊界條件意味著偶延拓,即求解以下定解問(wèn)題即求解以下定解問(wèn)題)0( )0()0( )0(|0|000002xxxxuuuautxxxxt)(2|00 xut則則)x)(-(2|0002xuuautxxt引用例引用例2結(jié)果可得結(jié)果可得taxtaxetadetatxu22224/04)(022 21)(2),(),(txuxO硅片表面硅片表面123右圖描述了雜質(zhì)濃度右圖描述了雜質(zhì)濃度u(x,t)在硅片中在硅片中

9、0即說(shuō)明雜質(zhì)總量不變即說(shuō)明雜質(zhì)總量不變,曲線跟縱軸相交處的切線都是水平的曲線跟縱軸相交處的切線都是水平的,在恒定表面濃度擴(kuò)散中在恒定表面濃度擴(kuò)散中,包圍硅片氣體包圍硅片氣體中含有大量的雜質(zhì)原子中含有大量的雜質(zhì)原子,源源不斷穿過(guò)硅片表面向內(nèi)部擴(kuò)散源源不斷穿過(guò)硅片表面向內(nèi)部擴(kuò)散,由由0|00002txxxtuNuuau即硅片表面的濃度梯度為零即硅片表面的濃度梯度為零,表明沒(méi)有新的雜質(zhì)進(jìn)入硅片表明沒(méi)有新的雜質(zhì)進(jìn)入硅片.度趨于均勻度趨于均勻,曲線下的面積為曲線下的面積為2,3依次對(duì)應(yīng)越來(lái)越晚的時(shí)刻依次對(duì)應(yīng)越來(lái)越晚的時(shí)刻,雜質(zhì)濃雜質(zhì)濃的分布情況的分布情況,曲線曲線1對(duì)應(yīng)于較早的時(shí)刻對(duì)應(yīng)于較早的時(shí)刻是半無(wú)

10、界空間是半無(wú)界空間x0中的定解問(wèn)題中的定解問(wèn)題于雜質(zhì)分子充足于雜質(zhì)分子充足,硅片表面雜質(zhì)濃度保持某個(gè)常數(shù)硅片表面雜質(zhì)濃度保持某個(gè)常數(shù)N0,這里所求這里所求首先把非齊次邊界條件化為齊次邊界條件首先把非齊次邊界條件化為齊次邊界條件,令令),(),(0txwNtxu則化為關(guān)于則化為關(guān)于w的定解問(wèn)題的定解問(wèn)題:00000002|0|0NNuwNuwwawttxxxxt這是第一類齊次邊界條件這是第一類齊次邊界條件,意味著奇延拓意味著奇延拓,即即)0()0(|00002xNxNwwawtxxt引用例引用例2結(jié)果可得結(jié)果可得04)(004)(022222121),(detaNdetaNtxwtaxtax第一

11、個(gè)積分中令第一個(gè)積分中令taddztaxz2/,2/ )(第二個(gè)積分中令第二個(gè)積分中令taddztaxz2/,2/ )(則有則有taxtaxztaxztaxzdzeNdzeNdzeNtxw2/2/02/02/0222 ),(被積函數(shù)是偶函數(shù)被積函數(shù)是偶函數(shù),故故taxzdzeNtxw2/0022),(記做記做erfx,則則w可寫(xiě)為可寫(xiě)為:)2(),(0taxerfNtxw所求的解如下所求的解如下:)2(1),(),(00taxerfNtxwNtxu記做記做erfcx,則有則有taxerfcNtxu2),(0),(txutxO硅片表面硅片表面123右圖描述了雜質(zhì)濃度右圖描述了雜質(zhì)濃度u(x,t)

12、在硅片中在硅片中求解三維無(wú)界空間中的波動(dòng)問(wèn)題求解三維無(wú)界空間中的波動(dòng)問(wèn)題)(|),(|00032rUruuauttttt明顯明顯,如果擴(kuò)散持續(xù)進(jìn)行下去如果擴(kuò)散持續(xù)進(jìn)行下去,則濃度分布最終將為常數(shù)則濃度分布最終將為常數(shù)N0(虛線虛線)的時(shí)刻的時(shí)刻,雜質(zhì)濃度趨于均勻的趨勢(shì)很雜質(zhì)濃度趨于均勻的趨勢(shì)很刻刻,2對(duì)應(yīng)于較晚的時(shí)刻對(duì)應(yīng)于較晚的時(shí)刻,3對(duì)應(yīng)于更晚對(duì)應(yīng)于更晚分布情況分布情況,曲線曲線1對(duì)應(yīng)于某個(gè)較早的時(shí)對(duì)應(yīng)于某個(gè)較早的時(shí)做傅里葉變換做傅里葉變換,問(wèn)題變換為問(wèn)題變換為的初始值問(wèn)題的初始值問(wèn)題 )(|),(|00022kUkUUakUtt這個(gè)方程的解為這個(gè)方程的解為)(121)(21),(ikati

13、katikatikateekikaeekktU再進(jìn)行傅里葉逆變換再進(jìn)行傅里葉逆變換321)(121)( )(21)(),(dkdkdkeeeikakeektrUrikikatikatikatikatVddkdkdkeeeararrikikatikat)(4)(41321)(2Vddkdkdkeeeikrarrikikatikat)(141)(41321)(2Vddkdkdkeeeikrtarrikikatikat)(141)(41321)(2Vddkdkdkeeeikrarrikikatikat)(141)(41321)(2利用利用5.3例例1的結(jié)果的結(jié)果)(41),(rtatrUVddkdk

14、dkeatrrrrik321)()(1)(41raVddkdkdkeatrrrrik321)()(1應(yīng)用延遲定理應(yīng)用延遲定理VdatrrrrrtatrU)| (|)(41),(Vdatrrrrra)| (|)(41出現(xiàn)出現(xiàn))| (atrr對(duì)對(duì)ratS的積分只要在球面的積分只要在球面上進(jìn)行上進(jìn)行ratS以以r為球心為球心(矢徑矢徑r),半徑為半徑為atratratSSSdatraSdatrtatrU)(41)(41),(Sd 為球面為球面 的面積元的面積元,此即此即ratSr三維無(wú)界空間中的波動(dòng)三維無(wú)界空間中的波動(dòng),只要知道初始狀況只要知道初始狀況,就可以用泊松公式就可以用泊松公式ratS然后拿

15、初始擾動(dòng)然后拿初始擾動(dòng))(, )(rr按泊松公式在球面按泊松公式在球面 上積分上積分ratS,波動(dòng)以速度波動(dòng)以速度a傳播傳播,只有跟點(diǎn)只有跟點(diǎn)r相距相距at的那些點(diǎn)的初始擾動(dòng)恰好在時(shí)刻的那些點(diǎn)的初始擾動(dòng)恰好在時(shí)刻t傳到傳到rrdDT0初始擾動(dòng)只限于區(qū)域初始擾動(dòng)只限于區(qū)域T0,如圖如圖,取一定點(diǎn)取一定點(diǎn)r,與與T0ratS跟跟T0不相交不相交,按泊松公式按泊松公式u(r,t)=0,表示擾動(dòng)的前鋒表示擾動(dòng)的前鋒沒(méi)有到達(dá)沒(méi)有到達(dá)r,當(dāng)當(dāng)d/atD/a, 包圍了包圍了T0,但跟但跟T0不相交不相交,u(r,t)=0,表明表明ratS球心球心,以以at為半徑作球面為半徑作球面求以后任一時(shí)刻的狀況求以后任一時(shí)刻的狀況,具體說(shuō)具體說(shuō),為求時(shí)刻為求時(shí)刻t在在r的的u(r,t),應(yīng)以應(yīng)以r為為擾動(dòng)已經(jīng)過(guò)去擾動(dòng)已經(jīng)過(guò)去.最小距離為最小距離為d,最大距離為最大距離為D,當(dāng)當(dāng)td/a,yxat,跟跟T0總有重疊總有重疊,積分一般不為零積分一般不為零在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)總有擾動(dòng)總有擾動(dòng),可以看成某種三維波動(dòng)的剖面可以看成某種三維波動(dòng)的剖面.計(jì)算計(jì)算)(1cr