方向向量與法向量

1、3.2.1立體幾何中的向量方法方向向量與法向量lAPa 直線的方向向量直線的向量式方程 換句話說換句話說, ,直線上的非零向量直線上的非零向量叫做叫做直線的直線的方向向量方向向量APta 一、方向向量與法向量 1直線的方向向量直線的方向向量 直線的方向向量是指和這條直線直線的方向向量是指和這條直線 的向量的向量平行或共線平行或共線例例1:已知長方體已知長方體ABCDABCD的棱長的棱長AB=2,AD=4,AA=3.建系如圖建系如圖,求下列直線的一個(gè)方求下列直線的一個(gè)方向向量向向量:(1)AA; (2)BC; (3)AC; (4)DB.ABCDABCD解解:A(4,0,3), B(4,2,3),

2、 C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0).),30,0()1(AA).30 , 0( AAdAA 的的一一個(gè)個(gè)方方向向向向量量是是直直線線).3 , 0 , 4()2(CBd).3 , 2 , 4()3(CAd).3, 2 , 4()4(DBd例例2:已知所有棱長為已知所有棱長為 的正三棱錐的正三棱錐A-BCD,試建立試建立空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系,確定各棱所在直線的方向向量確定各棱所在直線的方向向量.aABCDEFxyz(O)解解:建系如圖建系如圖,則則B(0,0,0)、).0 ,2,23()0 , 0(aa

3、CaD、),0 ,2,63().0 ,2, 0(.aaFaEBCDFBDE則則的中心的中心是等邊是等邊的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，為為設(shè)設(shè) ,3632222aaaCFACAF ).36,2,63(aaaABEFxyz(O).36,2,63(aaaA)0 , 0(aD).0 ,2,23(aaC);0 , 1 , 0(BDd);0 , 1 , 3(BCd);0 , 1 , 3(CDd);22 , 3, 1 (BAd);20 , 1 (ACd).22, 3, 1(ADd2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0a AP 換句話說換句話說, ,與平面垂直的與平面垂直的非零向量非零向量叫做平面

4、叫做平面的的法法向量向量 2平面的法向量平面的法向量 直線直線l，取直線，取直線l的的 a，則，則a叫做平面叫做平面的的法向量法向量. 方向向量方向向量oxyzABCO1A1B1C1例1. 如圖所示, 正方體的棱長為1(1)直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為_(2)平面OABC 的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_(3)平面AB1C 的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)如何刻畫平面的方向？如何刻畫平面的方向？二、平面的法向量：二、平面的法向量：叫做叫做那么向量那么向量垂直，垂直，面面如果它所在的直線與平如果它所在的直線與平對(duì)于非零的空間向量對(duì)于非零的空間向量nn ,.的的一一個(gè)個(gè)法法向

5、向量量平平面面 例例3：長方體中，求下列平面的一個(gè)法向量：長方體中，求下列平面的一個(gè)法向量：（1）平面）平面ABCD; (2)平面平面ACCA; (3)平面平面ACD.xyzABCDABCD234).1 , 0 , 0(1 n）解：（解：（xyzABCDABCD234則則的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量為為設(shè)設(shè)平平面面),()2(wvunAACC . 00ACnAAnACnAAn),0 , 2 , 4(),30 , 0( ACAA 020002)4(0)3(00vuwwvuwvu, 21 vu取取).0 , 2 , 1( nAACC的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量平平面面xyzABCDABCD234的的一一個(gè)

6、個(gè)法法向向量量，是是平平面面設(shè)設(shè)),()3(ACDwvun 00ADnACnADnACn),3, 0 , 4(),0 , 2 , 4( ADAC.342034024 uwuvwuvu, 4, 6, 3 wvu得得取取).4,6 ,3( nACD 的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量平平面面【答案】 D 解解: :設(shè)設(shè)平平面面ABC的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量為為( , , )nx y z 求平面向量的法向量 因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的用直線的方向向量方向向量與平面的與平面的法向量法向量表表示空間直線、平面間的

7、示空間直線、平面間的平行、垂直、平行、垂直、夾角、距離夾角、距離等位置關(guān)系等位置關(guān)系. 用向量方法解決立體問題二、立體幾何中的向量方法二、立體幾何中的向量方法證明平行與垂直證明平行與垂直mlab（一）（一）. 平行關(guān)系：平行關(guān)系：au aAC axAByAD v u u(1) lm0aba b （二）、垂直關(guān)系：（二）、垂直關(guān)系：lmab(2) l /auau lauABC3 （）0uvu v u v 線線面面平平行行 面面面面平平行行 四、平行關(guān)系：四、平行關(guān)系：111222(,),(,),laa b cua b c設(shè)直線 的方向向量為平面 的法向量為則121 21 2/00;laua ab

8、bc c五、垂直關(guān)系：五、垂直關(guān)系：111222222,0, /abca b cauabc當(dāng)時(shí)111222(,),(,),aa b cua b c若則121212/,.lauakuaka bkb ckc 例例1 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中點(diǎn)，中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求證：求證：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)AE =(-3,3,3),FG

9、=(-2,2,2)32 AE =FGAE =FGAE/FG 證證 ：如圖所示：如圖所示, , 建立建立空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系. ./ AEFGAEFG幾何法呢？幾何法呢？ 例例3 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點(diǎn)，中點(diǎn)， (1)求證：求證：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG法法1 幾何法幾何法ABCDP PE EXYZG法法2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)證明：連結(jié)AC,AC交交BD于點(diǎn)于點(diǎn)G,連

10、結(jié)連結(jié)EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依題題意意得得G1 11 1( ,( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP PE EXYZ法法3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/

11、1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)設(shè)平面設(shè)平面EDB的法向量為的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn XYZABCDP PE E法法4：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(

12、1, 1，0)0)PAxDEyDB 設(shè)解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中點(diǎn)，求證：中點(diǎn)，求證：D1F1111DCBAABCD 例例2 2 正方體正方體中，中，E、F分別分別平面平面ADE. 證明：設(shè)正方體棱長為證明：設(shè)正方體棱長為1， 為單位為單位正交正交 基底，建立如圖所示坐標(biāo)系基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 則則， 所以所以1DFADE 平平面面DADE 則則， A1xD1B1ADBCC1yzEF

13、111133ABDCFD FDAE變式：正四棱柱AC中，AA，E為BB中點(diǎn)在上找一點(diǎn) 使得面,E,E是是AA1 1中點(diǎn)，中點(diǎn)，1111DCBAABCD 例例3 3 正方體正方體平面平面C1 1BD. 證明：證明：E求證：求證：平面平面EBD設(shè)正方體棱長為設(shè)正方體棱長為2, 建立如圖所示坐標(biāo)系建立如圖所示坐標(biāo)系平面平面C1BD的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)ED 設(shè)平面設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD. 平面平面EBDxyz期中22如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大??；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE平面PAC.若存在，求SE EC 的值xyzE解:(3)建系如圖，設(shè)AB=1，則22(0 0)2B， ，2(0 0)2D ， ，6(0 0)2S， ，26(0,)22SESC 設(shè)