大學(xué)物理：第二十二講麥克斯韋、玻爾茲曼分布

1、1對(duì)某一個(gè)分子來(lái)說(shuō)，其速度大小和方向完全是偶對(duì)某一個(gè)分子來(lái)說(shuō)，其速度大小和方向完全是偶然的。但就大量分子整體而言，在一定條件下，其然的。但就大量分子整體而言，在一定條件下，其速度分布遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。速度分布遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。二、麥克斯韋速率分布律二、麥克斯韋速率分布律設(shè)設(shè) N 個(gè)分子，速率分布于個(gè)分子，速率分布于 v v + dv 區(qū)間的分子數(shù)為區(qū)間的分子數(shù)為 dN ，則，則f (v) 氣體分子按速率分布的概率分布函數(shù)氣體分子按速率分布的概率分布函數(shù)氣體分氣體分子的速率分布函數(shù)子的速率分布函數(shù)。 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù) ( ) dNf vNdv( )dNf v dvN2 ( ) dNf

2、 vNdv速率分布函數(shù)的物理意義速率分布函數(shù)的物理意義分布于速率分布于速率 v 附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比?？偡肿訑?shù)的比。也表示一個(gè)分子的速率處于也表示一個(gè)分子的速率處于 v 附近單位速率間隔附近單位速率間隔內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。理由：理由：同時(shí)跟蹤大量分子與長(zhǎng)時(shí)間跟蹤一個(gè)分子同時(shí)跟蹤大量分子與長(zhǎng)時(shí)間跟蹤一個(gè)分子的統(tǒng)計(jì)結(jié)果相同。的統(tǒng)計(jì)結(jié)果相同。故故dN / N 也等于一個(gè)分子的速率取值在也等于一個(gè)分子的速率取值在v v + dv 區(qū)間內(nèi)的概率。區(qū)間內(nèi)的概率。3 麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋用概率論導(dǎo)出，當(dāng)忽略氣體分子間的相麥克斯韋

3、用概率論導(dǎo)出，當(dāng)忽略氣體分子間的相互作用時(shí)，在平衡態(tài)下，氣體分子的速率分布函互作用時(shí)，在平衡態(tài)下，氣體分子的速率分布函數(shù)為：數(shù)為：當(dāng)當(dāng) T、m 一定，一定，f (v) 就是只速率就是只速率 v 的函數(shù)。的函數(shù)。 2322242mvkTmf vevkT( )f vov43. 3.速率分布曲線的意義速率分布曲線的意義1. 1.對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于dv的小面元的小面元 dS 的值等于分布在的值等于分布在v附近的速率區(qū)間附近的速率區(qū)間 dv 內(nèi)的分內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。子數(shù)占總分子數(shù)的比率。2. 2. v1 v2 之間的面元之間的面元 S代表分布在代表分布在 v1 v2 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子速率區(qū)

4、間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。數(shù)的比率。21( )vvNSf v dvN( )dNdSf v dvN( )f vov1v2vS( )f vovdvdSv53. 3.曲線下面的總面積曲線下面的總面積歸一化條件歸一化條件4. 4.曲線極大值的意義曲線極大值的意義速率速率 vP 最概然速率最概然速率。速率值在速率值在 vP 附近的分子數(shù)占附近的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率最大?？偡肿訑?shù)的比率最大。或者說(shuō)一個(gè)分子的速率取值或者說(shuō)一個(gè)分子的速率取值在在vP 附近的概率最大。附近的概率最大。( )f vov( )f vovdvdSvPv 01f v dv00( )1NdNSf v dvN( )dNf vNdv6

5、5. 5.曲線隨溫度的變化關(guān)系曲線隨溫度的變化關(guān)系溫度升高，曲線右移。即溫度升高，曲線右移。即 T 增大時(shí)速率大的分子增大時(shí)速率大的分子增多，速率小的分子減少。增多，速率小的分子減少。因曲線下的總面積恒等于因曲線下的總面積恒等于1 1，故此時(shí)曲線變得較為，故此時(shí)曲線變得較為平坦。平坦。 2322242mvkTmf vevkT( )f vov400KT 1T2T21 TT1000KT 76. 6.曲線隨分子量的變化關(guān)系曲線隨分子量的變化關(guān)系分子質(zhì)量越大，曲線峰值越向左，峰值也越高；分子質(zhì)量越大，曲線峰值越向左，峰值也越高；反之，質(zhì)量越小，曲線峰值越向右，峰值也越低。反之，質(zhì)量越小，曲線峰值越向右

6、，峰值也越低。分子質(zhì)量越小，曲線越平坦。分子質(zhì)量越小，曲線越平坦。 2322242mvkTmf vevkT( )f vovHe2O3000KT 2 OHemm8m(或或 M) 一定時(shí)，一定時(shí)， 。當(dāng)溫度升高時(shí)，峰。當(dāng)溫度升高時(shí)，峰值右移，曲線高度下降。值右移，曲線高度下降。 T一定時(shí)，一定時(shí)， 或或 。m 或或 M 越大越大者，峰值越向左，曲線高度也越高。者，峰值越向左，曲線高度也越高。 三種統(tǒng)計(jì)速率及計(jì)算三種統(tǒng)計(jì)速率及計(jì)算1. 1.最概然速率最概然速率vPvP 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 f (v) 的極大值。的極大值。求極值：求極值：1/M1/PvmPvT221.41PkTRTRTvmMM( )0Pv

7、vdf vdvAMmN/AkR N( )f vovPv92. 2.平均速率平均速率氣體分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值氣體分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值內(nèi)分子數(shù)：內(nèi)分子數(shù)：dN 個(gè)分子速率總和：個(gè)分子速率總和：求分子速率的各種統(tǒng)計(jì)平均值的一般方法求分子速率的各種統(tǒng)計(jì)平均值的一般方法:( )dNf v dvN 220vv f v dv 0vvf v dv 000NvdNvNf v dvvvf v dvNN( )vdNvf v Ndv( )dNNf v dvvvdvv103. 3.方均根速率方均根速率分子速率平方的平均值的平方根分子速率平方的平均值的平方根2rms331.73kTRTRTvvmMM 2203kTvv f

8、 v dvm881.60kTRTRTvmMM 232320042mvkTmvvf v dvev dvkT2v11三種統(tǒng)計(jì)速率大小的比較三種統(tǒng)計(jì)速率大小的比較2 Pvvv21.73RTvM1.60RTvM1.41PRTvM2vv Pv( )f vov12例：例：求求0 0 C C時(shí)氮分子中時(shí)氮分子中速率在速率在500m/s500m/s到到501m/s501m/s之間的分之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。子數(shù)占總分子數(shù)的比率。解：解：根據(jù)麥克斯韋速率分布律，速率分布在根據(jù)麥克斯韋速率分布律，速率分布在v附近附近dv 速率速率間隔內(nèi)的分子數(shù)為間隔內(nèi)的分子數(shù)為在在 v1 v2 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為區(qū)間內(nèi)的分子

9、數(shù)為v1 v2 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比為區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比為很小時(shí)，上式可寫為很小時(shí)，上式可寫為 Nf vvN21vvv 21vvNf v dvN 21vvNdNNf v dv ( )dNNf v dv13224PvvPPNvveNvv22 2322224141PPvvvvPPPvevevvv 2322242mvkTmf vevkT Nf vvN2PkTvm1422(1.24)341(1.24)1.47 10402NeN1.241Pvvv 2402m /s,500m /s,PRTvvM224PvvPPNvveNvv15例：例：由由N個(gè)分子組成的氣體，其分子按速率的分布規(guī)律個(gè)分子

10、組成的氣體，其分子按速率的分布規(guī)律如圖如圖( (a為待定常數(shù)為待定常數(shù)) )。求：求：1. 1.速率分布函數(shù)；速率分布函數(shù)；2. 2.分子的平分子的平均速率；均速率；3. 3.速速率分布于率分布于1.5 v0 2.5v0 之間的分子數(shù)。之間的分子數(shù)。解：解：1. 1.由曲線可得：由曲線可得：歸一化：歸一化：( )f vov0 v a0 3v025av00 (3)vv00 (3)avvv00 (0)avvvv( )f v 0003000( )1vvvaf v dvvdvadvv16( )f vov0 v a0 3v025av00 (3)vv00 (3)avvv00 (0)avvvv( )f v

11、00002.52.51.51.5022( )553.vvvvNNNf v dvdvNv0000302002( )2226()51.55vvovvvf v dvvvdvvdvvvv17在平衡態(tài)下，速度分布于區(qū)間在平衡態(tài)下，速度分布于區(qū)間三、麥克斯韋速度分布律三、麥克斯韋速度分布律的分子數(shù)占總分子數(shù)的比為：的分子數(shù)占總分子數(shù)的比為：上式比麥克斯韋速率分布律更具普遍意義。上式比麥克斯韋速率分布律更具普遍意義。速率分布函數(shù)可由上式推導(dǎo)出來(lái)。速率分布函數(shù)可由上式推導(dǎo)出來(lái)。2223()222xyzm vvvkTxyzdNmedv dv dvNkT,xxxyyyzzzvvdvvvdvvvdv18速率分布律和

12、速度分速率分布律和速度分布律中布律中dN個(gè)分子分布個(gè)分子分布范圍的區(qū)別。范圍的區(qū)別。速率分布：速率分布：整個(gè)球殼內(nèi)。整個(gè)球殼內(nèi)。速度分布：速度分布：小立方體內(nèi)。小立方體內(nèi)。zvvxvvdvzdvydvxdvkTmve2222mv在麥克斯韋速率分布函數(shù)中，有一個(gè)指數(shù)因子在麥克斯韋速率分布函數(shù)中，有一個(gè)指數(shù)因子。由于。由于是分子的平動(dòng)動(dòng)能，所以這個(gè)因子說(shuō)明速率分布與分是分子的平動(dòng)動(dòng)能，所以這個(gè)因子說(shuō)明速率分布與分子的平動(dòng)動(dòng)能有關(guān)。子的平動(dòng)動(dòng)能有關(guān)。TEkTEekTEe玻耳茲曼將麥克斯韋速率分布規(guī)律推廣為：在溫度為玻耳茲曼將麥克斯韋速率分布規(guī)律推廣為：在溫度為的平衡態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子按狀態(tài)的分

13、布與該狀的平衡態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子按狀態(tài)的分布與該狀態(tài)區(qū)間的一個(gè)粒子的能量態(tài)區(qū)間的一個(gè)粒子的能量有關(guān)，而且與有關(guān)，而且與成正比。這個(gè)結(jié)論叫玻耳茲曼分布律，它是統(tǒng)計(jì)物理中成正比。這個(gè)結(jié)論叫玻耳茲曼分布律，它是統(tǒng)計(jì)物理中適用于任何系統(tǒng)的一個(gè)基本定律，適用于任何系統(tǒng)的一個(gè)基本定律，稱作玻耳茲曼因子。稱作玻耳茲曼因子。 201. 1.玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律麥克斯韋速率分布律的適用范圍：無(wú)外力場(chǎng)作用，麥克斯韋速率分布律的適用范圍：無(wú)外力場(chǎng)作用，分子的空間密度均勻。分子的空間密度均勻。當(dāng)氣體處于外場(chǎng)中時(shí)，分子在空間的分布不均勻當(dāng)氣體處于外場(chǎng)中時(shí)，分子在空間的分布不均勻. .分子按速度和空間的分布

14、由分子按速度和空間的分布由玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律確定。確定。設(shè)分子系統(tǒng)在外力場(chǎng)中處于平衡態(tài)，其中設(shè)分子系統(tǒng)在外力場(chǎng)中處于平衡態(tài)，其中dNdN個(gè)分子個(gè)分子的空間位置和速度分別處于如下區(qū)間：的空間位置和速度分別處于如下區(qū)間：四、玻爾茲曼分布律四、玻爾茲曼分布律則這則這dN個(gè)分子的分布滿足下述玻爾茲曼分布律：個(gè)分子的分布滿足下述玻爾茲曼分布律：,xxxyyyzzzvvdv vvdv vvdvxxdxyydyzzdz，21為分子動(dòng)能為分子動(dòng)能玻爾茲曼分布律：玻爾茲曼分布律：處的分子數(shù)密度。處的分子數(shù)密度。2. 2.分子在外力場(chǎng)中按空間位置的分布分子在外力場(chǎng)中按空間位置的分布在玻爾茲曼分布中對(duì)所有

15、速度積分。在玻爾茲曼分布中對(duì)所有速度積分。( (三個(gè)速度分三個(gè)速度分 量積分范圍均為量積分范圍均為 - - + + ) ) 即只考慮全體分子按空間位置的分布規(guī)律，而不管即只考慮全體分子按空間位置的分布規(guī)律，而不管這些分子速度如何。這些分子速度如何。2221()2kxyzm vvv00Pn3 202kPkTxyzmdNnedv dv dv dxdydzkT22玻爾茲曼公式對(duì)所有速度積分得玻爾茲曼公式對(duì)所有速度積分得分子密度：分子密度：3. 3.氣體在重力場(chǎng)中按高度的分布?xì)怏w在重力場(chǎng)中按高度的分布在重力場(chǎng)中，在重力場(chǎng)中，0 mgzkTnn ePmgzdNndV0PkTnn e00PPkTkTdNn

16、 edxdydzn edV23討論：討論：1. 1.大氣分子數(shù)密度隨高度大氣分子數(shù)密度隨高度( (重力勢(shì)能重力勢(shì)能) )的增加而按指數(shù)減??；的增加而按指數(shù)減小；2. 2.分子質(zhì)量越大，數(shù)密度隨高度的減小愈快。分子質(zhì)量越大，數(shù)密度隨高度的減小愈快。如氫氣、氧氣密度隨高度的變化如氫氣、氧氣密度隨高度的變化. .3. 3.以上規(guī)律是分子熱運(yùn)動(dòng)與重力共同作用的結(jié)果。以上規(guī)律是分子熱運(yùn)動(dòng)與重力共同作用的結(jié)果。4. 4.該式是在恒溫假設(shè)下得出的。但因?qū)嶋H上大氣溫度隨該式是在恒溫假設(shè)下得出的。但因?qū)嶋H上大氣溫度隨高度增加而降低，故大氣并不嚴(yán)格遵守該式。高度增加而降低，故大氣并不嚴(yán)格遵守該式。珠峰高度珠峰高度8844m含氧量減半高度含氧量減半高度0mgzkTnn e