應(yīng)用數(shù)學(xué)論文---定積分在生活中的應(yīng)用

1、目 錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words1引言 11 定積分概述21.1 定積分的定義21.2 定積分的性質(zhì)21.3 定理及方法32 定積分的應(yīng)用42.1 定積分在平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、曲線弧長上的應(yīng)用42.2定積分在物理中的應(yīng)用83 總結(jié) 11致謝11參考文獻(xiàn)11定積分在生活中的應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生 鄭劍鋒指導(dǎo)教師 徐玉梅論文摘要：本文簡要的討論了定積分在生活中的基本應(yīng)用。數(shù)學(xué)方面包括應(yīng)用定積分計(jì)算平面曲線的弧長、平面圖形的面積以及立體圖形的體積和物理應(yīng)用。關(guān)鍵詞：微元法 定積分 數(shù)列極限The Definite Integral in Our Life of Ap

2、plicationStudent majoring in mathematics and applied mathematics Jianfeng Zheng Tutor Yumei XuAbstract：This paper discussed the definite integral in our life of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area

3、 and volume of three-dimensional graph and physical applications.Key words: Micro element method definite integral sequence limit引言本文主要介紹了定積分在生活中的應(yīng)用，定積分作為大學(xué)里很重要的一部分，在生活有廣泛的應(yīng)用，微積分是與應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分是為了從萬有引力導(dǎo)出行星三定律，此后，微積分極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展，而且隨著人類知識(shí)的不斷發(fā)展，微積分正指引著人類走向認(rèn)知的殿堂。

4、一、定積分的概述1、定積分的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)， 把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間： 有且各個(gè)小區(qū)間的長度依次為，。在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作函數(shù)與小區(qū)間長度的乘積（），并作出和。記，如果不論對怎樣分法，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣取法，只要當(dāng)時(shí)，和總趨于確定的極限，這時(shí)我們稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡稱積分），記作，即=, 其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。2定積分的性質(zhì).設(shè)函數(shù)和在上都可積，是常數(shù)，則和+都可積，并且性質(zhì)1 =;性質(zhì)2 =+=-.性質(zhì)3 定積分對于積分區(qū)間的可加性設(shè)在區(qū)間上可積，且，和都是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則

5、不論，和的相對位置如何，都有=+。性質(zhì) 4 如果在區(qū)間上1，則=。性質(zhì) 5 如果在區(qū)間上,則。性質(zhì) 6 如果在上,則性質(zhì) 7（積分中值定堙）如果在上連續(xù)，則在上至少存一點(diǎn)使得3定理及方法1、定理定理1 微積分基本定理 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則積分上限函數(shù)=在上可導(dǎo),并且它的導(dǎo)數(shù)是=.定理 2 原函數(shù)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)=就是在上的一個(gè)原函數(shù).定理3 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù),則 =稱上面的公式為牛頓-萊布尼茨公式.2、方法定積分的換元法假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),函數(shù)滿足條件(1),;(2) 在(或)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域,則有=,上面的公式叫做定積分的換元公式.定積

6、分的分部積分法根據(jù)不定積分的分部積分法,有 簡寫為 =或=.二 、定積分的應(yīng)用一、計(jì)算平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、曲線弧長上的應(yīng)用1、利用定積分計(jì)算平面圖形的面積（1）設(shè)連續(xù)函數(shù)和滿足條件，求曲線，及直線所圍成的平面圖形的面積（如圖1）解法步驟： 第一步：在區(qū)間上任取一小區(qū)間，并考慮它上面的圖形的面積，這塊面積可用以為高，以為底的矩形面積近似，于是第二步：在區(qū)間上將無限求和，得到.圖2 （2）上面所訴方法是以為積分變量進(jìn)行微元，再求得所圍成圖形的面積；我們還可以將作為積分變量進(jìn)行微元，再求圍成的面積。由連續(xù)曲線、其中與直線、所圍成的平面圖形（圖2）的面積為：例1 求由曲線，及兩直線，所圍成的圖形

7、的面積A解 （1）作出圖形，如圖所示易知，在上，曲線與的交點(diǎn)為；（2）取為積分變量，積分區(qū)間為從圖中可以看出，所圍成的圖形可以分成兩部分；（3）區(qū)間上這一部分的面積和區(qū)間上這一部分的面積分別為，所以，所求圖形的面積為=+ 例2 求橢圓的面積.解橢圓關(guān)于軸,軸均對稱,故所求面積為第一象限部分的面積的4倍,即利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分的換元法,且當(dāng)時(shí),時(shí),于是2求旋轉(zhuǎn)體體積用類似求平面圖形面積的思想我們也可以求一個(gè)立體圖形的體積，例如一個(gè)木塊的體積，我們可以將此木塊作分割劃分成許多基本的小塊，每一塊的厚度為，假設(shè)每一個(gè)基本的小塊橫切面積為，為上連續(xù)函數(shù)，則此小塊的體積大約是，將所有的小塊加起來，

8、令，我們可以得到其體積： 。例2 求由曲線, 直線 ,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.解 先畫圖形，因?yàn)閳D形繞軸旋轉(zhuǎn)，所以取為積分變量，的變化區(qū)間為1,4，相應(yīng)于1，4上任取一子區(qū)間,+的小窄條，繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用高為，底面積為的小圓柱體體積近似代替，即體積微元為 =, 于是，體積 =1616=12.3 求曲線的弧長（1）設(shè)曲線在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)（如下圖）,利用微元法，取為積分變量，在上任取小區(qū)間，切線上相應(yīng)小區(qū)間的小段的長度近似代替一段小弧的長度，即.得弧長微元為：,再對其積分，則曲線的弧長為：（2）參數(shù)方程表示的函數(shù)的弧長計(jì)算，設(shè)曲線上一段的弧長.這時(shí)弧長微元為：即則曲線的弧

9、長為：例3 (1)求曲線 上從0到3一段弧的長度解 由公式 = （ ）知,弧長為=.(2)求擺線在上的一段弧的長度（）解 取為積分變量，積分區(qū)間為由擺線的參數(shù)方程，得，于是，由公式（16-13），在上的一段弧的長度為二、定積分在物理中的應(yīng)用1、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程我們知道，作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v (t) ( v(t) 0) 在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分，即 例 1、一輛汽車的速度一時(shí)間曲線如圖所示求汽車在這1 min 行駛的路程解：由速度一時(shí)間曲線可知：因此汽車在這 1 min 行駛的路程是：答：汽車在這 1 min 行駛的路程是 1350m .2、 定積分在變

10、力作功的應(yīng)用 一物體在恒力F（單位：N）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與F相同的方向移（單位：m)，則力F所作的功為W=Fs .探究如果物體在變力 F(x）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與 F (x) 相同的方向從x =a 移動(dòng)到x=b (a<b) ，那么如何計(jì)算變力F(x）所作的功W呢？與求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一樣，可以用“四步曲”解決變力作功問題可以得到 例2 設(shè)40N的力使一彈簧從原長10cm拉長到15cm現(xiàn)要把彈簧由15cm拉長到20cm，需作多少功？解 以彈簧所在直線為軸，原點(diǎn)為彈簧不受力時(shí)一端的位置根據(jù)胡克定律，當(dāng)把彈簧拉長m時(shí)，所需的力為，（1）其中為彈

11、性系數(shù)，是常數(shù)根據(jù)題意，當(dāng)把彈簧由原長10cm拉長到15cm時(shí)，拉伸了0.05m，把代入式（1），得 ， 所以因此當(dāng)把彈簧由15cm拉長到20cm，即從變到時(shí)，所需作的功為3、定積分在在電學(xué)中的應(yīng)用例3、有一均勻帶電圓盤，其半徑為，電荷面密度為（如下圖），求圓盤軸線上與盤心O相距為的任一給定點(diǎn)處的場強(qiáng)？分析：因?yàn)閳A盤帶電均勻分布，所以把圓盤分成許多同心的細(xì)圓環(huán)。分成的細(xì)圓環(huán)同樣也是均勻帶電的，要知道各細(xì)圓環(huán)在點(diǎn)處的場強(qiáng)，我們可以同樣利用微元法在細(xì)圓環(huán)上任取微小的電荷元，求出每一電荷元在點(diǎn)的場強(qiáng)，那么由場強(qiáng)疊加原理，最后即可求出圓盤在點(diǎn)處的總場強(qiáng)。 解：從圓盤上任取一半徑為，寬度為的細(xì)圓環(huán)，因?yàn)?/p>

12、圓盤的面密度，則細(xì)圓環(huán)所帶的電荷量為.那么我們先來計(jì)算一下這個(gè)圓環(huán)(假設(shè)帶電量為)在點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)。如下圖所示，在圓環(huán)上任取長度元，電荷線密度，則上所帶的電荷量為：在點(diǎn)處所激發(fā)的場強(qiáng)為：式中是從指向點(diǎn)的矢量，其大小，由于圓環(huán)上各電荷元在點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)的方向各不相同，為此把分解為平行于軸線的分量和垂直于軸線的分量。根據(jù)對稱性，各電荷元的場強(qiáng)的分矢量相互抵消。所以點(diǎn)的合場強(qiáng)是平行于軸的那些分矢量之和，即從而，帶電細(xì)圓環(huán)在點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)為：那么，帶電圓盤就是這些帶電細(xì)小圓環(huán)所激發(fā)的場強(qiáng)的矢量和，即場強(qiáng)的方向與圓盤相垂直，其指向則視的正負(fù)而定，的方向與同向；，與反向。3 總結(jié) 從上面的論述中可以看出，定積分

13、的應(yīng)用十分的廣泛，利用定積分來解決其他學(xué)科中的一些問題，是十分的簡潔、方便，由此可對見向?qū)W習(xí)、思維的妙處.因此我們要學(xué)會(huì)橫向?qū)W習(xí)，各個(gè)學(xué)科之間都是有聯(lián)系的，若我們能夠在學(xué)習(xí)中把這些聯(lián)系找出來并加以分析、總結(jié)并應(yīng)用，則不僅能加深對知識(shí)的理解，貫通了新舊知識(shí)，還能拓寬知識(shí)的應(yīng)用范圍、活躍思維，無論從深度上還是廣度上都是質(zhì)的飛躍.致謝通過這段時(shí)間的努力我的畢業(yè)論文終于完成了，這也意味著我的大學(xué)生活即將束，大學(xué)階段，我在學(xué)習(xí)上和思想上都受益匪淺，這與同學(xué)老師和親人的鼓勵(lì)與支持是分不開的，感謝數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系的各位老師、同學(xué)們，與他們的交流讓我學(xué)到了很多. 感謝和我一起生活了4年的舍友們，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q問題的態(tài)度，靈活的思考問題的方式，扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度都給了我很大的啟發(fā).寫畢業(yè)論文是一次再系統(tǒng)學(xué)習(xí)的過程，我要感謝在這一過程中給我建議，指導(dǎo)我寫作論文的徐老師，從選題到開題，從提綱到正文，嚴(yán)格