函數(shù)間斷點分類及類型

1、1.5.3 函數(shù)的間斷點及其類型函數(shù)的間斷點及其類型p17 a-b=0a-b=0 a-b0a-b0說明說明a a與與b b相等相等的的說明說明a a與與b b接近（幾乎）相等接近（幾乎）相等（a a與與b b是緊緊挨著的）是緊緊挨著的）極限概念當中的極限概念當中的“無窮小無窮小”是可以描述是可以描述“緊緊緊緊”跟跟隨隨復習復習oxy112oxy112“緊緊緊緊”跟隨跟隨四個字概括連續(xù)函數(shù)圖像的特點四個字概括連續(xù)函數(shù)圖像的特點是：是：00m(i)l0 xyf xx 函函數(shù)數(shù)在在點點處處連連續(xù)續(xù)00lim( )()xxf xf x aa bb30( );f xx 在在點點 處處有有定定義義0lim

2、( )= ();xxf xA存存在在00lim( )()xxf xAf x00,()(),()().fxxxfx如如果果上上述述三三個個條條件件中中則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點點處處不不只只要要有有一一連連續(xù)續(xù) 或或間間斷斷并并稱稱點點為為的的不不連連續(xù)續(xù)點點 或或個個不不間間斷斷點點滿滿足足1. 間斷點的定義間斷點的定義0lim( )xxf x 0()f x0( ):f xx函函數(shù)數(shù)在在點點處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個條條件件0( )f xx函函數(shù)數(shù)在在點點處處連連續(xù)續(xù)在某點沒定義在某點沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等4oyx0 xoyx0 xoxy112

3、oyx0 x2、間斷點圖形舉例：、間斷點圖形舉例：函數(shù)在一點函數(shù)在一點間斷間斷，其圖形在該點，其圖形在該點斷開斷開.oxy5oyx0 x間斷點圖形舉例：間斷點圖形舉例：函數(shù)在一點函數(shù)在一點間斷間斷，其圖形在該點，其圖形在該點斷開斷開.不見了不見了在某點沒定義在某點沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等6間斷點圖形舉例：間斷點圖形舉例：函數(shù)在一點函數(shù)在一點間斷間斷，其圖形在該點，其圖形在該點斷開斷開.在某點沒定義在某點沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等oxy112掉隊了掉隊了f(1)=11(x)2limxf1(x)2(1)1limxff7間斷點

4、圖形舉例：間斷點圖形舉例：函數(shù)在一點函數(shù)在一點間斷間斷，其圖形在該點，其圖形在該點斷開斷開.在某點沒定義在某點沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等f(x0)有定義嗎？00 x(x )limxf有嗎？oyx0 x另立山頭另立山頭8間斷點圖形舉例：間斷點圖形舉例：函數(shù)在一點函數(shù)在一點間斷間斷，其圖形在該點，其圖形在該點斷開斷開.在某點沒定義在某點沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等f(x0)有嗎？00 x(x )limxf有嗎？oyx0 x井水不犯河水井水不犯河水9間斷點圖形舉例：間斷點圖形舉例：函數(shù)在一點函數(shù)在一點間斷間斷，其圖形在該點，其圖形

5、在該點斷開斷開.在某點沒定義在某點沒定義極限不存在極限不存在極限與函數(shù)值不相等極限與函數(shù)值不相等f(x0)有嗎？各自為政各自為政oxy-00 x(x )limxf有+00 x(x )=limxf不存在10oyx0 xoyx0 xoxy112oyx0 x間斷點圖形舉例：間斷點圖形舉例：函數(shù)在一點函數(shù)在一點間斷間斷，其圖形在該點，其圖形在該點斷開斷開.不見了不見了掉隊了掉隊了井水不犯河水井水不犯河水另立山頭另立山頭oxy各自為政各自為政11跳躍跳躍間斷點與間斷點與可去可去間斷點統(tǒng)稱為間斷點統(tǒng)稱為第一類第一類間斷點間斷點.特點特點.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點點 x第一類間

6、斷點第一類間斷點000( )(),().f xxf xf x如果在點處間斷，且都存在000()(),( ).f xf xxf x如果則稱點為函數(shù)的可去間斷點.)(),()(000的跳躍間斷點的跳躍間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點如果如果xfxxfxf 12oyx0 xoyx0 xoxy112oyx0 x第一類間斷點的特點：左右極限都存在第一類間斷點的特點：左右極限都存在oxy可去間斷點可去間斷點可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點00()()f xf x00()()f xf x00()()f xf x第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(),()(0000的第二類間斷點的第二類間斷點函數(shù)函數(shù)為

7、為則稱點則稱點在在至少有一個不存至少有一個不存處的左、右極限處的左、右極限在點在點如果如果xfxxfxfxxf oyx0 xoxy左、右極限都不存在左、右極限都不存在左極限存在，右極限左極限存在，右極限不存在不存在14例例1 1,0,( )01,0,xxf xxxx判斷函數(shù) 間斷點的類型解：解：, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff0.x第一類跳函數(shù)的躍間斷點為oxy(0)0,f第一類第一類跳躍間斷點跳躍間斷點15例例2 201,2,( )11,1,1,xxf xxxx討論函數(shù)oxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)1( f, 2)1( f2)(lim1 xfx)

8、,1(f 0.x第一類可函數(shù)的去間斷點為會不會連續(xù)呢？會不會連續(xù)呢？還是間斷點還是間斷點=1x在處的連續(xù)性，如果不連續(xù)說出它到類型16例例3 31,0,( )0.,0,xf xxxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性解解oxy, 0)0( f,)0( f0.x函數(shù)在處不連續(xù)，它第二類為函數(shù)的間斷點是(0)0,f17總結(jié)總結(jié)兩類兩類間斷點間斷點:第一類間斷點第一類間斷點:跳躍型跳躍型,第二類間斷點第二類間斷點可去型可去型思考：極限與連續(xù)之間的關(guān)系思考：極限與連續(xù)之間的關(guān)系: f(x)在在 x0 點連續(xù)點連續(xù) f(x)在在x0點存在極限點存在極限18o1x2x3xyx xfy 練習：判斷下列間斷點類型練習：判斷下列間斷點類型:191 、函