振動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第四章1

1、實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱與彈性，因而又稱連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)或或分布參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無限多個(gè)坐標(biāo)，因此確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無限多個(gè)坐標(biāo)，因此連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)連續(xù)體的振動(dòng)要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運(yùn)連續(xù)體的振動(dòng)要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運(yùn)動(dòng)方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是動(dòng)方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程二階常微分方程組組，它是，它是偏微分方程偏微分方程在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什

2、么差在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差別，別，連續(xù)體振動(dòng)的基本概念與分析方法與有限多自由度連續(xù)體振動(dòng)的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的系統(tǒng)是完全類似的（1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律（2）材料均勻連續(xù)；各向同性）材料均勻連續(xù)；各向同性（3）振動(dòng)滿足微振動(dòng)的前提）振動(dòng)滿足微振動(dòng)的前提 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程 一、動(dòng)力學(xué)方程一、動(dòng)力學(xué)方程（1）桿的縱向振動(dòng)）桿的縱向振動(dòng) 討論等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng)討論等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng) 桿長桿長

3、l假定振動(dòng)過程中各橫截面仍保持為平面假定振動(dòng)過程中各橫截面仍保持為平面截面積截面積 S材料密度材料密度彈性模量彈性模量 E忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形),(txplx0),(txp單位長度桿上分布的縱向作用力單位長度桿上分布的縱向作用力 桿參數(shù)：桿參數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程),(txu桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移的縱向位移微段分析微段分析 ),(txplx0微段應(yīng)變：微段應(yīng)變： xudxudxxuu)(橫截面上內(nèi)力：橫截面上內(nèi)力：xuESESF達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxx

4、FFtuSdx),()(22連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程xdxdxtxp),(dxudxxuu22uSdxtdxxFFF達(dá)朗貝爾慣性力達(dá)朗貝爾慣性力 ),(txu桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處截面處截面在時(shí)刻在時(shí)刻 t 的縱向位移的縱向位移橫截面上的內(nèi)力：橫截面上的內(nèi)力：xuESESF達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程 等直桿等直桿ES 為常數(shù)為常數(shù) ),(1222022txpSxuatu/0Ea 彈性縱波沿桿的縱向傳播速度彈性縱波沿桿的縱向傳播速度

5、 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程),(txplx0 xdx（2）弦的橫向振動(dòng)）弦的橫向振動(dòng)弦兩端固定，以張力弦兩端固定，以張力 F 拉緊拉緊在分布力作用下作橫向振動(dòng)在分布力作用下作橫向振動(dòng) 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系xoy),(txy弦上距原點(diǎn)弦上距原點(diǎn) x 處的橫截面在處的橫截面在 t 時(shí)刻的橫向位移時(shí)刻的橫向位移 ),(txp單位長度弦上分布的作用力單位長度弦上分布的作用力 單位長度弦的質(zhì)量單位長度弦的質(zhì)量 微段受力情況微段受力情況 達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： 22()( , )ydxFdxFp x t dxtx弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程/0Ea 令：

6、令：xy并考慮到：并考慮到：),(1222022txpxyaty彈性橫波的縱向傳播速度彈性橫波的縱向傳播速度0ayxFF),(txpxdx),(txyo連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程sin微振微振pdx22ydxtdxxdxFF達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾慣性力慣性力 弦的定義弦的定義: 很細(xì)長很細(xì)長振動(dòng)中認(rèn)為張力不變振動(dòng)中認(rèn)為張力不變 （3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)細(xì)長圓截面等直桿在分布細(xì)長圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 假定振動(dòng)過程中各橫截面仍保持為平面假定振動(dòng)過程中各橫截面仍保持為平面截面的極慣性矩截面的極慣性矩 Ip材料密度材料密度切變模量

7、切變模量 G),(txp：單位長度桿上分布的外力偶矩：單位長度桿上分布的外力偶矩 桿參數(shù)：桿參數(shù)：),(tx為桿上距離原點(diǎn)為桿上距離原點(diǎn) x 處的截面在時(shí)處的截面在時(shí)刻刻 t 的角位移的角位移截面處的扭矩為截面處的扭矩為 T),(txpx0 xdxdxIp：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程微段微段 dx 受力受力pdxTdxxTT 22pI dxt 達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾慣性力偶慣性力偶 微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp 達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理：pdxTdxxTTtdxIp )(

8、22材料力學(xué)：材料力學(xué)：xGITp ),(22txpxTtIp ),()(22txpxGIxtIpp 圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度 GIp 為常數(shù)為常數(shù)),(1222022txpIxatp Ga 0剪切彈性波的剪切彈性波的縱向傳播速度縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程小結(jié)：小結(jié)：（1）桿的縱向振動(dòng)）桿的縱向振動(dòng) ),(1222022txpSxuatu（2）弦的橫向振動(dòng)）弦的橫向振動(dòng)),(1222022txpxyaty雖然它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運(yùn)動(dòng)微雖然它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式上并不

9、相同，但它們的運(yùn)動(dòng)微分方程是類同的，都屬于分方程是類同的，都屬于一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)),(1222022txpIxatp 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程 二、固有頻率和模態(tài)函數(shù)二、固有頻率和模態(tài)函數(shù)以等直桿的縱向振動(dòng)為對(duì)象以等直桿的縱向振動(dòng)為對(duì)象 方程：方程：),(1222022txpSxuatu縱向自由振動(dòng)方程：縱向自由振動(dòng)方程：222022xuatu/0Ea 假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)：假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)：)()(),(tqxtxuq(t) 表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù)表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) )(x桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處的截面

10、的縱向振動(dòng)振幅處的截面的縱向振動(dòng)振幅 )()()()(20 xxatqtq ),(txplx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng))()()()( 20 xxatqtq 記：記：2 0)()()(0)()(202xaxtqtq )sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：通解：（確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱為（確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱為模態(tài)模態(tài) ）,21cc由桿的邊界條件確定由桿的邊界條件確定 與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)數(shù) ，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值 由

11、頻率方程確定的固有頻率由頻率方程確定的固有頻率 有無窮多個(gè)有無窮多個(gè) i（下面講述）（下面講述）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)（桿的邊界條件確定（桿的邊界條件確定固有頻率固有頻率）第第 i 階主振動(dòng)：階主振動(dòng)：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng))2 , 1(),sin()(),()( itxatxuiiiii系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)

12、桿的縱向振動(dòng)幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù) （1）兩端固定）兩端固定邊界條件：邊界條件： 0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒為零不能恒為零 )(tq0)0(0)(l1200( )sincosxxxccaa代入模態(tài)函數(shù)代入模態(tài)函數(shù) 02c0sin0al頻率方程頻率方程無窮多個(gè)固有頻率：無窮多個(gè)固有頻率：), 2 , 1 , 0(,0ilaii由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去 特征：兩端位移為零特征：兩端位移為零模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù) ：lxicxiisin

13、)(), 2 , 1 , 0(ilx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)（2）兩端自由）兩端自由特征：自由端的軸向力為零特征：自由端的軸向力為零 邊界條件邊界條件 ：0), 0(xtuES0),(xtluES( , )( ) ( )u xtx qt0)0(0)( llxicxiicos)(零固有頻率對(duì)應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移零固有頻率對(duì)應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移1200( )sincosxxxccaa頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同), 2 , 1 , 0(i固有頻率：固有頻率：), 2 , 1 , 0(,0ilai

14、i模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：01c0sin0la lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)頻率方程頻率方程（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零自由端軸向力為零 邊界條件邊界條件 ：0),(xtluES( , )( ) ()u xtx qt0)0(0)( l0cos0al02c1200( )sincosxxxccaa固有頻率：固有頻率：0), 0(tu模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：,.2 , 1,)212(ilaii,.2 , 1),212sin()(ixlicxiilx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的

15、縱向振動(dòng)或：或：,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii頻率方程頻率方程左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移為零特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零自由端軸向力為零 邊界條件邊界條件 ：0), 0(xtuES( , )( ) ( )u xtx qt0)(l0)0(0cos0al01c1200( )sincosxxxccaa固有頻率：固有頻率：0),(tlu模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng),.5 , 3 , 1,2ilaii( )cos(),1,3,5,.2iiixcxil

16、頻率方程頻率方程邊界條件邊界條件0)(l0)0(0cos0al模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù)lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng),.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)( l0cos0al頻率方程頻率方程固有頻率固有頻率,.5 , 3 , 1,2ilaii( )cos(),1,3,5,.2iiixcxil 例：例：一均質(zhì)桿，左端固一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧定，右端與一彈簧連接連接推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)lx0k連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振

17、動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)解：解：邊界條件：邊界條件：lx0k0), 0(tu),(),(tlxuEStlku( , )( ) ( )u xtx qt1200( )sincosxxxccaa0)0(),()(tlxESlk02c000cossinalaESalk常數(shù)klESalaltg00/)/(頻率方程頻率方程振型函數(shù)：振型函數(shù)：xacxii0sin)(三、主振型的正交性三、主振型的正交性只對(duì)具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性只對(duì)具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性 桿可以是變截面或勻截面的桿可以是變截面或勻截面的 即質(zhì)量密度即質(zhì)量密度及截面積及截面積 S 等都可以是等都可以是

18、x 的函數(shù)的函數(shù) 桿的動(dòng)力方程桿的動(dòng)力方程 ：),()(22txpxuESxtuS 自由振動(dòng)：自由振動(dòng)：)(22xuESxtuS 主振動(dòng)主振動(dòng) ：)sin()(),( taxtxuSES2)(代入，得代入，得 ：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)SES2)(桿的簡單邊界桿的簡單邊界 ：固定端固定端0)( xx = 0 或或 l 0)( xES自由端自由端x = 0 或或 l 設(shè)：設(shè)：)(xii)(xjj代入：代入：iiiSES2)( jjjSES2)( )(xj乘乘 并沿桿長對(duì)并沿桿長對(duì) x 積分：積分： lljiiijdxSdxES002)(利用分部積分：利用分部積分

19、： dxESESdxESjllilijij 000)()(00桿的任一端上總有桿的任一端上總有或者或者成立成立 ljliijdxESdxES00)( ljiiljidxSdxES020連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng))(xi乘乘 并沿桿長對(duì)并沿桿長對(duì) x 積分：積分： iiiSES2)( jjjSES2)( 同理同理)(xj乘乘 并沿桿長對(duì)并沿桿長對(duì) x 積分：積分： lljiiijdxSdxES002)( lljijjidxSdxES002)( ljijljidxSdxES020相減：相減： ljiiljidxSdxES0200)(022ljijidxSjiji 時(shí)

20、時(shí)桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性 00ljidxS)(ji lijljidxESdxES000)()(ji 桿的主振型關(guān)于剛度的正交性桿的主振型關(guān)于剛度的正交性 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)0)(022ljijidxS關(guān)于質(zhì)量的正交性關(guān)于質(zhì)量的正交性 00ljidxS)(ji )(ji 關(guān)于剛度的正交性關(guān)于剛度的正交性 當(dāng)當(dāng)ji 時(shí)時(shí) 恒成立恒成立令：令：pilimdxS 02第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量 piliilikdxESdxES 020)()(第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度 pipiimk/2 lijljidxESdxES

21、000)(第第 i 階固有頻率：階固有頻率：主振型歸一化：主振型歸一化： 102 pilimdxS正則振型正則振型 2ipik 則第則第 i 階主剛度：階主剛度：ijljidxS0ijijlidxES20 ijiljidxES20)( 合寫為：合寫為： jijiij01連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)四、桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)四、桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng) 采用振型疊加法進(jìn)行求解采用振型疊加法進(jìn)行求解 ),()(22txpxuESxtuS 強(qiáng)迫振動(dòng)方程：強(qiáng)迫振動(dòng)方程：初始條件：初始條件： )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut假定假定 ，i)2 , 1 i（i已經(jīng)得出已經(jīng)得出

22、令：令：)()(),(1tqxtxuiii)(tqi正則坐標(biāo)正則坐標(biāo) 代入方程：代入方程：),()(11txpqESqSiiiii 兩邊乘兩邊乘j并沿桿長對(duì)并沿桿長對(duì) x 積分積分 ： ljilijiljiiidxtxpdxESqdxSq01001),()( 利用正交性條件：利用正交性條件：)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(第第 j 個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)jq jjq2),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqq

23、jjjj ljjdxtxptQ0),()(模態(tài)初始條件的求解模態(tài)初始條件的求解 12011)0()()()0()()()0 ,(iiitiiiqxxftuqxxfxu乘乘)(xSj并沿桿長對(duì)并沿桿長對(duì) x 積分，由正交性條件，知有：積分，由正交性條件，知有： ljjljjdxxxSfqdxxxSfq0201)()()0()()()0( ljjjjjjjjjdttQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()()(tqj求得求得 后后可得可得),(txu連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20

24、xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj dxtxptQjlj),()(0如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力 可表達(dá)成分布力形式：可表達(dá)成分布力形式：)()(),( xtPtxp正則坐標(biāo)的廣義力：正則坐標(biāo)的廣義力： ljjdxxxtPtQ0)()()()(前述外部激勵(lì)為分布力前述外部激勵(lì)為分布力lx0)(tP連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng))()(jtP例：等直桿例：等直桿自由端作用有：自由端作用有： tPtPsin)(0 為常數(shù)為常數(shù)0P求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應(yīng) lx0)(tP連續(xù)系

25、統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 邊界條件：邊界條件：固有頻率：固有頻率：), 5 , 3 , 1(20 ilaii), 5 , 3 , 1(2sin)( ilxicxii模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：代入歸一化條件：代入歸一化條件： 102 dxSli12)2sin(220 ilicSldxlxicSSlci2 ), 5 , 3 , 1(sin2sin)(0 itiPctQii)()()(iitPtQ 模態(tài)廣義力：模態(tài)廣義力：第第 i 個(gè)正則方程個(gè)正則方程 ：tiPctqtqiiiisin2sin)()(02 正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)正則坐標(biāo)的

26、穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ：tiPctqiiisin2sin1)(022 桿的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)桿的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng) ：)()(),(5 , 3 , 1tqxtxuiii 當(dāng)外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時(shí)都會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象當(dāng)外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時(shí)都會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象 lx0)(tP連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)lxiisltPii2sin2sin1sin23 , 1220 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)思考題：思考題：有一根以常速度有一根以常速度 v 沿沿 x 軸運(yùn)動(dòng)的桿。如果桿的中點(diǎn)軸運(yùn)動(dòng)的桿。如果桿的中點(diǎn)處突然被卡住停止，試求出所產(chǎn)生的自由振動(dòng)表處突

27、然被卡住停止，試求出所產(chǎn)生的自由振動(dòng)表達(dá)式達(dá)式在此種情況下，可從桿的中點(diǎn)分開，分開的左右兩在此種情況下，可從桿的中點(diǎn)分開，分開的左右兩部分的振動(dòng)形式相同，因此只分析右半部分即可部分的振動(dòng)形式相同，因此只分析右半部分即可提示：提示：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)右半部分為一端固定、另一端自由的桿右半部分為一端固定、另一端自由的桿邊界條件：邊界條件：桿的自由振動(dòng)方程：桿的自由振動(dòng)方程：222022xuatuEa 0初始條件：初始條件：0)(, 0), 0(4/lxxutuvtuxut0)(, 0)0 ,(自己推導(dǎo)！自己推導(dǎo)！連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)

28、桿的縱向振動(dòng)例：例：有一根有一根 x=0 端為自由、端為自由、x=l 端處為固定的桿，固定端端處為固定的桿，固定端承受支撐運(yùn)動(dòng)承受支撐運(yùn)動(dòng)tdtugsin)(d為振動(dòng)的幅值為振動(dòng)的幅值試求桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)試求桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)lx0)(tug連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)解：解：lx0tdtugsin)(方程建立方程建立dxudxxuuug)(22xuSdxdxxFFF微段分析微段分析應(yīng)變：應(yīng)變： xuudxudxxuuugg)()(內(nèi)力：內(nèi)力：xuuESESFg)(達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： FdxxFFtuSdx)(22),(txu桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處截面處截面

29、在時(shí)刻在時(shí)刻 t 的縱向位移的縱向位移2222)(xuuEStuSg連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)lx0tdtugsin)(令：令：代入方程：代入方程： 2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：即：guSESuuS *tSdsin2設(shè)解為：設(shè)解為： 1*)()(iiitqxu)(xi為歸一化的正則模態(tài)為歸一化的正則模態(tài),.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：代入方程，得：tSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)lx0tdtugsin)(2222)(

30、xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 )(xj用用乘上式，并沿桿長積分：乘上式，并沿桿長積分：ljiljiiljiidxtSddxESqdxSq0210 0sin)( 利用正交性：利用正交性：tdillqqiiiisin) 1(2222/ )1(2 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitdillqqii

31、iisin) 1(2222/ )1(2 模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：tdillqiiiisin) 1(222/ )1(222)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ )1(322*連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*2)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ )1(322*tdlxiiEluuuiiigsin2cos) 1(161 ,.5 , 3 , 12/ )1(3322*連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) /

32、桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)桿振動(dòng)分析小結(jié)桿振動(dòng)分析小結(jié)1. 建立動(dòng)力學(xué)方程建立動(dòng)力學(xué)方程2. 根據(jù)邊界條件求解固有頻率和模態(tài)根據(jù)邊界條件求解固有頻率和模態(tài)3. 變量分離變量分離4. 代入動(dòng)力學(xué)方程，并利用正交性條件代入動(dòng)力學(xué)方程，并利用正交性條件得到模態(tài)空間方程得到模態(tài)空間方程5. 物理空間初始條件轉(zhuǎn)到模態(tài)空間物理空間初始條件轉(zhuǎn)到模態(tài)空間6. 模態(tài)空間方程求解模態(tài)空間方程求解7. 返回物理空間，得解返回物理空間，得解)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj )(,xii)0(),0(jjqq)(tqj)()(),(1tqxtxuiii物理空間問題物理空間問題模態(tài)空間問題模態(tài)空間問

33、題)()(),(1tqxtxuiii 第二節(jié) 梁的彎曲振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程考慮細(xì)長梁的橫向彎曲振動(dòng)考慮細(xì)長梁的橫向彎曲振動(dòng) ),(txf),(txmyx0梁各截面的中心慣性軸在同一平面梁各截面的中心慣性軸在同一平面 xoy 內(nèi)內(nèi)在低頻振動(dòng)時(shí)可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響在低頻振動(dòng)時(shí)可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響外載荷作用在該平面內(nèi)外載荷作用在該平面內(nèi)梁在該平面作橫向振動(dòng)（微振）梁在該平面作橫向振動(dòng)（微振） 這時(shí)梁的主要變形是彎曲變形這時(shí)梁的主要變形是彎曲變形伯努利歐拉梁（伯努利歐拉梁（Bernoulli-Euler Beam） f(x,t): 單位長度梁上分

34、布的外力單位長度梁上分布的外力 m(x,t): 單位長度梁上分布的外力矩單位長度梁上分布的外力矩 梁參數(shù)：梁參數(shù)：I 截面對(duì)中性軸的慣性積截面對(duì)中性軸的慣性積 單位體積梁的質(zhì)量單位體積梁的質(zhì)量S 梁橫截面積梁橫截面積E 彈性模量彈性模量外部力：外部力：假設(shè)：假設(shè)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程),(txf),(txmyx0f(x,t): 單位長度梁上分布的外力單位長度梁上分布的外力 m(x,t): 單位長度梁上分布的外力矩單位長度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t): 距原點(diǎn)距原點(diǎn) x 處的截面在處的截面在 t 時(shí)刻時(shí)刻

35、 的橫向位移的橫向位移 ),(txyxdxdxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(:,MFs截面上的剪力和彎矩截面上的剪力和彎矩 微段的慣性力微段的慣性力 :22tySdx:),(dxtxf微段所受的外力微段所受的外力 :),(dxtxm微段所受的外力矩微段所受的外力矩 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)dxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(力平衡方程力平衡方程 ：0),()(22dxtxfFdxxFFtySdxsss22),(tyStxfxFs 即即 ：以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡：

36、以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡： 0),(22),()22 dxtxmdxtySdxdxdxtxfdxFMdxxMMs（略去高階小量：略去高階小量：),(txmxMFs材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：22),(),(xtxyEItxM),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：等截面梁的動(dòng)力學(xué)方

37、程：等截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：),(),(2244txmxtxftySxyEI 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)固有頻率和模態(tài)函數(shù)固有頻率和模態(tài)函數(shù)),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：討論梁的自由振動(dòng)討論梁的自由振動(dòng) 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 根據(jù)對(duì)桿縱向振動(dòng)的分析，梁的主振動(dòng)可假設(shè)為：根據(jù)對(duì)桿縱向振動(dòng)的分析，梁的主振動(dòng)可假設(shè)為： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入自由振動(dòng)方程：代入自由振動(dòng)方程：0)(2 SEI對(duì)于等

38、截面梁：對(duì)于等截面梁：0)()(4)4(xx2024aSEIa20 xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：)41( iCi和和應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)0),(),(2244 ttxySxtxyEI等截面梁的自由振動(dòng)方程：等截面梁的自由振動(dòng)方程： 梁的主振動(dòng)：梁的主振動(dòng)： )sin()()()(),(taxtqxtxy0)()(4)4(xxxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：代入，得：代入，得：第第 i 階主振動(dòng)：階主振動(dòng)：

39、 )(xii無窮多個(gè)無窮多個(gè))sin()(),()(iiiiitxatxyiai和和 由系統(tǒng)的初始條件確定由系統(tǒng)的初始條件確定 系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： 1)sin()(),(iiiiitxatxy連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)常見的約束狀況與邊界條件常見的約束狀況與邊界條件 0),(xtxy0)(x0)( xlx 0 或（1）固定端）固定端撓度和截面轉(zhuǎn)角為零撓度和截面轉(zhuǎn)角為零0),(txy（2）簡支端）簡支端撓度和彎矩為零撓度和彎矩為零0),(22xtxyEIM0),(txy0)( x0)(xlx 0 或（3）自

40、由端）自由端彎矩和剪力為零彎矩和剪力為零0),(22xtxyEIM0 xMFs0)( x0)( xlx 0 或)()(),(tqxtxy連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)例：例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)x0y解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由邊界條件邊界條件0)0( 0)0( 固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自由端：彎矩和截面剪力為零自由端：彎矩和截面剪力為零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：得：4231,CCCC 以及：以及： 0)cosh(cos)sinh

41、(sin0)sinh(sin)cosh(cos2121llCllCllCllC0coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll21CC、非零解條件：非零解條件：2024aSEIa20連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)0coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll簡化后，得：簡化后，得：01coshcos ll頻率方程頻率方程當(dāng)當(dāng) i=1,2,3時(shí)時(shí)解得：解得：), 4 , 3(,212 iili875. 11 l694. 42 l855. 73 l3 i當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)各階固有頻率：各階固有頻率：2024aSEIa20

42、), 2 , 1(,)(42 iSlEIlii對(duì)應(yīng)的各階對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù)：其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcos illlliiiii連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第一階模態(tài)第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第三階模態(tài)一個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置節(jié)點(diǎn)位置連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)例：例：簡支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)簡支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：解：一端

43、圓柱固定鉸一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動(dòng)鉸另一端圓柱滑動(dòng)鉸0)0( 0)0( 固定鉸：撓度和截面彎矩為零固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動(dòng)鉸：撓度和截面彎矩為零滑動(dòng)鉸：撓度和截面彎矩為零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：得：031 CC以及：以及： 0sinhsin0sinhsin4242lClClClC2024aSEIa20yx004 C0sin l頻率方程：頻率方程：), 2 , 1(, iili固有頻率：固有頻率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)0sin l頻率方程：頻率方程：

44、固有頻率：固有頻率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii0431 CCC模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：), 2 , 1(,sin)( ixlixi), 2 , 1(, iilixCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 第一階模態(tài)第一階模態(tài)第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀模態(tài)形狀節(jié)點(diǎn)位置節(jié)點(diǎn)位置yx0無節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)例：例：兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)背景：導(dǎo)彈飛行背景：導(dǎo)彈飛行yx0系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)系統(tǒng)類別：

45、半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)存在剛體模態(tài)導(dǎo)彈飛行導(dǎo)彈飛行1飛機(jī)飛行飛機(jī)飛行2連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)yx0頻率方程：頻率方程：1coshcos ll模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：2024aSEIa20其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcossinhsincoshcos illlllllliiiiiiiii當(dāng)當(dāng) i=1,2,3時(shí)時(shí)解得：解得：730. 41 l853. 72 l996.103 l3 i當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)), 4 , 3(,)21( iili自由端：彎矩和截面剪力為零自由

46、端：彎矩和截面剪力為零0)0( 0)0( 0)( l0)( l0 i當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)00 l對(duì)應(yīng)剛體模態(tài)對(duì)應(yīng)剛體模態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)第五階模態(tài)自由梁的模態(tài)形狀自由梁的模態(tài)形狀連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線。度曲線。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)yx0l連續(xù)

47、系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)yx0l解：解：0),(),(222222 ttxySxtxyEIx梁的自由振動(dòng)方程：梁的自由振動(dòng)方程： 邊界條件邊界條件0), 0(ty0), 0(ty固定端：固定端：自由端：自由端：0)0( 0)0( 0),(tly0),( tly0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 2024aSEIa20模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)yx0l0)0( 0)0( 0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)0( 031CC13C

48、C0)0( 042CC24CC0)(l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)( l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)0coshcossinhsinsinhsincoshcosllllllll21CC、非零解條件：非零解條件：0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC頻率方程：頻率方程：0sincoshsinhcosllll求得：求得：352.13,210.10,069. 7,927. 34321llll對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：對(duì)應(yīng)的各階

49、模態(tài)函數(shù)：), 2 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii代入：代入：), 2 , 1(,sinhsinhcoscosh12illllCCiiiii連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)yx0l第一階模態(tài)：第一階模態(tài)：), 2 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii第二階模態(tài)：第二階模態(tài)：0.560069. 7927. 321ll例：懸臂梁例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件邊界條件0)0( 0)0( 固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零彈性支撐端：剪力、彎

50、矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等2kx0y1kl彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彎矩平衡條件：彎矩平衡條件：),(),(222tlykxtlyEIx xtlykxtlyEI ),(),(122剪力平衡條件：剪力平衡條件：)()(),(tqxtxy)()(1lklEI )()(2lklEI 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)cosh(cos)sinh(sin)si

51、nh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC2024aSEIa202kx0y1kl0)0( 0)0( 固定端：固定端：彈性支撐端：彈性支撐端：)()(1lklEI )()(2lklEI 由固定端條件解得：由固定端條件解得：4231,CCCC 由彈性支撐固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)或或21CC、非零解條件導(dǎo)出頻率方程：非零解條件導(dǎo)出頻率方程：0)cosh(cos)sinh(sin

52、)sinh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng))0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll（1）若）若

53、k1、k2 同時(shí)為零，則退化為懸臂梁的情形同時(shí)為零，則退化為懸臂梁的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)2kx0y1kl討論：討論：01coshcosllx0y)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll（2）若）若k10、k2 無窮大，則退化為一端固定另一端簡支的情形無窮大，則退化為一端固定另一端簡支的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)2kx0y1kl討論：討論：0coshsinsinhcosllllx0yl例：懸臂梁

54、自由端附有質(zhì)量例：懸臂梁自由端附有質(zhì)量yx0l0m求頻率方程求頻率方程解：解：0)0( 0)0( 固定端：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡0)( lEI)()(20lmlEI 利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：其中：其中：)sinhcoscosh(sin1coshcoslllllll mm0 為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比Slm 為梁質(zhì)量為梁質(zhì)量連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)分析中沒有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此分析中沒有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的

55、影響，因此（梁的長度大于梁高度（梁的長度大于梁高度5倍倍以上）以上）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量使得梁的慣考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量使得梁的慣性增加，這兩個(gè)因素都會(huì)使梁的固有頻率降低性增加，這兩個(gè)因素都會(huì)使梁的固有頻率降低連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)模態(tài)函數(shù)的正交性模態(tài)函數(shù)的正交性0),(),(2244 ttxySxtxyEI梁若為等截面，則：梁若為等截面，則： 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx變截面梁的自由振動(dòng)方程：變截面梁的自由振動(dòng)方程：主振動(dòng)：主振動(dòng)： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入，得：

56、代入，得：0)(2 SEI設(shè)：設(shè)：)(xii)(xjj jjjiiiSEISEI22)()(有：有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)0)(2 SEI jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長對(duì)并沿梁長對(duì) x 積分：積分：利用分部積分利用分部積分 ： lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()(在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或彎矩中的在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個(gè)同時(shí)為零一個(gè)同時(shí)為零 lljiijdxEIdxEI00)(得得 ： lljiijidxSdxEI0

57、02 ljiilijdxSdxEI020)(3)代入（代入（3）式，有）式，有 ：i(2)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長積分可得：并沿梁長積分可得：同理，同理， lljijjidxSdxEI002ljijidxS0220)(相減：得相減：得 ：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)jidxSlji, 00ji ji如果如果時(shí)，時(shí)，則有：則有：主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性 jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長對(duì)并沿梁長對(duì) x 積分：積分： ljiilijdxSdxEI020)(分部積分分部積分 ： lljilijlij

58、ijdxEIEIEIdxEI0000)()()( lljiijdxEIdxEI00)(得得 ： lljiijidxSdxEI002代入（代入（3）式，有）式，有 ：i(2)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長積分可得：并沿梁長積分可得：同理，同理， lljijjidxSdxEI002ljijidxS0220)(相減：得相減：得 ：(3)（4）（5）由（由（4）、（）、（5）式，得）式，得 ：jidxEIdxEIlljiij , 0)(00主振型關(guān)于剛度的正交性主振型關(guān)于剛度的正交性 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)如果如果 i = jljijidxS0220)(恒成立恒成立 l

59、pjjmdxS02第第 j 階主質(zhì)量階主質(zhì)量 pjlljjjkdxEIdxEI 002)()(第第 j 階主剛度階主剛度 第第 j 階固有頻率階固有頻率pjpjjmk/ jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長對(duì)并沿梁長對(duì) x 積分：積分： ljiilijdxSdxEI020)(分部積分分部積分 ： lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()( lljiijdxEIdxEI00)(得得 ： lljiijidxSdxEI002代入（代入（3）式，有）式，有 ：i(2)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長積分可得：并沿梁長積分可得：同理，同理

60、， lljijjidxSdxEI002相減：得相減：得 ：(3)（4）（5）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) lpjjmdxS02第第 j 階主質(zhì)量階主質(zhì)量 pjlljjjkdxEIdxEI 002)()(第第 j 階主剛度階主剛度 第第 j 階固有頻率階固有頻率pjpjjmk/ ljidxS000)(00 lljiijdxEIdxEIji 時(shí)時(shí)ji 時(shí)時(shí)主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定 ：102 pjljmdxS正則振型正則振型 lijjidxS0200)(jijlljiijdxEIdxEI 正則振型的正交性：正則振型的正交性：連