2022年工科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)微積分的應(yīng)用

1、第五章一元函數(shù)微積分的應(yīng)用一元函數(shù)的微分和積分的產(chǎn)生都有著實(shí)際背景，它們?cè)谧匀豢茖W(xué)、 經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域以及工程技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用。 本章將通過(guò)介紹微分中值定理，給出求極限的另外一種方法羅必塔法則；以導(dǎo)數(shù)為工具，研究函數(shù)的一些幾何性態(tài)（單調(diào)性，極值，凹凸性等），解決一些常見的應(yīng)用問(wèn)題； 由微分和函數(shù)增量的關(guān)系，給出微分在近似計(jì)算中的簡(jiǎn)單應(yīng)用；通過(guò)不定積分來(lái)求幾個(gè)簡(jiǎn)單的一階微分方程的解；利用微元法思想，結(jié)合定積分的幾何意義，求平面區(qū)域的面積以及一些特殊的空間立體的體積。第一節(jié)中值定理一、羅爾定理若)(xf在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)，且)()(bfaf，則至少存在一點(diǎn)),(ba，使)(f

2、0。羅爾定理的幾何意義是: 定理的證明略。羅爾定理的三個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論不真。二、拉格朗日中值定理去掉羅爾定理中相當(dāng)特殊的條件)()(bfaf，仍保留其余兩個(gè)條件，可得到微分學(xué)中十分重要的拉格朗日中值定理：若)(xf在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)),(ba，使得精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -ff bf aba( )( )( )該定理的幾何意義是：abafbf)()(是弦ab的斜率，)(f為曲線在點(diǎn)c處的切線斜率。在曲線)(xfy上至少有一點(diǎn)

3、c，使曲線在c點(diǎn)處的切線平行于弦ab。三、柯西中值定理若函數(shù))(xf、)(xf滿足下述三個(gè)條件：(1) )(),(xfxf在,ba連續(xù)；(2) )(),(xfxf在),(ba可導(dǎo)；(3) ),(,0)(baxxf。則至少存在一點(diǎn)),(ba， 使得f bf af bf aff( )( )( )( )( )( )柯西中值定理的幾何意義也十分明顯，考慮由參數(shù)方程所表示的曲線)()(xfyxfx，,bax試x為參變量精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -曲線上點(diǎn)),(yx處的切線斜率為)()(

4、xfxfdxdy弦ab的斜率為)()()()(afbfafbf假定點(diǎn)c對(duì)應(yīng)于參數(shù)x，那未曲線c點(diǎn)處切線平行于弦ab，于是)()()()()()(ffafbfafbf。四、中值定理運(yùn)用舉例例 1試證：當(dāng)x0時(shí)，有不等式xxxx)1ln(1。證明考慮輔助函數(shù)xtttf0),1ln()(，由拉格朗日中值定理有),(0)0()(fxfxfx0即11)1ln(xx而xx0,0111111故1)1ln(11xxx0,)1ln(1xxxxx。第二節(jié)羅必達(dá)法則當(dāng)xa( 或x) 時(shí)，兩個(gè)函數(shù))(xf與)(xf都趨向于零或都趨向于無(wú)窮大，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

5、- - - 第 3 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -那么，極限)()(lim)(xfxfxax可能存在，也可能不存在。通常把這種極限叫做不定式 ，并分別簡(jiǎn)記為型型或00。對(duì)不定式，不能簡(jiǎn)單地用“商的極限等于極限商”這一求極限法則來(lái)處理。求不定式極限有一種簡(jiǎn)便方法 羅必達(dá)法則 ，見下述兩個(gè)重要定理。一、基本類型的不定式型型或00羅必達(dá)法則 :(1) 當(dāng)xa時(shí)（可以是a） ，函數(shù))(xf及)(xf都趨于零（或者都趨于） ；(2) )(xf及)(xf在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)( 點(diǎn)a本身除處 ) 存在，且)(xf0；(3) )()(limxfxfax存在 ( 或無(wú)窮大 ) ，則lim(

6、)( )lim( )( )xaxaf xf xfxfx。注意：（1） 此定理用來(lái)處理)(或ax時(shí)的型型或00不定式極限問(wèn)題。這種通過(guò)分子與分母導(dǎo)數(shù)之比的極限來(lái)確定不定式極限的方法稱之為羅必達(dá)法則。（2） 如果極限)()(limxfxfax仍屬于型型或00， 且)(xf、)(xf又滿足定理中的條件 ，則可以再使用羅必達(dá)法則。即lim( )( )lim( )( )lim( )( )xaxaxaf xf xfxfxfxfx還可以繼續(xù)使用下去。（ 3） 如果)()(limxfxfax不存在（也不是） ，不能斷言)()(limxfxfax也不存在，只能說(shuō)明該極限不適合用羅必達(dá)法則來(lái)求。反例： 極限01s

7、inlim1sinlim020 xxxxxxx存在，而使用羅必達(dá)法則)1cos1sin2(lim1sinlim0220 xxxxxxxx不存在。例 1求極限(1) xexx1lim0(2) 201coslimxxx解這兩個(gè)例子都是00型不定式精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -11lim00eexx原式2120cos2coslim2sinlim00 xxxxx原式例 2求極限(1) xxx1arctan2lim(2) xarcxxcot)11ln(lim解這兩個(gè)例子仍然都是00型不定

8、式 原式122lim1lim111lim2222xxxxxxxxx 原式1122lim1lim11)1(111lim2222xxxxxxxxxxx例 3求極限(1) nxxxlnlim (2) )ln()ln(limaxaxeeax解這兩個(gè)例子都是型不定式原式01lim1lim1nxnxnxnxx 原式111lim)(lim)(lim1limaxeaxeeaxeeeeeeaxaxxxxaxxaxaxaxxax除和00型不定式外，還有00,0 ,1 ,0以及等類型的不定式。計(jì)算這些類型的極限，可利用適當(dāng)變換將它們化為型或00型不定式，再利用羅必達(dá)法則，這里不再詳細(xì)介紹，只舉幾個(gè)例題，有興趣的讀者

9、可參閱有關(guān)書籍。例 4求xxxlnlim0，)0()0(型解原式0lim11lim11limlnlim00100 xxxxxxxxxx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -結(jié)論可推廣到一般0)(lnlim0 xxx，（,為正實(shí)數(shù)）例 5求)1(cotlim0 xxx)(型解原式xxxxxxxxxxxxxxxxxxcossincossincoslimsinsincoslim)1sincos(lim0000sincos2cossinlimcossinsinlim00 xxxxxxxxxxx

10、xx1 ,000型的不定式，一般是冪指函數(shù)的極限，可采用對(duì)數(shù)求極限法。例 6求xxx0lim解設(shè)xxy， 取對(duì)數(shù)xxxxy1lnlnln，則0)(lim11limlnlim20200 xxxyxxx從而有1lim0yx例 7求xxxx10)sin(coslim，（1型）解令xxxy1)sin(cos， 則xxxy)sinln(cosln1sincoscossinlim)sinln(coslimlnlim000 xxxxxxxyxxx故eeeyyxx1lnlim00lim例 8求00)1(limtgxxx型解令tgxxy1則ctgxxxtgxyln1lnlnxxxxctgxxyxxxx20200

11、0sinlimcsc1limlnlimlim001sinsinlim0 xxxx1limlim0lnlimln000eeeyyyxxx試一試 : 求下列極限：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -11lim0 xxxxexee；nnmmaxaxaxlim（nma,0為常數(shù)）；xxxxxsintanlim0；)1ln(lnlim1xxx；)111(lim0 xxex；第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性一、從幾何圖形上看函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)1xeyx與它的導(dǎo)函數(shù)1xey在-1,1上的圖像， 從圖形上可以觀察到

12、：函數(shù)1xeyx在-1,0上是單調(diào)減少，在(0,1上是單調(diào)增加；其導(dǎo)函數(shù)1xey在-1,0上小于零，在 (0,1上大于零。函數(shù)的單調(diào)性是否與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)有關(guān)呢?為此，我們進(jìn)一步地作圖，希望從中獲得更多的感性認(rèn)識(shí)。0)(tanxf0)(tanxf曲線是單調(diào)遞增的曲線是單調(diào)遞減的函數(shù))(xfy在a,b上單調(diào)增加 ( 減少 ) ，則它的圖形是一條沿x軸正向上升 ( 下降 )的曲線，曲線上各點(diǎn)處的切線之斜率均為正的( 負(fù)的 ) ，即：)0)(, 0)(xfyxfy這表明： 函數(shù)的單調(diào)性確實(shí)與其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有關(guān)，因此， 可以利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定函xyy)(xfyooxa)(xfybab精品學(xué)習(xí)資料 可選擇

13、p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -數(shù)的單調(diào)性。二、函數(shù)單調(diào)性的判別法設(shè)函數(shù))(xf在,ba上連續(xù)，在),(ba內(nèi)可導(dǎo)，）是區(qū)間（和baxx,21內(nèi)的任意兩點(diǎn)，且設(shè)21xx，則)()()()(1212xxfxfxf，)(21xx若在),(ba內(nèi)0)(xf，則)(f0，從而)()(21xfxf；即：函數(shù))(xfy在),(ba上單調(diào)增加；若在),(ba內(nèi)0)(xf，則)(f0，從而)()(21xfxf，即：函數(shù))(xfy在),(ba上單調(diào)減少。綜上討論，我們有如下結(jié)論：函數(shù)單調(diào)性判別法設(shè)函數(shù))(xfy在,b

14、a上連續(xù)，在),(ba內(nèi)可導(dǎo)，(1) 若在),(ba內(nèi)0)(xf， 則)(xfy在),(ba上單調(diào)增加；(2) 若在),(ba內(nèi)0)(xf， 則)(xfy在),(ba上單調(diào)減少。說(shuō)明：（1） 判別法中的閉區(qū)間若換成其他各種區(qū)間（包括無(wú)窮區(qū)間），結(jié)論仍成立。（2） 以后把函數(shù)單調(diào)的區(qū)間稱之為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例 1討論函數(shù)1xeyx的單調(diào)性。解 函數(shù)的定義域?yàn)?,(， 且1xey當(dāng))0,(x時(shí)，0y， 故函數(shù)在 (0 ,) 上單調(diào)減少；當(dāng)),0(x時(shí)，0y， 故函數(shù)在),0(上單調(diào)增加。例 2討論函數(shù)xy的單調(diào)性。解函數(shù)的定義域?yàn)?,(，當(dāng))0,(x時(shí)，xy，1y0, 故函數(shù)在)0 ,(上單減；當(dāng)

15、),0(x時(shí)，xy，01y，故函數(shù)在),0(上單增。因此，可以通過(guò)求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)其符號(hào)不確定的點(diǎn)，將函數(shù)的定義域分劃成若干個(gè)部分區(qū)間， 再判定函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)在這些部分區(qū)間上的符號(hào)，繼而可決定函數(shù)在這些部分區(qū)間上的單調(diào)性。例 3試確定函數(shù)xxy82的單調(diào)區(qū)間。解函數(shù)的定義域是0 x的全體實(shí)數(shù)當(dāng)x0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)為22)2)(2(282xxxxy令y0得：x2精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -于是，點(diǎn)0 ,2x將函數(shù)定義域( x0 ) 分劃成四個(gè)區(qū)間所以函數(shù)的單調(diào)增加的區(qū)間是：)2 ,0(

16、)2,(；單調(diào)增加的區(qū)間是：),2()0 ,2(例 4討論函數(shù)3xy的單調(diào)性。解 函數(shù)的定義域是),(，它的一階導(dǎo)數(shù)為23xy，除去0 x以外，恒有0y，如此函數(shù)在區(qū)間），以及（0)0 ,(上單調(diào)增加。故函數(shù)在),(上是單調(diào)增加的。結(jié)論一般地，如果)(xf在某區(qū)間上的有限個(gè)點(diǎn)處為零，而在其余各點(diǎn)處均為正( 或負(fù)) 時(shí)，那么)(xf在該區(qū)間上仍是單調(diào)增加( 或單調(diào)減少 ) 的。利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明較為復(fù)雜的函數(shù)不等式。例 5試證明：當(dāng)x4時(shí)，有22xx解： 作輔助函數(shù)22)(xxfx, ),4xxxfx22ln2)(， 1)4(ln222)2(ln2)(232xxxf當(dāng)),4x時(shí)，223x，

17、1)4(ln2故0)(xf，即)(xf在),4上單調(diào)增加，從而有)4()(fxf，而f ( )lnln(ln)4222 4162884104，于是0)(xf,22)(xxfx在), 4上也單調(diào)增加。從而有f xf( )( )4241616042，即242xxx,)。該證明方法十分典型，對(duì)于一些較精細(xì)的函數(shù)不等式的證明可借助此法。第四節(jié)函數(shù)的極值及最值一、極值的概念設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間),(ba內(nèi)有定義， 點(diǎn)0 x是),(ba內(nèi)的一點(diǎn)。 若存在點(diǎn)0 x的一個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于0 x的點(diǎn)x，不等式f xf x( )()0 (f xf x( )()0) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - -

18、 - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -成立，稱)(0 xf是函數(shù))(xf的一個(gè)極大值( 極小值 ) ；稱點(diǎn)0 x是函數(shù))(xf的極大值點(diǎn) ( 極小值點(diǎn) ) 。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值；使函數(shù)取得極值的點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) 。關(guān)于函數(shù)的極值，如下幾點(diǎn)是十分重要的。1、函數(shù)的極值概念是一個(gè)局部概念。如果)(0 xf是函數(shù))(xf的一個(gè)極大值，那只是對(duì)0 x的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō))(0 xf是)(xf的一個(gè)最大值。但對(duì)于整個(gè)函數(shù)的定義域來(lái)說(shuō)，)(0 xf就不一定是最大值了。對(duì)于極小值也是類似的。2、極小值有可能較極大值更大。如

19、圖：)()(41xfxf ()(1xf是極大值，而)(4xf是極小值 ) 從圖中可看出，在函數(shù)取得極值之處，曲線具有水平的切線。換句話說(shuō)：函數(shù)在取得極值的點(diǎn)處，其導(dǎo)數(shù)值為零。二、函數(shù)取得極值的幾個(gè)重要定理可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x處具有導(dǎo)數(shù)， 且在0 x處取得極值，則0)(0 xf。使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)( 即方程0)(xf的實(shí)根 ) 稱為函數(shù))(xf的駐點(diǎn) 。必要條件可換成下面等價(jià)的說(shuō)法：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是為駐點(diǎn)。反過(guò)來(lái)， 函數(shù)的駐點(diǎn) 不一定 就是函數(shù)的極值點(diǎn) , 它最多只是 可能的極值點(diǎn), 另外極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn) , 可導(dǎo)是必要的。反例 1 233)(,)(xxfxx

20、fy , 0)0(f, 即0 x是函數(shù)的駐點(diǎn), 但是從幾何上可以看出 , 函數(shù)在0 x處取不到極值. 反例 2xxfy)(, 從幾何圖形上( 右圖 ) 可以看出 , 在0 x處取到極小值, 但是0 x不是駐點(diǎn) , 因?yàn)?0(f不存在 . 由此可以看出, 極值點(diǎn)是駐點(diǎn), 或者是導(dǎo)數(shù)不存在的精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -點(diǎn), 我們把這兩種點(diǎn)稱為極值可疑點(diǎn) . 如何把極值可疑點(diǎn)確定為極值點(diǎn), 主要是根據(jù)下面的充分條件來(lái)確定 . 函數(shù)取得極值的第一充分條件設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x的某

21、個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)(0 x點(diǎn)可以例外) ，且0)(0 xf或者)(0 xf不存在 . (1) 當(dāng)x取0 x左側(cè)的值時(shí)，0)(xf；當(dāng)x取0 x右側(cè)的值時(shí)，0)(xf恒為負(fù)，那么，)(xf在0 x處取得極大值；(2) 當(dāng)x取0 x左側(cè)的值時(shí)，0)(xf；當(dāng)x取0 x右側(cè)的值時(shí)，0)(xf恒為正，那么，)(xf在0 x處取得極小值；(3) 當(dāng)x取0 x左右兩側(cè)的值時(shí)，)(xf恒正或恒負(fù)，那么，)(xf在0 x處沒有極值。根據(jù)第一充分條件, 幾乎可以求出任意函數(shù)的極值. 例 1求函數(shù)593)(23xxxxf的極值。解函數(shù)的定義域?yàn)?,(，且)3)(1(3963)(2xxxxxf, 令0)(xf，得到函數(shù)的

22、極值可疑點(diǎn)( 駐點(diǎn) ) ：3 ,1x。列表故，1x是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且有極大值：10) 1(f；3x是函數(shù)的極小值點(diǎn)，且有極小值：22)3(f。例 2討論函數(shù)32)2(1xy的極值 . 例 3求函數(shù)32)52(xxy的極值 . 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -解函數(shù)的定義域是),(, 并且3313232353)1(10310310)52(xxxxxxy , 可見 , 在1x時(shí),y=0, 在0 x時(shí) , y不存在 , 所以1, 0 x是極值可疑點(diǎn). 列表由此可見 , 0 x是函數(shù)

23、的極大值點(diǎn), 且有極大值 :00 xy, 1x是函數(shù)的極小值點(diǎn), 且有極小值 :31xy。對(duì)于某些特殊的函數(shù)，還有以下一種更為簡(jiǎn)單的判別方法。函數(shù)取得極值的第二充分條件設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)，且0)(0 xf、0)(0 xf，則(1) 當(dāng)0)(0 xf時(shí)，函數(shù))(xf在0 x處取得極大值；(2) 當(dāng)0)(0 xf時(shí)，函數(shù))(xf在0 x處取得極小值。注意對(duì)于二階可導(dǎo)的函數(shù))(xf， 它在駐點(diǎn)0 x的二階導(dǎo)數(shù))(0 xf的符號(hào)可判定函數(shù)值)(0 xf為何種極值。如果0)()(00 xfxf，則第二充分條件失效。例 4求函數(shù)1)1()(32xxf的極值。解2222)1()1(6)

24、1(6)(xxxxxxf，令0)(xf， 得駐點(diǎn)1 ,0, 1xfxxxxxxx()()()()()616212615122222，06)0(f， 函數(shù)有極小值0)0(f而0) 1(f， 用第二充分條件無(wú)法進(jìn)行判定，考察函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在x1的左右兩側(cè)鄰近值的符號(hào)。當(dāng)x取1的左右側(cè)鄰近的值時(shí)，)(xf0；當(dāng)x取 1 的左右側(cè)鄰近的值時(shí)，)(xf0；故函數(shù)在x1處沒有極值。三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -綜上討論，函數(shù)取得最值的點(diǎn)只能是區(qū)間的端點(diǎn)或開區(qū)間內(nèi)

25、導(dǎo)數(shù)為零、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。計(jì)算函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值，比較它們的大小就可得到函數(shù)的最值。例 5 求函數(shù)3232)(xxxf在-2,2上的最值。解因?yàn)?122)(xxf, 令0)(xf, 得駐點(diǎn)1x, 又0 x時(shí) ,)(xf不存在；而33434)2(,0)0(, 1)1(,443)2(ffff。比較可知：最大值是3434)2(f, 最小值是0)0(f。四、最值應(yīng)用問(wèn)題利用求函數(shù)的最值來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題，有如下幾個(gè)步驟：1 據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出函數(shù)表達(dá)式及它的定義區(qū)間；2 求出該函數(shù)在定義區(qū)間上的可能極值點(diǎn)( 駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)) ；3 討論函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)在可能極值點(diǎn)處是否取得最值。例 6 試

26、求單位球的內(nèi)接圓錐體體積最大者的高，并求此體積的最大值。解： 設(shè)球心到錐底面的垂線長(zhǎng)為x，則圓錐的高為) 10(1xx，圓錐面底面半徑為12x，圓錐體積為vxxxxxx()() ()()()()131131101222由31,0)31)(1(3xxxv得駐點(diǎn), 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -在310 x上，v0，函數(shù)單增；在131x上，v0，函數(shù)單減，故31x是函數(shù)的最大值點(diǎn)，)31(v是函數(shù)v x( )的最大值。于是最大的體積為3132)31(v，此時(shí)的高為34。例 7 某

27、產(chǎn)品生產(chǎn)x單位時(shí)的總成本是xxxxc1705121300)(23。單位產(chǎn)品的價(jià)格是 134 元，求使利潤(rùn)最大的產(chǎn)量。解生產(chǎn)x單位時(shí)，總收入,134)(xxr利潤(rùn)為)()()(xcxrxl300365121)1705121300(1342323xxxxxxx)4)(36(41361041)(2xxxxxl令0)(xl，得36, 421xx。又1021)(xl，,08)4(l及7.269)4(l是極小值；, 08)36(l及996)36(l是極大值。由于只有0 x時(shí)，)(xl才有意義，并且產(chǎn)量在4 到 36 時(shí))364(x，0)(xl，即利潤(rùn)在增加，而產(chǎn)量超過(guò)36 時(shí)，0)(xl，利潤(rùn)又在減少。所

28、以生產(chǎn)36 單位產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)最大，并且最大利潤(rùn)是996 元。例 8 證明：當(dāng)xxxx1)1ln(0時(shí)，。證設(shè)函數(shù))1ln(1)(xxxxf，則在0 x上，)(xf是連續(xù)的，并且在時(shí)，0 x01)1(2)11(111)1 (211)(2xxxxxxxxxf所以)(xf在0 x時(shí)，是單調(diào)遞增的，因而0 x時(shí)，)0()(fxf，而0)0(f故0)(xf0)1ln(1xxx即xxx1)1ln(例 9當(dāng)0 x時(shí)，證明)1ln(xxex證設(shè))1ln()(xxexfx，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - -

29、- - -xxeexfxx11)(0 得唯一駐點(diǎn)0 x，又22)1(1)2()1(1)(xxexxeeexfxxxx0112)0(f說(shuō)明0 x是函數(shù)惟一的極小值點(diǎn)，因此0)0(f是函數(shù)的最小值，及0 x時(shí)0)0()1ln()(fxxexfx所以)1ln(xxex試一試求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值：3) 1)(1(xxy7186223xxxyxxy3222xexy第五節(jié)曲線的凹凸與拐點(diǎn)一、凹凸的概念研究了函數(shù)的單調(diào)性、極性，對(duì)于函數(shù)的性態(tài)有了更進(jìn)一步的了解。為了描繪出函數(shù)的圖像的主要特征，僅憑此兩點(diǎn)還是不夠的。引例作函數(shù)2xy與xy在 0,1 上的圖像。曲線的凹凸的特性可由下面的幾何圖形所反映出的

30、事實(shí)看出：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -由此可以得到，設(shè)函數(shù))(xfy在),(ba上連續(xù)，如果對(duì)),(ba上任意21,xx兩點(diǎn)，恒有2)()()2(2121xfxfxxf則稱曲線)(xfy在),(ba上的是 凹的 ( 或凹弧 ) ，也稱函數(shù))(xfy是),(ba上的 凹函數(shù) 。如果恒有2)()()2(2121xfxfxxf則稱曲線)(xfy在),(ba上是 凸的 ( 或凸弧 ) ，也稱函數(shù))(xfy是),(ba上的 凸函數(shù) 。二、凹凸性的判別法函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判斷函數(shù)的

31、單調(diào)性，二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)又能確定函數(shù)的何種屬性呢 ?來(lái)看一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，給我們以啟迪。拋物線2axy的二階導(dǎo)數(shù)為ay2，若a0， 即0y，拋物線是開口向上的凹弧 ；若a0， 即0y，拋物線是開口向下的凸弧 。由此可得 凹凸性的判別方法：設(shè)函數(shù))(xfy在,ba上連續(xù)，在),(ba內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那未(1) 、若在),(ba內(nèi)，0)(xf，則)(xf在,ba上的圖形是凹的；(2) 、若在),(ba內(nèi)，0)(xf，則)(xf在,ba上的圖形是凸的。一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)往往并不是單一凹的（或凸的）。我們知道，連續(xù)曲線的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的區(qū)間分界點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)）是極值點(diǎn)， 那么連續(xù)曲線

32、上的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn) 。和求極值點(diǎn)類似，求函數(shù)拐點(diǎn)的一般方法 是：設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間i上連續(xù)（1） 求出)(xf在i上為零或不存在的點(diǎn)；（2） 這些點(diǎn)將區(qū)間i劃分成若干個(gè)部分區(qū)間，然后考察)(xf在每個(gè)部分區(qū)間上的符號(hào)，確定曲線)(xfy的凹凸性；（3） 若在兩個(gè)相鄰的部分區(qū)間上，曲線的凹凸性相反，則此分界點(diǎn)是拐點(diǎn)；若在兩個(gè)相鄰的部分區(qū)間上，曲線的凹凸性相同，則此分界點(diǎn)不是拐點(diǎn)。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -例 1求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。解

33、： 函數(shù)的定義區(qū)間為),(，231212xxy，)32(3624362xxxxy，令0y得：32,0 x所以函數(shù)的凹區(qū)間是：),32()0,(，凸區(qū)間是)32,0(。第六節(jié)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用根據(jù)微分的定義，若函數(shù))(xfy在0 x處有導(dǎo)數(shù)，則)(xfy在該點(diǎn)可微，且xxfdyxfxxfy)()()(000或者xxfxfxxf)()()(000并且其近似度隨著x的減小而更精確。例 1求031sin的近似值解令1801,630,sin)(000 xxxxf；xxfcos)(故xxfxfxxf)()()()1806sin(31sin000018023211806cos6sin0.5151 。如果

34、取xxx, 00，當(dāng)0 x，有下列一些常用公式：tgxxxsin（這里的 x 是以弧度為單位）nxxn11；xex1；xx)1ln(；例 2 求3127的近似值。解 設(shè)3)(xxf，取2,1250 xx，則xxfxfxdfxfxxf)()()()()(12700000302667.575252)123(31125323。本例取2x，誤差可能較大，所以一般選擇下面的方法。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -因?yàn)?333125215)12521(1252125127所以設(shè)31)(xxf

35、，取016.01252,00 xx，則xffxxfxfxxf)0()0()()()(12521000300533.1016.0311故0266. 500533.151273。第七節(jié)最簡(jiǎn)單的微分方程在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常討論量與量的關(guān)系，但是這種關(guān)系往往不能夠直接建立，而是通過(guò)導(dǎo)數(shù)或者微分來(lái)確立他們的關(guān)系式，這就是通常說(shuō)的微分方程。本節(jié)將介紹微分方程的一些基本概念，幾種最簡(jiǎn)單的一階微分方程的解法。一、微分方程的基本概念我們把含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程 。并且未知函數(shù)為一元的稱為常微分方程，否則稱為偏微分方程。本節(jié)討論的都是常微分方程，這里所稱的微分方程都是指常微分方程。微分方程中未

36、知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階。例如xxydxdysin25一階3ln)(4322xdxdyxdxyd二階滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解。例如cxyxyxy222, 5,2（c 是任意常數(shù)）都是微分方程：02xy的解。并由此可得：微分方程的解是不唯一的。通常把微分方程的解分成以下幾種：微分方程的 通解 ：如果微分方程的解中，所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于階數(shù)，這個(gè)解就稱為微分方程的通解。例如：cxy2就是微分方程02xy的通解。xxececy3221（21,cc是任意常數(shù)）是微分方程065yy的通解。微分方程的 特解， 如果微分方程的解中沒有任意常數(shù)，這個(gè)解就稱為是微分方程的特解

37、。例如：5, 122xyxy都是微分方程02xy的特解。特解通常都是由通解得來(lái)的，這種用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個(gè)特定點(diǎn)的值來(lái)確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件 。例如，函數(shù)cxy2是微分方程02xy的通解。如果求滿足初始條件1)0(y的特精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -解，只要把該初始條件帶入通解中，得c=1，則函數(shù)12xy就是一個(gè)特解。一階微分的初始條件通常是：00yyx或00)(yxy不是通解也不是特解的解，稱為一般解，這種解這里不討論。二、一階變量可分離的微分方程形

38、如)()(ygxfdxdy或者dyydxx)()(的一階微分方程稱為變量可分離的微分方程，具體求通解方法是：對(duì)方程dyydxx)()(兩邊同時(shí)不定積分，dyydxx)()(解得cygxf)()(即為通解。例 1 求微分方程0yeyx的通解。解yedxdyx，化為：dxedyyx1，兩邊再不定積分dxedyyx1，即0lnceyx，化簡(jiǎn)得通解xecey，其中0cec是任意常數(shù)。例 2 求微分方程1)cos1(0txdttxdx滿足初始條件的特解。解dttdxx)cos1 (1，兩邊不定積分得dttdxx)cos1(1，即0sinlncttx，化簡(jiǎn)得通解ttcexsin,其中0cec是任意常數(shù)；代

39、入初始條件cce0sin01 ，故得特解ttexsin。三、一階齊次微分方程形如：)(xyfdxdy的微分方程，稱為一階齊次微分方程，這種方程是通過(guò)變量替換將其化為一階變量可分離的微分方程，具體做法是：令dxduxudxdyxuyuxy,則，將它們帶入原方程，dxxduuufufdxduxu1)(1),(并化為精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -再通過(guò)解一階變量可分離的微分方程求解，最后要將u回代成xy。例 3 求dxyxdyyx)()(的通解。解方程兩邊同除以x，)1 ()1(x

40、ydxdyxy，令dxduxudxdyuxy則,，則)1()(1(udxduxuu化為uuuuudxdux11112，即dxxduuu1112，兩邊不定積分得02222)1ln(21arctan)1(1121arctan11lncuuuduuduuux化簡(jiǎn)回代得通解為xyceyxarctan22。四、一階線性微分方程形如：)()(xqyxpdxdy稱為 一階線性微分方程，當(dāng)0)(xq時(shí)，稱其為 一階線性齊次微分方程 ，否則稱為 一階線性非齊次微分方程。該微分方程的求解主要分以下兩步：第一步，求一階齊次微分方程的通解將齊次方程0)(yxpdxdy化為dxxpdyy)(1再兩邊積分dxxpdyy)

41、(1解得dxxpcey)(為該方程的通解（不定積分中已不再有任意常數(shù)）。第二步，上面解中的c 是任意常數(shù)，如果把c 也作為 x 的函數(shù))(xuc，并且將函數(shù)dxxpexuy)()(代入到非齊次方程中，其左邊一般不會(huì)是0，而是一個(gè)函數(shù)，至于是否是一階線性微分方程的解，則要看帶入后左邊的這個(gè)函數(shù)是否剛好等于)(xq?；蛘哒f(shuō)只要選擇恰當(dāng)?shù)?(xu，就能夠使得dxxpexuy)()(為一階非齊次方程的解，為此將dxxpdxxpexpxuexudxdy)()()()()(以及dxxpexuy)()(代入到非齊次方程中，得到精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

42、 - 第 20 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -)()()()()()()()()(xqexuxpexpxuexudxxpdxxpdxxp即dxxpexqdxdu)()(積分得cexqxudxxp)()()(所以一階線性非齊次微分方程的通解 是)()()(cdxexqeydxxpdxxp注意 ：這里的不定積分里面都沒有任意常數(shù)。例 4 求方程xxeyy的通解解（方法一）求yy0 的解，方程化為dxdyyydxdy1,兩邊積分得對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解是xcey再設(shè)原方程的解為xexuy)(則xxexuexuy)()(代入原方程得xxxxxeexuexuexu)()()(xxed

43、xxdu2)(解得cexexdedxxexuxxxx2222412121)(所以該方程的通解為xxcexey)12(41（方法二）設(shè)xxexqxp)(,1)(將它們代入公式得)()()(cdxexeecdxexqeydxxdxdxxpdxxp2cdxxeexxxxcexe)12(41例 5 求微分方程yxy1滿足0)1(y的特解。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -解如果仍然把x 看成自變量， y 看成因變量，那么這個(gè)方程不是我們前面所學(xué)過(guò)的任何一種類型的微分方程，但當(dāng)把該方程寫成

44、yxdydxyxdydx即,就是一個(gè)以y 為自變量的一階線性微分方程，把yyqyp)(, 1)(代入公式得)()()(cdyyeecdyeyqexyydyypdyyp1yceceyeeyyyy代入初始條件11c即c=2 特解是12yexy試一試求下列微分方程的通解或特解。0) 1()1 (dyxdxy124xyyxy滿足0)(22xydydxyxxxxyy212,830 xyydxdy滿足0)2(2ydxdyyx第八節(jié)定積分的應(yīng)用利用定積分的幾何意義及性質(zhì)可以解決幾何上、經(jīng)濟(jì)上等其它方面的一些問(wèn)題。一、平面圖形的面積根據(jù)定積分的幾何意義，曲線)(xfy上連續(xù)），在且,)(, 0)(baxfxf

45、和 x 軸與直線bxax,所圍成的曲邊梯形的面積是badxxfs)(，如果0)(xf，這時(shí)曲邊梯形的面積應(yīng)該是badxxfs)(。其實(shí)只要曲線)(xfy在,ba上連續(xù)，則和x軸及直線bxax,所圍成的 曲邊梯形的面積就是（如下圖）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -badxxfs)(3101)3132(3231021021xxdxxdxxsss解所圍面積可以看成是由直線1x與拋物線22xy所圍面積減去由1x與拋物線2xy所圍的面積，并且兩拋物線的交點(diǎn)是(1，1)和（ 1，1） ，故

46、3801)31(4)1(4)2(31021122xxdxxdxxxs0 x y -1 1 2xy例 2 求由曲線2xy與22xy22xy1 1 x 2xy2yx例1求由拋物線2xy和2yx所圍區(qū)域的面積。解所圍區(qū)域的面積可以看成是由x 軸，x=1 和2yx所圍成的面積減去y=1,y 軸和2xy所圍成的面積，所以0 同理可得以 y為積分變量的曲邊梯形的面積計(jì)算（如右圖） s=dcdyyf)(y d c x o x=f(y) y=f(x) x b a y o y o x a b y=f(x) x y a b o y=f(x) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

47、- - - - 第 23 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -選擇以 y 為積分變量2ln232ln21212)ln21(122121yydyyydys二、旋轉(zhuǎn)體的體積平面上的一個(gè)區(qū)域，繞一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體 。設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy和直線 x=a,x=b 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞x 軸旋轉(zhuǎn)而成的（如下圖） ，那么其體積是dxxfvbax2)(同樣可得，由連續(xù)曲線)(yx和直線y=c,y=d 及 y 軸所圍成的曲邊梯形繞y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積（如下圖）是dcydyyv2)(例 4 求拋物線12222byax分別繞 x 軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體

48、的體積。y x 0 y a b y x o c d )(yx例3求由曲線1xy及直線有 y=x,y=2 所圍成的面積。解首先求出所圍區(qū)域的邊界曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，是（1，1）（2，2）和（21，2）y=x (2,2) 1 2 1 2 xy=1 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -)3(2)3()1(2322322222aaabaaaxxbdxaxbdxyvaaaax234ab同理可得繞y 軸的旋轉(zhuǎn)體體積是badybyadyxvbbbby2222234)1(解因?yàn)榍€方程是22yx所以有

49、0242220202yydydyxvy三、在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用舉例例 6 已知某一個(gè)商品的月產(chǎn)量為q 單位時(shí)，總成本的變化率是124.0)(qqc（單位元） ，固定成本為300 元，總成本 c(q)。如果這種產(chǎn)品的銷售單價(jià)是200 元，求總利潤(rùn) l(q) ，問(wèn)月產(chǎn)量多少時(shí)才能夠獲得最大利潤(rùn)？解 由于總成本c(q)是124.0)(qqc的原函數(shù)，并且產(chǎn)量總是非負(fù)的，于是有cqqdqqqc122 .0)124 .0()(2又因?yàn)楣潭ǔ杀臼?00 元，即 c(0)=300 ；所以300122. 0)(2qqqc例5 求由拋物線22xy , 直線 y=2及 y軸所圍的圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積

50、。1 2 x y o 22xya -a -b b y x 解：繞 x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體是由曲線221axby和x軸所圍的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，所以精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -又總利潤(rùn)l(q) 等于總收入r(q)減去總成本c(q) ,而 r(q)=200q, 故3002.0212300122. 0200)()()(22qqqqqqcqrql由04.0212)(qql得 q=530，即月產(chǎn)量是530 單位時(shí)，有最大利潤(rùn)：499623005302 .0530212)530(2l（元

51、）例 7 已知生產(chǎn)某商品q 單位總收入的變化率是50200)(qqr（元 /單位） ，求生產(chǎn) q 單位時(shí)總收入r(q) 以及平均單位收入，并求生產(chǎn)2000 單位時(shí)的總收入和平均收入。解由總收入的變化率得總收入是201001200)50200()(qqdqqqrq平均收入是100200)()(qqqrqp當(dāng)生產(chǎn) 2000 單位時(shí)，總收入是360000200010012000200)2000(2r（元）平均收入是1802000360000)2000(p（元）本章小節(jié)一、主要內(nèi)容三個(gè)中值定理； 羅必達(dá)法則； 單調(diào)區(qū)間和極值的求法；最值的應(yīng)用； 凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的求法；微分求近似值； 三種一階微分方程的

52、通解和特解的求法；利用定積分求平面區(qū)域的面積，求旋轉(zhuǎn)體的體積；定積分在經(jīng)濟(jì)上的簡(jiǎn)單應(yīng)用。二、基本要求(1)知道三個(gè)中值定理，了解凹凸的定義域及幾何特征。(2)熟練掌握使用羅必達(dá)法則求“00”型和“”型不定式，單調(diào)區(qū)間和極值，簡(jiǎn)單平面區(qū)域的面積，簡(jiǎn)單的一階微分方程解。(3)掌握極值的簡(jiǎn)單應(yīng)用，最值的求法，旋轉(zhuǎn)體的體積。習(xí)題5 1求下列極限：123lim2331xxxxxxxxx5tan3sinlim精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁(yè)，共 29 頁(yè) - - - - - - - - -221lim20 xxxxexeexxxox2sintanlim21)1ln(limxexxxxxxxeeeelim)1ln(lnlim0 xxex3sec6tanlim2xxx)1112(lim21xxxxxx1lim2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：2123223xxxyxxy1)1ln(xxy1xeyx3求下列函數(shù)的單