直線與圓的位置關(guān)系、切線03(完結(jié))

1、2.直線與圓的位置關(guān)系3切線學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航1.經(jīng)歷探索直線與圓的位置關(guān)系的過程，理解直線與圓的三種位置關(guān)系。2.了解切線的概念，探索切線與過切點(diǎn)的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線。3.掌握經(jīng)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線的方法。4.掌握切線長定理。5.理解三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念。課前知識回顧如圖所示，設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)A在O內(nèi)（OA<r），點(diǎn)B在O上（OB=r），點(diǎn)C在O外（OC>r）。大知識點(diǎn)全明白知識點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離。提醒：1.直線與圓的位置關(guān)系是以公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行定義的，因此應(yīng)注意下列語句：沒有公共點(diǎn)，有唯一

2、一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。2.直線與圓的位置關(guān)系反映了三種不同的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的典范。我們可以用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷它們的位置關(guān)系，也可以用圓心到直線的距離（通常用d表示）與半徑（r）的大小關(guān)系來判定它們的位置關(guān)系。如下表。例：在RtABC中，C=900，AC=6cm，BC=8cm，以C為圓心，r為半徑畫圓。（1）當(dāng)r=4cm，求C與直線AB的位置關(guān)系；（2）當(dāng)r=4.8cm，求C與直線AB的位置關(guān)系；（3）當(dāng)r=6cm，求C與直線AB的位置關(guān)系；（4）若C與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，求r的取值范圍。解析：要判斷C與直線AB的位置關(guān)系，只需要求出圓心C到直線AB的距離CD，再比較CD與

3、r的大小關(guān)系即可。點(diǎn)撥：比較圓心到直線的距離d與該圓半徑r的大小關(guān)系是判定直線與圓的位置關(guān)系的常用方法。知識點(diǎn)2：切線的性質(zhì)與判定切線的判定：（1）和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）切線的判定定理：經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。提醒：（1）是定義判定法；（2）是體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系；（3）是判定定理。（2）（3）是判定一條直線是圓的切線的常用方法，但在（3）中需要注意作為已知條件的“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”缺一不可，下圖中的直線l均不是O的切線。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，如圖所示，OA是O的半徑，C

4、D與O相切于點(diǎn)A，OACD。在切線的性質(zhì)定理中，必須同時(shí)滿足：垂直于半徑；半徑經(jīng)過切點(diǎn)。例1：如圖所示，已知OC為AOB的平分線，M為OC上一點(diǎn)，以M為圓心的M與OA相切于點(diǎn)D。求證M與OB也相切。審題關(guān)鍵：證明直線與圓相切，注意添加輔助線，連結(jié)MD，過點(diǎn)M作MEOB于E。解析：已知條件中并未給出特征的切線與圓是否有公共點(diǎn)，因此應(yīng)判斷圓心到直線的距離是否等于半徑。答案：證明：連結(jié)MD，過點(diǎn)M作MEOB于E。AO為M的切線，AODM，又OC平分AOB，MEOB，MD=ME（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）。即圓心M到OB的距離等于半徑，M與OB相切。點(diǎn)撥：證明一條直線是圓的切線，常用的方法有兩

5、種：（1）特征“切線”與圓有公共點(diǎn)時(shí)，連結(jié)圓心與公共點(diǎn)，證所連半徑與特征切線垂直；（2）特征“切線”與圓不知是否有公共點(diǎn)時(shí)，過圓心作“切線”的垂線段，證垂線段的長等于半徑。例2：如圖1所示，AB是O的弦，AC是O的切線，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過圓心，若B=250，則C的大小等于 （ ）A、200 B、250 C、400 D、500 圖1 圖2審題關(guān)鍵：AC是切線，為了利用切線所以連結(jié)OA，構(gòu)建新的三角形求解。解析：如圖2所示，連結(jié)OA，AC是O的切線，OAC=900，OA=OB，B=OAB=250，AOC=500， C=400答案：選C。點(diǎn)撥：已知切線時(shí)常作的輔助線是連結(jié)圓心與切點(diǎn)，構(gòu)建直角三角形再

6、利用其性質(zhì)求解。知識點(diǎn)3：切線長及切線長定理切線長的概念：圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。如圖所示，PA，PB為O的兩條切線，點(diǎn)A，B為切點(diǎn)，則線段PA，PB的長即為點(diǎn)P到O的切線長。切線長定理：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角。如上圖所示，PA，PB是O的兩條切線，點(diǎn)A，B為切點(diǎn)，則PA=PB，APO=BPO。提醒：（1）要明確切線和切線長是兩個(gè)不同的概念。切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量。（2）切線長定理是圓的軸對稱性的體現(xiàn)，它為說明線段相等、角相等、弧相

7、等、垂直關(guān)系等提供了理論依據(jù)。例1：如圖所示，PA，PB是是O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，如果 P=600，那么 AOB等于（ ）A、600 B、900 C、1200 D、1500解析：PA，PA，PB是是O的兩條切線，PAOA，PBOB。PAO=PBO=900.根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為3600可得P+AOB=1800.AOB=1800-P=1800-600=1200.答案：C。點(diǎn)撥：遇切線得垂直是解決切線問題的重要方法。例2：如圖所示，從O外一點(diǎn)P引O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，若PA=8cm，C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)不重合），過點(diǎn)C作O的切線，分別交PA，PB于點(diǎn)

8、D，E，則PED的周長是 。審題關(guān)鍵：根據(jù)切線長定理得到相等的線段，然后將PED的周長轉(zhuǎn)化為兩線段PA，PB的長度和。解析：PA，PB是O的切線，PB=PA=8cm。DA，DC是O的切線，DA=DC。又EC，EB是O的切線，EC=EB。PED的周長=PD+PE+DE=PD+PE+DC+EC=PD+DC+PE+EC=PD+DA+PE+EB=PA+PB=8+8=16（cm）。答案：16cm知識點(diǎn)7：三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心提醒：三角形外心、內(nèi)心的有關(guān)知識比較如下表：例：如圖1所示，I是ABC的內(nèi)心，A=80°，求BIC的度數(shù)。解：點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心，1=12ABC，2=12ACB，1+2=1

9、2（ABC+ACB）。又ABC+ACB=180°-A=180°-80°=100°，1+2=12×100°=50°，BIC=180°-（1+2）=180°-50°=130°。 圖1 圖2點(diǎn)撥：如圖2所示，在ABC中，若已知I是內(nèi)心，則BIC=90°+12BAC，AIB=90°+12ACB，AIC=90°+12ABC。這是此題的一般結(jié)論，記住它對解有關(guān)的填空題、選擇題很方便。課堂提問解答問題1：切線與切線長的關(guān)系？答：切線是一條直線，而切線長是切線中的一段線段

10、；切線是不能度量的，而切線長可以度量，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別是切點(diǎn)和切線上在圓外的一點(diǎn)。問題2：三角形外心與內(nèi)心的關(guān)系？答：三角形外心是三角形外接圓的圓心，它是此三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；三角形內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，它是此三角形三條角平分線的交點(diǎn)，內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。教材中欄目答案教材第50頁“云圖”答案：當(dāng)r=8時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)r=9時(shí)，沒有公共點(diǎn)。教材第51頁“做一做”答案：一個(gè)公共點(diǎn)。教材第51頁上數(shù)第二個(gè)云圖答案：先連結(jié)圓心O與圓上的任意一點(diǎn)A，再過點(diǎn)A作直線lOA，則直線l就是所要畫的切線。類型一：直線與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用例：如圖所示

11、，已知中，CD于點(diǎn)D，AC=4cm，BC=cm，以點(diǎn)C為圓心，cm為半徑作圓，問AB與的位置關(guān)系是怎樣的？審題關(guān)鍵：解決直線與圓位置關(guān)系需要知道半徑及圓心到直線的距離，所以本題的解題關(guān)鍵在于求出圓心到直線的距離。解析：要判斷AB與的位置關(guān)系，需要求出CD的長度，再與半徑cm相比較即可，而求CD的長度可考慮使用勾股定理和面積法。答案：解：在中，由勾股定理得AB=。又，即，。CD的長與的半徑相等，即點(diǎn)C到AB的距離等于的半徑。與AB相切。點(diǎn)撥：（1）利用代數(shù)方法證明圓的切線，即先計(jì)算線段CD的長，然后與半徑相比較。（2）求點(diǎn)到直線的距離通常利用勾股定理或直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，如本題中利用了兩種方法

12、求同一直角三角形的面積，從而求出線段CD的長。類型二：切線的判定定理的應(yīng)用例：（2014.東營中考）如圖所示，AB是的直徑，OD垂直弦AC于點(diǎn)E，且交于點(diǎn)D，F(xiàn)是BA延長線上一點(diǎn)，若。（1）求證FD是的一條切線；（2）若AB=10，AC=8，求FD的長。審題關(guān)鍵：（1）要證明FD是切線，需要證明。（2）利用相似求切線長FD。解析：（1）利用圓周角定理、平行線的判定以及切線的判定定理得出，進(jìn)而得出結(jié)論。（2）利用垂徑定理得出AE的長，再由勾股定理求出EO的長，最后利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出FD的長。答案：證明：（1）由題意的，AC，OD，是的一條切線。解（2），DOAC，AE=EC=4，AO

13、=5，由（1）知AEFD，解得FD=。點(diǎn)撥：此類型題主要考察了相似三角形的判定性質(zhì)以及切線的判定定理等知識，通過角等證明平行，在得出相似是此類題的關(guān)鍵。類型三利用切線長定理進(jìn)行相關(guān)證明例：如圖所示，AB，CD為的切線，ABCD，EF也是的切線，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，請判斷EFO的形狀，并說明理由。審題關(guān)鍵：本題給出三條切線，試判斷三角形形狀，需要利用切線長定理通過角之間關(guān)系來說明。解析：根據(jù)切線長定理可以得到1=2，3=4，然后再利用平行線的性質(zhì)求出2+3=90°，從而判斷EFO的形狀。答案：解：EFO為直角三角形。理由如下：EB，EF是的切線，1=2=。FD，F(xiàn)E是的切線，3

14、=4=。ABCD，BEF+DFE=180°。2+3=+=90°。EOF=90°，EFO為直角三角形。點(diǎn)撥：此類題利用切線長定理得出平分角，切線長定理是證明角相等、線段相等的重要依據(jù)。類型四切線的性質(zhì)定理與判定定理的綜合應(yīng)用例：如圖所示，AB是的直徑，AP是的切線，A是切點(diǎn)，BP與交于點(diǎn)C。（1）若AB=2，P=30°，求AP的長；（2）若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是的切線。審題關(guān)鍵：（1）利用直徑與切線構(gòu)建的直角三角形性質(zhì)求解。（2）證明直線是切線利用切線的判定方法：經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。解析：（1）AP是的切線，A是切

15、點(diǎn)，PAB是直角三角形，根據(jù)勾股定理或三角函數(shù)求出AP的長；（2）求證CD是的切線，已知C是切點(diǎn)，考慮連結(jié)過切點(diǎn)的半徑OC。又AB是的直徑，想到直徑所對的圓周角是90°，試著連結(jié)AC。答案：（1）解：AP是的切線，A是切點(diǎn)，BAP=90°。AB=2，P=30°，PB=4。在RtABP中，由勾股定理得AP=。（2）證明：如圖所示，連結(jié)AC，OC。AB是的直徑，ACB=ACP=90°。D為AP的中點(diǎn)，CD=AD。DCA=DAC。OA=OC，OAC=OCA。DCA+OCA=DAC+OAC=90°，即OCD=90°。OCCD。又OC為的半徑，

16、直線CD是的切線。點(diǎn)撥：證明某直線是圓的切線時(shí)，若已知切點(diǎn)，則需要連半徑證垂直，這是證明切線的常用方法。本題又綜合考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等，通過等角之間的轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的。類型五：巧解直角三角形的內(nèi)切圓的半徑例：如圖所示，RtABC中，C=90°，與AB，AC，BC分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AB=c，AC=b，BC=a，求的半徑。解析：連結(jié)OE，OF，由切線長定理可列方程組求解。答案：解：連結(jié)OE，OF。與AB、AC、BC分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，BD=BF，AD=AE，CE=CF。設(shè)BD=x，AD=y，CE=z，則解得BC，AC是的切線，C=90°，OEC

17、=OFC=C=90°。又CE=CF，四邊形OECF為正方形，的半徑OE=CE=。點(diǎn)撥：直角三角形的內(nèi)切圓半徑可簡單的記為“”，熟記這一結(jié)論，在解填空、選擇題時(shí)可節(jié)省不少時(shí)間。類型六：三角形內(nèi)切圓的應(yīng)用例：如圖所示，王奶奶有一塊三角形布料，ABC=90°，她要裁一塊圓片，已知AB=60cm，BC=80cm，為了充分利用這塊布料，使剪下來的圓片直徑盡量大些，她應(yīng)該怎樣裁剪？這個(gè)圓的直徑是多少？解析：三角形中裁下的最大圓是這個(gè)三角形內(nèi)切圓，最大圓的直徑就是內(nèi)切圓的直徑。答案：解：如圖所示，設(shè)O為ABC內(nèi)切圓的圓心，r為內(nèi)切圓的半徑。AB=60，BC=80，ABC=90°

18、，AC=。，。r=20.即王奶奶應(yīng)該剪出這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，這個(gè)圓的直徑是40cm。點(diǎn)撥：利用面積相等，列出方程求解，是利用代數(shù)知識解決幾何問題的常用方法。類型七：三角形內(nèi)心與外心的綜合應(yīng)用例：如圖所示，是ABC的外接圓，點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心，延長AI交于點(diǎn)D，連結(jié)BD。請你探究并解答下列問題：（1）線段BD，ID又怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論。（2）若弦AD與BC相交于點(diǎn)E，則ID，DE與AD之間滿足怎樣的關(guān)系式？請寫出并說明理由。解析：（1）如圖所示，連結(jié)BI，根據(jù)三角形內(nèi)心的概念與性質(zhì)，得到1=2，3=4，然后利用圓周角定理及三角形外角的性質(zhì)證明DIB=DBI，從而得到BD=ID；（2）通

19、過證明DBEDAB得到BD，DE，AD之間滿足關(guān)系式再利用BD=ID進(jìn)行轉(zhuǎn)化。答案：解：（1）BD=ID。證明如下：連結(jié)BI，如圖所示，點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心，1=2，3=4.弧CD=弧CD，2=5，1=5，1+3=4+5，即DIB=DBI，BD=ID。（2）ID=DE，理由如下：由（1）知5=1，而D=D，DBEDAB，。由（1）知ID=BD，ID=DE。點(diǎn)撥：本題是考查三角形外心與內(nèi)心的概念與性質(zhì)，遇到三角形的外心，應(yīng)聯(lián)系運(yùn)用圓周角的定理及其推論，而遇到三角形的內(nèi)心，則一般要聯(lián)系運(yùn)用角平分線有關(guān)知識。類型八：有關(guān)圓的切線的實(shí)際應(yīng)用題例：小明家的鍋蓋壞了，為了配一個(gè)鍋蓋，需要測量鍋的直徑（鍋沿所

20、形成的圓的直徑），而小明家只有一把長20cm的直尺，根本不夠長，怎么辦呢？小明想了想，采取如下辦法：如圖1所示，首先把鍋平放在墻根，鍋沿剛好靠到兩墻，用直尺緊貼墻面量得MA的長（如圖2）所示，即可求出鍋的直徑。請你利用圖2說明他這么做的理由。解析：本題是一道實(shí)際問題的應(yīng)用，巧妙的利用“墻角”構(gòu)造“切線長”，將圓的直徑問題轉(zhuǎn)化到了“墻上”測量線段的問題。答案：解：如圖2所示，假設(shè)圓心為O，連結(jié)OA，OB。MA，MB與相切于點(diǎn)A，B，OAM=OBM=90°。又M=90°，OA=OB，四邊形OAMB為正方形，OA=MA。量得MA的長度，再乘以2就是鍋的直徑。2個(gè)易混易錯(cuò)全明白易錯(cuò)

21、點(diǎn)1判斷直線和圓的位置關(guān)系時(shí)考慮問題不全面例：的圓心到直線l的距離為d，的半徑為R，若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則直線l和的位置關(guān)系是 。解析：圓心到直線距離和半徑分別是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解出兩個(gè)根。所以d，R可能是d=4，R=5或d=5，R=4兩種情況。答案：相交或相離。點(diǎn)撥：此題方程兩個(gè)解可以是分別對應(yīng)d和R，考慮問題時(shí)候一定要全面。易錯(cuò)點(diǎn)2證明過程不嚴(yán)謹(jǐn)例：如圖所示，已知菱形ABCD，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心的圓與AB邊相切于點(diǎn)E。求證： 與其他三邊都相切。審題關(guān)鍵：證與其他三邊都相切，不知與三邊是否有公共點(diǎn)，不能連結(jié)圓心O與直線上某一點(diǎn)，只能先過圓心O作其他三邊的垂線段，然后證

22、明垂線段等于半徑。答案：證明：如圖所示，連結(jié)OE。AB切于點(diǎn)E，OEAB。作OFBC交BC于點(diǎn)F。四邊形ABCD為菱形，BD平分ABC，OF=OE，與BC相切于點(diǎn)F。作OGCD交CD于點(diǎn)G，OHAD交AD于點(diǎn)H。同理可證，與CD，AD分別相切于點(diǎn)G，H，與其他三邊都相切。點(diǎn)撥：證明某條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)切點(diǎn)未確定時(shí)，只能先過圓心O作直線的垂線段，然后再證明垂線段等于半徑。不能想當(dāng)然地把某一點(diǎn)當(dāng)做切點(diǎn)，從而導(dǎo)致證明出錯(cuò)。中考與教材習(xí)題全明白1.教材50頁練習(xí)第1題答案：解（1）兩個(gè)公共點(diǎn)，相交。（2）一個(gè)公共點(diǎn)，相切。（2）無公共點(diǎn)，相離。中考題（2012.江蘇無錫中考）已知的半徑為2，直線l

23、上有一點(diǎn)P滿足PO=2，則直線l與的位置關(guān)系是（ ）A、相切 B、相離 C、相離或相切 D、相交或相切解析：當(dāng)POl時(shí)，與直線l相切；當(dāng)PO與直線l不互相垂直時(shí)，點(diǎn)O到直線l的距離小于2，此時(shí)與直線l相交。答案：D。點(diǎn)撥：中考題與教材練習(xí)題都考查了根據(jù)圓心到直線的距離和圓的半徑判斷直線與圓的位置關(guān)系。教材練習(xí)題直接比較后即可得出結(jié)論，而中考題中沒有明確PO與直線l的位置關(guān)系，所以要分情況討論。此題容易忽視PO不一定與直線l垂直而出錯(cuò)，需要特別注意。2.教材55頁練習(xí)第1題答案：解：是ABC的內(nèi)切圓，BDO=BEO=CFO=90°。 DOE=120°，B=360°-

24、90°-90°-120°=60°。EOF=150°，C=360°-90°-90°-150°=30°，A=180°-B-C=180°-60°-30°=90°，A=90°，B=60°，C=30°。中考題（2013.重慶中考）如圖所示，P是外一點(diǎn)，PA是的切線，PO=26cm，PA=24cm，則的周長為（ ）A、18cm B、16cm C、20cm D、24cm解析：連結(jié)AO，PA是的切線，OAP=90°，AO=

25、（cm），的周長=2OA=20cm答案：選C。點(diǎn)撥：中考題與教材練習(xí)題都考查了切線的性質(zhì)，利用切線的性質(zhì)“圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑”來解決問題，區(qū)別在于教材練習(xí)題需要利用四邊形的內(nèi)角和為360°來解決，而中考題則需要添加經(jīng)過切點(diǎn)的半徑這條輔助線來解決。3教材第52頁練習(xí)第2題答案：證明：AB為的直徑，BDA=90°。B+BAD=90°。而B=CAD，故有CAD+BAD=90°。BAAC。AC為的切線。中考題（2013.湖北黃岡中考）如圖所示，AB為的直徑，C為上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分DAB。（1）求證：DC為的切線；（2）若的半徑為3，AD=4，求AC的長。解析：（1）連結(jié)OC，證OCCD即可得到DC為的切線。（2）因?yàn)锳B為直徑，所以考慮連結(jié)BC。在RtADC與RtACB中，有兩個(gè)角相等，證得ADCACB，依此列出比例式求出AC的長即可。答案：（1）證明：連結(jié)O