定積分求面積.PPT

1、.14 4 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用一一. .微元法微元法二二. .幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用 The Application of Definite Integrals.2l 用用定積分定積分解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)先明確解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)先明確 兩個(gè)問(wèn)題兩個(gè)問(wèn)題：第一，定積分能解決哪類問(wèn)題？第一，定積分能解決哪類問(wèn)題？(共性共性)第二，用定積分解決這類問(wèn)題方法的關(guān)第二，用定積分解決這類問(wèn)題方法的關(guān)鍵是什么？鍵是什么？.3一、微元法一、微元法第一個(gè)問(wèn)題第一個(gè)問(wèn)題：用定積分所解決問(wèn)題的用定積分所解決問(wèn)題的共性共性： 2. 這個(gè)在這個(gè)在a,b上分布的整體量等于其所有上分布的整體量等于其所有1. 都是求在都是求在a,

2、b非均勻分布的一個(gè)整體量，非均勻分布的一個(gè)整體量， 如：面積、體積、曲線弧長(zhǎng)；作功、引如：面積、體積、曲線弧長(zhǎng)；作功、引 力、總成本、總利潤(rùn)等等；力、總成本、總利潤(rùn)等等；.4子區(qū)間局部量的總和子區(qū)間局部量的總和(可和可和)，具體地講：，具體地講：)()()(aFbFdxxfba )(1,1xFnkxxkk )()()(kkkxoxxFxF 因因)()(xFddxxf babaxdFdxxf)()(亦即亦即)(1xFnkk 記作記作設(shè)設(shè)F(x)可微可微.5第二個(gè)問(wèn)題第二個(gè)問(wèn)題：用定積分解決問(wèn)題的用定積分解決問(wèn)題的關(guān)鍵關(guān)鍵 在找出整體量的微元在找出整體量的微元：).(xFd微元法解決問(wèn)題的步驟微元

3、法解決問(wèn)題的步驟1. 寫出實(shí)際問(wèn)題整體改變量的微元表達(dá)式：寫出實(shí)際問(wèn)題整體改變量的微元表達(dá)式：)()()()(xFxfdxxfxFd 通通常常2. 用定積分求出整體改變量：用定積分求出整體改變量：.)()()()( babadxxfxdFaFbF.6二、定積分的幾何應(yīng)用二、定積分的幾何應(yīng)用1. 1. 平面圖形的面積（平面圖形的面積（Area）l用微元法求面積用微元法求面積 dxxgxfAd)()( baAdA badxxgxf)()(.7例例 1 求由求由和和xy21 xy 82所圍圖形的所圍圖形的面積面積.(如圖如圖)思考思考:求面積前需要做那些準(zhǔn)備工作求面積前需要做那些準(zhǔn)備工作?841dA

4、2dA.8解解 從圖中可以明顯看出所求面積分為兩部從圖中可以明顯看出所求面積分為兩部,21RR 和和兩塊面積的微元分別為：兩塊面積的微元分別為：分分: dxxgxfdA)()(1 dxxgxfdA)()(2 dxxx)8(21 dxxx)8(8 .9 8482dxx84232)8(3241 xx 3128163164dxxxA82148 4823)8(322x 8034 36 .10l 用微元法求面積用微元法求面積 dyygyfAd)()( dcAdA dcdyygyf)()(dA求面積前需要做的準(zhǔn)備工作有求面積前需要做的準(zhǔn)備工作有:.11(1) 最好能作出草圖最好能作出草圖,弄清邊界曲線的方

5、程弄清邊界曲線的方程; (2) 根據(jù)所選方法確定積分變量及總量微元根據(jù)所選方法確定積分變量及總量微元;(3) 確定積分區(qū)間確定積分區(qū)間,為此常需要求出邊界曲線為此常需要求出邊界曲線 交點(diǎn)的坐標(biāo)交點(diǎn)的坐標(biāo). (如圖如圖) .12例例 2 再再求由求由和和xy21 xy 82所圍圖形的所圍圖形的面積面積.(如圖如圖)42)0, 8(.13 解解 dxygyfdA)()( dyyyA28242 4223318 yyy 163643243816dyyy2)8(2 36 那種方法好那種方法好？.14-1-0.50.51-1-0.50.51ydx tytx33sincos例例3 求星形線所圍面積，求星形線

6、所圍面積， 它的參數(shù)方程為：它的參數(shù)方程為：)20(sincos33 ttytx)1(3232 yx直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程.解解 由對(duì)稱性只需求出由對(duì)稱性只需求出(1/4 )面積即可。面積即可。ydxdA )cos(sin33tdt 104ydxA 0233cossin4 tdt 0223)sin(cos3sin4 tdttt 2024)sin1 (sin12 tdtt2246135241312 83 .例例4 用微元法推導(dǎo)由極坐標(biāo)給出的曲線用微元法推導(dǎo)由極坐標(biāo)給出的曲線C：)()( rr)0(),cos1( aar 線線l用微元法先推導(dǎo)用微元法先推導(dǎo) 極坐標(biāo)系下求面積極坐標(biāo)系下求面積 的表

7、達(dá)式的表達(dá)式or d )( rdA)( rr d所圍的面積所圍的面積,并求心臟并求心臟所圍圖形的面積所圍圖形的面積.17)()(21半半徑徑弧弧長(zhǎng)長(zhǎng) dA)()(21 rdr drdAA)(212 解解 心臟線的對(duì)稱心臟線的對(duì)稱 性是明顯的，因性是明顯的，因 此此1234-2-112)cos1(2 y.18 drA)(21202 da 022)cos1( da 0222)2cos2(tdta 2/042cos24 2/ t令令2223224138aa 例例5 求雙紐線：求雙紐線： 2sin42 所圍封閉所圍封閉圖形的面積。圖形的面積。.19解解(當(dāng)你不會(huì)作封閉曲線的圖形時(shí)，如何通過(guò)當(dāng)你不會(huì)作封

8、閉曲線的圖形時(shí)，如何通過(guò) 分析求出面積？分析求出面積？) drdAA)(212 分析分析 使用公式：使用公式： 解這個(gè)問(wèn)題的解這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)難點(diǎn)在確定積分限。在確定積分限。, 02sin42 ,2 X對(duì)對(duì)于于,又又是是周周期期函函數(shù)數(shù)注意到注意到 每?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)曲線封閉一次每?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)曲線封閉一次. 變化過(guò)程中，變化過(guò)程中，.20，或或 32220 ，或或 2320 由于周期性的變化由于周期性的變化,你會(huì)發(fā)現(xiàn)封閉圖形將重你會(huì)發(fā)現(xiàn)封閉圖形將重對(duì)對(duì)稱稱，因因?yàn)闉榧醇从钟株P(guān)關(guān)于于)4( xy復(fù)出現(xiàn)在第一、三象限復(fù)出現(xiàn)在第一、三象限,且圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)且圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，稱，故有故有進(jìn)而得進(jìn)而得.21面面積積，就就得得到到上上積積分分至至因因此此只只要要在在41,40 dA240214 全全面面積積 402si