第14節(jié)次序統(tǒng)計(jì)量及其分布

1、一、次序統(tǒng)計(jì)量一、次序統(tǒng)計(jì)量二二、樣本中位數(shù)和樣本極差樣本中位數(shù)和樣本極差第第1.41.4節(jié)節(jié) 次序統(tǒng)計(jì)量及其分布次序統(tǒng)計(jì)量及其分布一、次序統(tǒng)計(jì)量一、次序統(tǒng)計(jì)量1、 次序統(tǒng)計(jì)量次序統(tǒng)計(jì)量1212121212( )( )( )(,),(,),(,)(,),TnTnnTTnnXXXXxxxxxxXXXxxx 設(shè)設(shè)是是從從總總體體 中中抽抽取取的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本是是其其一一個(gè)個(gè)觀觀測(cè)測(cè)值值 將將觀觀測(cè)測(cè)值值按按由由小小到到大大的的次次序序重重新新排排列列為為當(dāng)當(dāng)取取值值為為時(shí)時(shí) 定定義義121 2( )( )( )( )( )(, ,), (,)kkTnXxknXXX 取取值值為為由由此此得得到到

2、稱為樣本稱為樣本的的次序統(tǒng)計(jì)量次序統(tǒng)計(jì)量.12(,)TnXXX特別地，特別地，.min1)1(稱稱為為最最小小次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量iniXX .max1)(稱稱為為最最大大次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量ininXX .),()()2()1(稱稱為為其其觀觀測(cè)測(cè)值值對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的nxxx.),(:21)(個(gè)個(gè)次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的第第樣樣本本kXXXXnk注注.,),()()2()1(21)(一般不相互獨(dú)立一般不相互獨(dú)立并且它們并且它們也都是隨機(jī)變量也都是隨機(jī)變量所以所以的函數(shù)的函數(shù)都是樣本都是樣本由于每個(gè)由于每個(gè)nnkXXXXXXX定義定義1.1212,nXXX設(shè)設(shè)樣樣本本按按由由小小到到達(dá)達(dá)的的順順序

3、序重重排排為為12( )( )( )nXXX1212( )( )( )( ),)(,)TTnnkXXXXXXXk則則稱稱( (為為樣樣本本的的次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量，稱稱為為樣樣本本的的第第 個(gè)個(gè)次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量, ,1( )( ),nXX稱稱為為樣樣本本的的最最小小次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量稱稱為為樣樣本本的的最最大大次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量. .2、次序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)、次序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)定理定理1.19 次序統(tǒng)計(jì)量是充分統(tǒng)計(jì)量次序統(tǒng)計(jì)量是充分統(tǒng)計(jì)量證證 由充分統(tǒng)計(jì)量的定義可知，只需要證明其條件由充分統(tǒng)計(jì)量的定義可知，只需要證明其條件分布與總體分布無(wú)關(guān)即可分布與總體分布無(wú)關(guān)即可.由于樣本具有獨(dú)立性與同分

4、由于樣本具有獨(dú)立性與同分布性，因而布性，因而1111( )( )( )( ),|,nnnnP XxXxXxXx1111( )( )( )( )( )( ),|,niinnnP XxXxXxXxc 1211 2-( ,)( , , )!( !)ni iinncn 其其中中是是的的一一個(gè)個(gè)置置換換，這這樣樣的的置置換換共共, ,因因而而。由由此此可可見見，此此條條件件分分布布與與總總體體無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，故故次序統(tǒng)計(jì)量是充分統(tǒng)計(jì)量次序統(tǒng)計(jì)量是充分統(tǒng)計(jì)量.3、次序統(tǒng)計(jì)量的分布、次序統(tǒng)計(jì)量的分布定理定理1.19 ( )(Xf x設(shè)設(shè)總總體體 的的分分布布密密度度為為或或分分布布函函數(shù)數(shù)12( ),nkF xX

5、XXXkX為為為為來(lái)來(lái)自自總總體體 的的樣樣本本，則則第第個(gè)個(gè)次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的分分布布密密度度為為111()!( )( )( )( )()!()!kkn kXnfxF xF xf xknk1 2, , .kn 其其中中證證根據(jù)分布函數(shù)的定義，可以得到根據(jù)分布函數(shù)的定義，可以得到11()( )( )()( )( )()knXkiini kFxP XxPXxXXx 11( )()( )niini kP XxXP Xx 1212( ) () , . (,)( )( ,( ),nnTnnvxxx xxxXnXxXXXxvxB nF x 設(shè)設(shè)表表示示中中不不超超過過 于于的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) 它它表表示

6、示的的是是總總體體作作 次次重重復(fù)復(fù)獨(dú)獨(dú)立立觀觀測(cè)測(cè)時(shí)時(shí)，事事件件出出現(xiàn)現(xiàn)的的次次數(shù)數(shù)，也也就就是是樣樣本本觀觀測(cè)測(cè)中中不不超超過過 的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，因因而而因因此此111()( )()( )( ) = ( ) ( )knXiini kni kFxP XxXP XxP v xiP v xn 11 =( ) ( )niin ini kC F xF x 1011( )! =()d ()()!()!F xkn kntttknk 利利用用分分部部積積分分因此因此111!( ) =( )( )( )()!()!kkn kXnfxF xF xf xknk （ ）11121( )( )( )( )( )( )

7、nXXfxnF xf x 最最小小次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的分分布布密密度度為為11()( )( )( )( )( )nnnXXfxn F xf x 最最大大次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的分分布布密密度度為為說(shuō)明說(shuō)明例例1(p30例例1.18)120 1( ) , ,(,),.nkXXXXXX 設(shè)設(shè)總總體體服服從從區(qū)區(qū)間間上上的的均均勻勻分分布布為為總總體體 的的樣樣本本 試試求求的的分分布布解解1010,( ),Xxf x 總總體體 的的分分布布密密度度為為其其他他000111,( ),XxF xxxx 的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為111!( ) =( )( )( )()!()!kkn kXnfxF x

8、F xf xknk （ ）11011! =( )(), .()!()!kn knxxxknk定理定理1.20 ( )(Xf x設(shè)設(shè)總總體體 的的分分布布密密度度為為或或分分布布函函數(shù)數(shù)1212( )( ),(,)nTnF xXXXXXXX（ ）（ ）為為為為來(lái)來(lái)自自總總體體 的的樣樣本本，則則次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布密密度度為為121120!(), (,), niininnfyyyyf yyy 其其他他，證明省略證明省略例例2(p30例例1.19)120 , ,(,),.nXXXXX 設(shè)設(shè)總總體體服服從從區(qū)區(qū)間間上上的的均均勻勻分分布布為為總總體體 的的樣樣本本 試試求求樣樣本

9、本的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布解解100,( ),Xxf x 總總體體 的的分分布布密密度度為為其其他他121200!, ,(,), nnnnyyyf yyy 樣樣本本的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布為為其其他他，定理定理1.21 ( )(Xf x設(shè)設(shè)總總體體 的的分分布布密密度度為為或或分分布布函函數(shù)數(shù)121( )( ),(,)nTnF xXXXXXX（ ）為為為為來(lái)來(lái)自自總總體體 的的樣樣本本，則則次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布密密度度為為1210( )()(,)()( )( )( ) ( ),( , ), nnXXn nF yF xf x f yxyfx y 其其他他，證證根據(jù)分布函數(shù)的定義可得根

10、據(jù)分布函數(shù)的定義可得11( )()(,)( )( )( , ),nXXnFx yP Xx Xy以下分兩種情形討論：以下分兩種情形討論：1 ( )xy 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，11( )()(,)( )( )( )( , ),nXXnnFx yP Xx XyP Xy11( )( )( ),( )nnniiP XyXyP XyF y 2( )xy 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，11( )()(,)( )( )( , ),nXXnFx yP Xx Xy1111( )( )( )( )( )( )( )( )( ),nnnnnXyXx XyXx XyXx XyxXyxXy又又由由于于因而因而1( )()(,)( )( , )( )(

11、)nnnXXF yFx yF yF x所以所以1( )()(,)( , )( )( )( )nnnXXFx yF yF yF x于是可以得到其聯(lián)合分布密度為于是可以得到其聯(lián)合分布密度為112210( )()( )()(,)(,)( , )( , )()( )( )( ) ( ), nnXXXXnFx yfx yx yn nF yF xf x f yxy 其其他他，二、樣本中位數(shù)和樣本極差二、樣本中位數(shù)和樣本極差1212( )( )( ),)(,)TnTnXXXXXX 設(shè)設(shè)( (為為樣樣本本的的次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量，樣樣本本的的中中位位數(shù)數(shù)定定義義為為1212212()()() , nnnXnX

12、XXn ，為為奇奇數(shù)數(shù)，為為偶偶數(shù)數(shù)，1、樣本中位數(shù)、樣本中位數(shù)定義定義其觀測(cè)值為其觀測(cè)值為1212212()()() , nnnxnxxxn ，為為奇奇數(shù)數(shù)，為為偶偶數(shù)數(shù)， 2、樣本中位數(shù)的意義、樣本中位數(shù)的意義 樣本中位數(shù)主要用來(lái)描述樣本位置的特征，樣本中位數(shù)主要用來(lái)描述樣本位置的特征，具有和樣本均值類似的含義，但它不受樣本異常值具有和樣本均值類似的含義，但它不受樣本異常值的影響，同時(shí)也容易計(jì)算，也可以作為總體均值的的影響，同時(shí)也容易計(jì)算，也可以作為總體均值的估計(jì)估計(jì). 缺點(diǎn)是分布不容易計(jì)算，因而在理論討論時(shí)，缺點(diǎn)是分布不容易計(jì)算，因而在理論討論時(shí)，帶來(lái)一定困難帶來(lái)一定困難.3、樣本極差、

13、樣本極差1212( )( )( ),)(,)TnTnXXXXXX 設(shè)設(shè)( (為為樣樣本本的的次次序序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量，樣樣本本的的極極差差定定義義為為定義定義111( )( )maxminniii ni nRXXXX 其觀測(cè)值為其觀測(cè)值為111( )( )maxminniii ni nrxxxx 4、樣本極差的意義、樣本極差的意義 樣本極差主要用來(lái)描述樣本變化幅度以及離散樣本極差主要用來(lái)描述樣本變化幅度以及離散程度的特征，具有和樣本方差類似的含義，但它受程度的特征，具有和樣本方差類似的含義，但它受樣本異常值的影響較小，同時(shí)也容易計(jì)算，也可以樣本異常值的影響較小，同時(shí)也容易計(jì)算，也可以作為總體均方差的估計(jì)作為總體均方差的估計(jì). 在實(shí)際中應(yīng)用比較廣泛在實(shí)際中應(yīng)用比較廣泛.例例3(p32例例1.20) 從總體中抽取容量為從總體中抽取容量為6的樣本，的樣本，測(cè)得樣本值為測(cè)得樣本值為32, 65, 28, 35, 30, 29試求試求,樣本中位數(shù)、樣本均值、樣本極差、樣本方差、樣本中位數(shù)、樣本均值、樣本極差、樣本方差、以及樣本標(biāo)準(zhǔn)差。以及