2022年指數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)習(xí)教案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教學(xué)目的 :1、理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的概念；2、掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；3、掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；教學(xué)重點(diǎn)：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式概念的理解；（2）掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式概念的理解一、復(fù)習(xí)什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢？歸納：在初中的時(shí)候我們已經(jīng)知道：若2xa，則 x叫做 a 的平方根 .同理，若3xa，則 x叫做 a 的立方根 .根據(jù)平方根、立方根的定義，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，如4 的平方根為2，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，如8 的立方根為2；零的平方根、

2、立方根均為零.二、新課講解類比平方根、立方根的概念，歸納出n 次方根的概念 .n 次方根：一般地， 若nxa，則 x 叫做 a 的 n 次方根（nthroot） ，其中 n 1，且 n,當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， a 的 n 次方根中，正數(shù)用na表示，如果是負(fù)數(shù)，用na表示，na叫做根式 .n 為奇數(shù)時(shí)， a 的 n 次方根用符號(hào)na表示，其中n稱為根指數(shù)， a 為被開(kāi)方數(shù) .類比平方根、立方根，猜想：當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)，一個(gè)數(shù)的n 次方根有多少個(gè)？當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)呢？nnnanaanana為奇數(shù) , 的 次方根有一個(gè), 為為正數(shù) :為偶數(shù) , 的 次方根有兩個(gè), 為nnanaanan為奇數(shù) , 的 次方

3、根只有一個(gè), 為為負(fù)數(shù) :為偶數(shù) , 的 次方根不存在 .零的 n 次方根為零，記為00n舉例：16 的 4 次方根為2，527527的 次方根為等等，而27的 4 次方根不存在 .精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載小結(jié)：一個(gè)數(shù)到底有沒(méi)有 n 次方根，我們一定先考慮被開(kāi)方數(shù)到底是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，還要分清n 為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況 .根據(jù) n 次方根的意義，可得：()nnaa()nnaa 肯定成立，nna 表示 an的 n 次方根，等式nnaa 一定成立嗎？如果不一定成立

4、，那么nna 等于什么？通過(guò)探究得到： n 為奇數(shù)，nnaan 為偶數(shù) , ,0|,0nnaaaaa a如：34334( 3)273, ( 8)| 8|8小結(jié)：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，nna 化簡(jiǎn)得到結(jié)果先取絕對(duì)值， 再在絕對(duì)值算具體的值，這樣就避免出現(xiàn)錯(cuò)誤：例題：求下列各式的值（1）33(1)( 8)2( 2 )(1 0 )44( 3 )( 3)2( 4 )()ab分析：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)先寫(xiě)|nnaa ，然后再去絕對(duì)值 .思考：()nnnnaa是否成立，舉例說(shuō)明 .課堂練習(xí)： 1. 求出下列各式的值473473(1) ( 2)(2)(33) (1)(3)(33)aaa2若2211,aaaa求

5、的取值范圍 .3計(jì)算343334( 8)(32)(23)三歸納小結(jié)：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載1根式的概念：若n1 且*nn，則n,xaxan是 的 次方根 ,n 為奇數(shù)時(shí) ,=n為偶數(shù)時(shí)，nxa；2掌握兩個(gè)公式：(0),|(0)nnnaananaaa an為奇數(shù)時(shí) ,()為偶數(shù)時(shí) ,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1習(xí)初中時(shí)的整數(shù)指數(shù)冪，運(yùn)算性質(zhì)？00,1(0),0naa a aa aa無(wú)意義1(0)nnaaa;()mnm nmnmnaaaaa(),()nmmnnnnaa

6、aba b什么叫實(shí)數(shù)？有理數(shù)，無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù) .2觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a0 1051025255()aaaa884242()aaaa1212343444()aaaa5105102525()aaaa小結(jié)：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式，（分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式） . 根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式是否也可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式 .如：2323(0)aaa12(0)bbb5544(0)ccc即：*(0,1)mnmnaaannn為此，我們規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義為：*(0,)mnmnaaam nn正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)冪的意義相同.精

7、品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載即：*1(0,)mnmnaam nna規(guī)定： 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義 .說(shuō)明：規(guī)定好分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是可以互換的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪只是根式的一種新的寫(xiě)法，而不是111(0)nmmmmaaaaa由于整數(shù)指數(shù)冪，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪都有意義，因此，有理數(shù)指數(shù)冪是有意義的，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：（1）(0, ,)rsrsaaaar sq（2）()(0, ,)rsrsaaar sq（3）(

8、)(0,0,)rrra ba bqbrq若 a0，p 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則 p 該如何理解？為了解決這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生先閱讀課本 p62p62.即：2的不足近似值， 從由小于2的方向逼近2，2的過(guò)剩近似值從大于2的方向逼近2.所以，當(dāng)2不足近似值從小于2的方向逼近時(shí)，25的近似值從小于25的方向逼近25.當(dāng)2的過(guò)剩似值從大于2的方向逼近2時(shí)，25的近似值從大于25的方向逼近25，所以，25是一個(gè)確定的實(shí)數(shù) .一般來(lái)說(shuō)，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪(0,)paap是一個(gè)無(wú)理數(shù)是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪.無(wú)理指數(shù)冪的意義，是用有理指數(shù)冪的不足近似值和過(guò)剩近似值無(wú)限地逼近以確定大小.思考

9、：32的含義是什么？由以上分析，可知道，有理數(shù)指數(shù)冪，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪有意義，且它們運(yùn)算性質(zhì)相同，實(shí)數(shù)指數(shù)冪有意義，也有相同的運(yùn)算性質(zhì)，即：(0,)rsrsaaaarr sr()(0,)rsrsaaarr sr()(0,)rrra ba barr精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載3例題（1） 求值解：2223323338(2 )2241112 ()21222125(5 )5555151 ( 5)1( )(2 )2322334 ()344162227()( )()8133

10、8（2） 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（a0）解：117333222.aaaaaa22823222333aaaaaa31442133332()aaa aaaa分析：先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算.課堂練習(xí)：補(bǔ)充練習(xí)：1. 計(jì)算：122121(2)( )24 8nnn的結(jié)果2. 384,() naaaaa求的值小結(jié)：1分?jǐn)?shù)指數(shù)是根式的另一種寫(xiě)法.2無(wú)理數(shù)指數(shù)冪表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).3掌握好分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，其與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是一致的.精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 13 頁(yè) -

11、 - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 1計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）（1）211511336622(2)(6)( 3)a ba ba b（2）31884()m n分析：四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)的 . 整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序.我們看到（ 1）小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算； （2）小題是乘方形式的運(yùn)算，它們應(yīng)讓如何計(jì)算呢？其實(shí)，第（ 1）小題是單項(xiàng)式的乘除法，可以用單項(xiàng)式的運(yùn)算順序進(jìn)行.第（2）小題是乘方運(yùn)算，可先按積的乘方計(jì)算，再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算.解： （1）原式 =2111153

12、262362( 6)( 3)ab=04ab=4a（2）原式=318884() ()mn=23m n例 2 （p61例 5）計(jì)算下列各式（1）34(25125)25（2）232(.aaaa0）分析：在第（ 1）小題中，只含有根式，且不是同類根式，比較難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算，這樣就簡(jiǎn)便多了，同樣，第（2）小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算.解： （1）原式 = 111324(25125 )25= 231322(55 )5= 2131322255= 1655= 655精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共

13、 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）原式 =12522652362132aaaaaa小結(jié)：運(yùn)算的結(jié)果不強(qiáng)求統(tǒng)一用哪一種形式表示，但不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母，又含有負(fù)指數(shù).課堂練習(xí)：化簡(jiǎn)：（1）52932232( 9)( 10 )100（2）32 232 2（3）aaaa歸納小結(jié)：1熟練掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)的基礎(chǔ).2含有根式的式子化簡(jiǎn)，一般要先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再計(jì)算.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)xya（a0 且a1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?r.提問(wèn)：在下列的關(guān)系式中，哪些不是指數(shù)函數(shù)，為什么？

14、（1）22xy（2）( 2)xy（3）2xy（4）xy（5）2yx（6）24yx（7）xyx（8）(1)xya（a1，且2a）小結(jié)：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義來(lái)判斷說(shuō)明：因?yàn)閍 0，x是任意一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，xa是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集r.精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載000,0 xxaaxax當(dāng)時(shí),等于若當(dāng)時(shí),無(wú)意義若a0， 如1( 2 ),8xyxx1先 時(shí) ,對(duì) 于=等 等 ,6在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù)值不存在.若 a =1, 11,xy是 一 個(gè) 常 量

15、， 沒(méi) 有 研 究 的 意 義 ， 只 有 滿 足(0,1)xyaaa且的形式才能稱為指數(shù)函數(shù)，5,3,31xxxayxyy1xx為常數(shù), 象y=2-3,y=2等等,不符合(01)xyaaa且的形式 ,所以不是指數(shù)函數(shù).我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性的時(shí)候，主要是根據(jù)函數(shù)的圖象，即用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)研究 . 下面我們通過(guò)先來(lái)研究a1 的情況用計(jì)算機(jī)完成以下表格，并且用計(jì)算機(jī)畫(huà)出函數(shù)2xy的圖象x3.002.502.001.501.000.000.501.001.502.002xy1814121 2 4 - - - - - - - - - - - - - - x y 0 y=2x精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p

16、d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載再研究， 0a1 的情況，用計(jì)算機(jī)完成以下表格并繪出函數(shù)1( )2xy的圖象 .x2.502.001.501.00 0.00 1.00 1.50 2.002.501( )2xy14121 2 4 從圖中我們看出12()2xxyy與的圖象有什么關(guān)系 ?通過(guò)圖象看出12( )2xxyyy與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 ,實(shí)質(zhì)是2xy上的x, y點(diǎn)(-)xyx,yy1與 =() 上點(diǎn)(-) 關(guān)于 軸對(duì)稱 .2討論：12()2xxyy與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以這兩個(gè)函數(shù)是偶函

17、數(shù)，對(duì)嗎？ 利 用電腦 軟 件 畫(huà)出115 ,3 ,( ) ,( )35xxxxyyyy的函數(shù) 圖象 .8642-2-4-6-8-5510問(wèn)題： 1：從畫(huà)出的圖象中，你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象與底數(shù)間有什么樣的規(guī)律.從 圖 上 看xya（a 1 ） 與xya（ 0 a 1 ） 兩 函 數(shù) 圖 象 的 特 征 .3xy5xy13xy15xy- - - - - - - 12xy- - - - - - - x y 0 0 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載8642-2-4-6-8

18、-10-5510問(wèn)題 2：根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的定義域、值域、特殊點(diǎn)、單調(diào)性、最大（?。┲?、奇偶性 .問(wèn)題 3：指數(shù)函數(shù)xya（a0 且a1） ，當(dāng)?shù)讛?shù)越大時(shí)，函數(shù)圖象間有什么樣的關(guān)系.圖象特征函數(shù)性質(zhì)a1 0a1 a1 0a1 向x軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)閞 圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域?yàn)閞+ 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）0a=1 自左向右，圖象逐漸上升自左向右，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1 在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 x0，xa1 x0，xa1 在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1

19、 x0，xa1 x0，xa1 5利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在 , xa bf xa上, ( )=（a0 且a1）值域是( ),( )( ),( );f af bf bf a或（2）若0,xf xf xx則 ( )1;( ) 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)r;（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)( )xf xa（a0 且a1） ，總有(1);fa（4）當(dāng)a1 時(shí)，若1x2x，則1()f x2()f x；例題：例 1：已知指數(shù)函數(shù)( )xf xa（a0 且a 1）的圖象過(guò)點(diǎn)（3，） ，求(0),(1),( 3)fff的值.(1)xyaa(01)xyaa0 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

20、- - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析：要求(0),(1),( 3),xfffax13的值, 只需求出得出f()=()再把 0，1，3 分別代入x，即可求得(0),(1),( 3)fff.課堂練習(xí)： p68練習(xí)：第1， 2，3 題補(bǔ)充練習(xí)： 1、函數(shù)1( )( )2xf x的定義域和值域分別是多少?2、當(dāng) 1,1,( )32xxfx時(shí) 函數(shù)的值域是多少?解（ 1）,0 xr y（2） （53，）例 2：求下列函數(shù)的定義域：（1）442xy（ 2）| |2()3xy分析：類為(1,0)xyaaa的定義域是r，所以，要

21、使（ 1） ， （2）題的定義域，保要使其指數(shù)部分有意義就得.3歸納小結(jié)1、理解指數(shù)函數(shù)(0),101xyaaaa注意與兩種情況。2、解題利用指數(shù)函數(shù)的圖象，可有利于清晰地分析題目，培養(yǎng)數(shù)型結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想.例 1：比較下列各題中的個(gè)值的大?。?） 1.72.5 與1.73 ( 2 )0.10.8與0.20.8( 3 ) 1.70.3 與0.93.1 解法 1：用數(shù)形結(jié)合的方法，如第（1）小題，用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出1.7xy的圖象，在圖象上找出橫坐標(biāo)分別為2.5, 3 的點(diǎn)，顯然，圖象上橫坐標(biāo)就為3 的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為8642-2-4-6-8-10-55101.7xy0 精品學(xué)習(xí)資料

22、可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載2.5 的點(diǎn)的上方，所以2 . 531. 71. 7.解法 2：用計(jì)算器直接計(jì)算：2.51.73.7731. 74. 9 1所以，2.531.71.7解法 3：由函數(shù)的單調(diào)性考慮因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)1.7xy在 r 上是增函數(shù)，且2.5 3，所以，2.531.71.7仿照以上方法可以解決第（2）小題.注：在第（ 3）小題中，可以用解法1，解法 2 解決，但解法3不適合.由于 1.70.3=0.93.1不能直接看成某個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值，因此，在這兩個(gè)數(shù)值間找

23、到1，把這兩數(shù)值分別與1 比較大小，進(jìn)而比較1.70.3與 0.93.1的大小.思考：1、已知0.70.90.80.8,0.8,1.2,abc按大小順序排列, ,a b c.2. 比較1132aa與的大?。╝0 且a0）.指數(shù)函數(shù)不僅能比較與它有關(guān)的值的大小，在現(xiàn)實(shí)生活中，也有很多實(shí)際的應(yīng)用.例 2（p67例 8）截止到1999 年底，我們?nèi)丝趩?3 億，如果今后，能將人口年平均均增長(zhǎng)率控制在1%，那么經(jīng)過(guò)20 年后，我國(guó)人口數(shù)最多為多少（精確到億）？分析：可以先考試一年一年增長(zhǎng)的情況，再?gòu)闹邪l(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后解決問(wèn)題：1999 年底人口約為13 億經(jīng)過(guò) 1 年人口約為13（ 1+1%）億經(jīng)過(guò) 2 年人口約為13（ 1+1%） （1+1%）=13(1+1%)2億經(jīng)過(guò) 3 年人口約為13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3億經(jīng)過(guò)x年人口約為13(1+1%)x億經(jīng)過(guò) 20 年人口約為 13