2022年整式的乘除與因式分解知識點及題型匯編

1、學習必備精品知識點整式的乘除與因式分解知識點及題型匯編同底數(shù)冪的乘法【知識盤點】若 m 、 n均為正整數(shù)， 則 am an=_， 即同底數(shù)冪相乘， 底數(shù) _， 指數(shù) _【應(yīng)用拓展】1計算：（1）64（ 6）5（2） a4（ a）4 （3） x5x3 （ x）4（4） （xy）5 （xy）6 （xy）7 2計算：（1） （ b）2 （ b）3+b （ b）4（2）aa6+a2 a5+a3a4 （3）x3m nx2m 3nxnm（4） （ 2） （ 2）2 （ 2）3（2）100 7已知 ax=2，ay=3，求 ax+y的值8已知 42a2a+1=29，且 2a+b=8，求 ab的值積的乘方【知識

2、盤點】積的乘方法則用字母表示就是：當n 為正整數(shù)時， （ab）n=_【應(yīng)用拓展】1計算：（1） （ 2103）3（2） （x2）nxmn（3）a2 （ a）2 （ 2a2）3（4） （ 2a4）3+a6a6（5） （2xy2）2（ 3xy2）2 2先完成以下填空：（1）2656=（）6=10( )（2）4102510=（）10=10( )你能借鑒以上方法計算下列各題嗎？（3） （ 8）100.12510（4）0.25200742006（5） （ 9）5 （23）5 （13）5 3已知 xn=2，yn=3，求（ x2y）2n的值4一個立方體棱長為2103厘米，求它的表面積（結(jié)果用科學記數(shù)法表示）

3、【綜合提高】10觀察下列等式： 13=12； 13+23=32； 13+23+33=62； 13+23+33+43=102；（1）請你寫出第5 個式子： _ （2）請你寫出第10 個式子： _ （3）你能用字母表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？試一試! 冪的乘方【知識盤點】若 m 、n 均為正整數(shù)，則（am）n=_，即冪的乘方，底數(shù)_，指數(shù) _【應(yīng)用拓展】1計算：（1） （y2a+1）2（2） （ 5）3 4（ 54）3（3） （ab） （ab）2 5 2計算：（1） （ a2）5aa11（2） （x6）2+x10 x2+2 （ x）3 4 8用冪的形式表示結(jié)果：（1） （23）2=_；（22）3=_；（2

4、） （35）7=_；（37）5=_；（3） （53）4=_；（54）3=_你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用式子表示出來同底數(shù)冪的除法知識點：1. 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減：底數(shù) a 可以是一個具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式。強調(diào) a0 的必要性2、a0=1(a 0)練習：一、填空題1. 計算：26aa= ，25)()(aa= . 2. 在橫線上填入適當?shù)拇鷶?shù)式：146_xx，26_xx. 3. 計算：559xxx = ，)(355xxx = 4. 計算：89)1()1(aa= . 5. 計算：23)()(mnnm_二、解答題1. 計算：1、24)()(xyxy； 2、2252)()(abab；3

5、、24)32()32(yxyx； 4 、347)34()34()34(. 2. 計算：1、3459)(aaa； 2、347)()()(aaa； 3 、533248； 4、233234)()()()(xxxx. 3. 地球上的所有植物每年能提供人類大約16106 .6大卡的能量， 若每人每年要消耗5108大卡的植物能量，試問地球能養(yǎng)活多少人？4. 觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，則 89的個位數(shù)字是（）a.2 ； b4； c8； d6. 5. 如果8mx，5nx，則nmx= . 6. 解方程：（ 1）15822x；（2）

6、5)7(7x. 7. 已知3,9mnaa, 求32mna的值 . 8. 已知235,310mn, 求(1)9m n；(2)29mn. 零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪知識點：1、零指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1. 零的零次冪沒有意義！ ”50=1，100=1， a0=1（a 0）: 2. 負整數(shù)指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的n （n 為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的n 次冪的倒數(shù) . 例題 （1）3-2（2）101031計算：（1） （-0.1 ）0； （ 2）020031； （3） 2-2； （4）221. 知識點：科學記數(shù)法科學計數(shù)法 ：把一個數(shù)記作a10n形式（其中1 a 10，n 為正整數(shù)。）將一

7、個數(shù)用科學計數(shù)法表示的時候，10 的指數(shù)比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，例如原數(shù)有 6 位，則 10 的指數(shù)為5。確定 a 值的時候，一定要注意a 的范圍 1 a 10。將一個用科學計數(shù)法表示的數(shù)寫出原數(shù)的時候，10n=100 0（共有 n 個 0）即a10n= a 100 0（共有 n 個 0）1、3.65 10175是位數(shù)， 0.12 1010是位數(shù)；2、把 3900000 用科學記數(shù)法表示為，把 1020000 用科學記數(shù)法表示為；3、用科學記數(shù)法記出的數(shù)5.16 104的原數(shù)是，2.236 108的原數(shù)是；4、比較大?。?.01 104 9.5103；3.01 104 3.10 104；5、地球

8、的赤道半徑是6371 千米，用科學記數(shù)法記為千米22、已知 a、b 互為相反數(shù)， c、d 互為倒數(shù)，12x，2y，求22007)(ycdxba的值 . （4 分）23、已知 a、b 互為相反數(shù)， c、d 互為倒數(shù)， m的絕對值為2，求)21()()(21mmcdbaba的值 . （4 分）24、若2010a，1510b求ba239的值 . （4 分）單項式的乘法0mnm naaam nmna、 是正整數(shù)，且，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點知識點一、單項式與單項式

9、相乘單項式相乘，把它們的系數(shù) 相乘，字母部分的同底數(shù)冪分別相乘 ，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式?；A(chǔ)鞏固1. ( 2a4b2)( 3a)2的結(jié)果是 ( ) a.18a6b2b.18a6b2c.6a5b2 d.6a5b22. 若(am+1bn+2)(a2n1b2m)=a5b3, 則m+n等于 ( ) a.1 b.2 c.3 d.3 3. 式子 ( )(3a2b)=12a5b2c成立時，括號內(nèi)應(yīng)填上( ) a.4a3bc b.36a3bcc.4a3bc d.36a3bc4. 下面的計算正確的是( ) aa2a4a8 b( 2a2)3 6a6 c(an1)2a2n1

10、danaan1a2n5. 3x3y2x2y2am 1a2m6. 3x3y( 5x3y2)=_ (32a2b3c) (49ab)=_ 5108(3102)=_ 3xy( 2x)3( 41y2)2=_ ym 13y2m1=_ 4m(m2+3n+1)=_; ( 23y22y 5) ( 2y)=_ 5x3( x2+2x1)=_; 7. 計算：(1)(2xy2) (31xy); (2)(2a2b3) ( 3a); (3)(4 105) (5 104); (4)(3a2b3)2( a3b2)5; (5)( 32a2bc3) ( 43c5) (31ab2c) 8. 計算：(1)2ab(5ab2+3a2b)

11、(2)(32ab22ab) 21ab(3) 6x(x3y) (4)2a2(21ab+b2). 能力拓展9. 2x2y(213xy+y3) 的計算結(jié)果是 ( ) a.2x2y4 6x3y2+x2y b. x2y+2x2y4c.2x2y4+x2y 6x3y2 d.6x3y2+2x2y410下列計算中正確的是( ) a.3b2 2b3=6b6 b.(2104) ( 6102)= 1.2 106c.5x2y( 2xy2)2=20 x4y5 d.(am +1)2( a)2m=a4m +2(m為正整數(shù) ) 11計算 4m(m2+3n+1)=_;( 23y22y5) ( 2y)=_; 5x3( x2+2x1

12、)=_. 12式子 ( )(3a2b)=12a5b2c成立時，括號內(nèi)應(yīng)填上的代數(shù)式是。13. ( 教材課內(nèi)練習第3 題變式 ) 計算：（1）(a2b3c)2(2a3b2c4) （2）(32ab22ab+34b)( 21ab) （3）( 34a2n+1bn1)( 2.25an 2bn+1) 14.( 一題多解 ) 已知ab2= 6, 求ab(a2b5ab3b) 的值 . 25、 （4 分） （1）據(jù)統(tǒng)計，全球每分鐘約有8500000 t 污水排入江河湖海，這個排污量用科學記數(shù)法表示應(yīng)為多少？（ 2）自從掃描隧道顯微鏡發(fā)明后，世界上便誕生了一門新學科，這就是“納米技術(shù)” .已知 52 個納米長為0

13、. 000000052 m ，用科學記數(shù)法表示此數(shù)為多少米？多項式乘多項式知識點 ：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘 另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。練習一、選擇題1.計算 (2a3b)(2a3b) 的正確結(jié)果是 ( ) a4a2 9b2b4a29b2c4a212ab9b2 d 4a212ab 9b22.若(xa)(xb) x2kxab，則k的值為 ( ) aabb abcabdba3.計算 (2x3y)(4x2 6xy9y2) 的正確結(jié)果是 ( ) a(2x3y)2b (2x3y)2c 8x327y3d8x327y34.(x2px3)(xq) 的乘積中不含x2項，則

14、( ) apqb pqc pqd無法確定5.若 0 x1，那么代數(shù)式 (1 x)(2 x) 的值是 ( ) a一定為正b 一定為負c 一定為非負數(shù)d不能確定6.計算 (a22)(a42a24) (a22)(a42a24)的正確結(jié)果是( ) a2(a22) b2(a22) c2a3d 2a67.方程 (x4)(x5) x220 的解是 ( ) ax0 bx 4 c x5 d x40 8.若 2x25x1a(x 1)2b(x1) c，那么a，b，c應(yīng)為 ( ) aa2，b 2，c 1 ba2，b2，c 1 ca2，b1，c 2 da2，b 1，c2 9.若 6x219x 15(axb)(cxd)

15、，則acbd等于 ( ) a36 b 15 c 19 d 21 10.(x1)(x1) 與(x4x21)的積是 ( ) ax61 bx62x3 1 c x61 dx62x31 二、填空題1.(3x 1)(4x 5)_2.( 4xy)( 5x2y) _3.(x3)(x4) (x1)(x2) _4.(y1)(y2)(y3) _5.(x33x24x1)(x22x3) 的展開式中，x4的系數(shù)是 _6.若(xa)(x 2)x25xb，則a_，b _7.若a2a1 2，則 (5 a)(6 a) _8.當k_時，多項式x1 與 2kx的乘積不含一次項9.若(x2ax8)(x2 3xb) 的乘積中不含x2和x

16、3項，則a_，b_10.如果三角形的底邊為(3a2b) ， 高為 (9a26ab4b2) ， 則面積 _三、解答題1、計算下列各式(1)(2x3y)(3x 2y) (2)(x2)(x3)(x6)(x1) (3)(3x22x 1)(2x2 3x1) (4)(3x2y)(2x3y) (x3y)(3x4y) 2、求 (ab)2(ab)24ab的值，其中a2009，b20103、求值： 2(2x1)(2x1) 5x( x3y) 4x( 4x252y) ，其中x 1，y 24、解方程組(x1)(2y1)2(x1)(y1)x(2 y) 6y(x4)四、探究創(chuàng)新樂園1、若 (x2axb)(2x2 3x1)的

17、積中，x3的系數(shù)為 5，x2的系數(shù)為 6，求a，b2、根據(jù) (xa)(xb) x2(ab)xab，直接計算下列題(1)(x4)(x9) (2)(xy8a)(xy2a). 五、數(shù)學生活實踐一塊長acm ，寬bcm的玻璃，長、寬各裁掉1cm后恰好能鋪蓋一張辦公桌臺面( 玻璃與臺面一樣大小) ，問臺面面積是多少? 六、思考題：請你來計算：若1xx2x3 0，求xx2x3x2012的值乘法公式的復(fù)習一、復(fù)習 : (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3歸納小結(jié)

18、公式的變式，準確靈活運用公式： 位置變化， x yy xx2y2 符號變化，x yx yx2y2 x2y2 指數(shù)變化， x2y2x2y2x4y4 系數(shù)變化， 2a b 2a b4a2b2 換式變化， xyz m xyz mxy2z m2x2y2z m z mx2y2z2zm zm m2x2y2z22zm m2 增項變化， x y z x y zx y2z2x y x yz2x2xy xy y2z2x22xy y2z2 連用公式變化，x y x y x2y2x2y2x2y2x4y4 逆用公式變化，x y z2x y z2x y zx y zx y zx y z2x2y 2z4xy 4xz例 1已

19、知2ba，1ab，求22ba的值。例 2已知8ba，2ab，求2)(ba的值。例 3：計算 19992-20001998 例 4：已知 a+b=2，ab=1，求 a2+b2和(a-b)2的值。例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14。求 x2-z2的值。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點例 6：判斷（ 2+1） （22+1） （24+1）（ 22048+1）+1的個位數(shù)字是幾？例 7運用公式簡便計算（1）1032（2）1982例 8計算（1） a 4b

20、 3c a 4b 3c（2） 3x y 2 3x y 2例 9解下列各式（1）已知a2b213，ab 6，求 a b2，a b2的值。（2）已知 a b27， a b24，求 a2b2，ab 的值。（3）已知 a a 1a2b2，求222abab的值。（4）已知13xx，求441xx的值。例 10 四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1， 一定是平方數(shù)嗎？為什么？。例 11計算（1） x2x 12（2） 3m n p2二、乘法公式的用法( 一) 、套用 :例 1. 計算：53532222xyxy( 二) 、連用 : 連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例 2. 計算：111124a aaa例 3. 計

21、算： 32513251xyzxyz三、逆用 : 學習公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。例 4. 計算：57857822abcabc四、變用 : 題目變形后運用公式解題。例 5. 計算：xyz xyz26五、活用 : 把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：12223244222222222222.abababababababababababab靈活運用這些公式， 往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例 6. 已知 abab45，求ab22的值。例

22、 7. 計算：abcdbcda22例 8. 已知實數(shù)x、y、z 滿足xyzxyy592，那么xyz23（）三、學習乘法公式應(yīng)注意的問題（一）、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數(shù)”例 1 計算 (-2 x2-5)(2 x2-5) 例 2 計算 (- a2+4b)2（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計算 (2x+y- z+5)(2 x- y+z+5)例 4 計算( a-1)2( a2+a+1)2( a6+a3+1)2例 5 計算 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)（三）、注意公式的推廣計算多項式的平方，由 (a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：( a+b+c)2=a2+

23、b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的 2 倍例 6 計算 (2x+y-3)2下列各題，難不倒你吧？！1、若 a+a1=5，求（ 1）a2+21a， （2） （aa1）2的值2、求（ 2+1） （22+1） （24+1） （28+1） （216+1） （232+1） （264+1）+1 的末位數(shù)字五、乘法公式應(yīng)用的五個層次乘法公式： (ab)(a b)=a2b2，(ab)=a22abb2，(a b)(a2abb2)=a3b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用例 1 計算(2)( 2xy)(2x y) 第二層次逆用，

24、即將這些公式反過來進行逆向使用例 2 計算(1)199821998399419972；第三層次活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例 3 化簡： (21)(221)(241)(281) 1例 4 計算： (2x 3y1)( 2x3y5) 第四層次變用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式， 如 a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(ab)等，則求解十分簡單、明快例 5 已知 ab=9，ab=14，求 2a22b2和 a3b3的值第五層次綜合后用：將(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2綜

25、合，可得 (a b)2(a b)2=2(a2b2) ；(ab)2(a b)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷例 6 計算： (2x yz5)(2x yz5)因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、運用公式法. 在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a -b) ；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(a b)2；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

26、 - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學習必備精品知識點(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a -b)(a2+ab+b2) 下面再補充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) ；例.已知abc， ，是abc的三邊，且222abcabbcca，則abc的形狀是（）a.直角三角形b 等腰三角形c 等邊三角形

27、d 等腰直角三角形三、分組分解法. （一）分組后能直接提公因式例 1、分解因式：bnbmanam解：原式 =)()(bnbmanam=)()(nmbnma每組之間還有公因式！=)(banm例 2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。解：原式 =)5()102(bxbyayax原式 =)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba練習：分解因式1、bcacaba22、1yxxy（二）分組后能直接運用公式例 3、分解因式：aya

28、xyx22例 4、分解因式：2222cbaba練習：分解因式3、yyxx39224、yzzyx2222綜合練習：（1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx（ 8）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2()(abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（ 12）abccba3333四、十字相乘法. （一）二次項系數(shù)為1 的二次三項式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx進行分解

29、。特點： （1）二次項系數(shù)是1；（2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例. 已知0a5，且a為整數(shù)，若223xxa能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a.解 析 ： 凡 是 能 十 字 相 乘 的 二 次 三 項式ax2+bx+c ， 都 要 求24bac0 而且是一個完全平方數(shù)。于是98a為完全平方數(shù)，1a例 5、分解因式：652xx分析：將6 分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于 6=23=(-2) (-3)=1 6=(-1) (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有23 的分解適合，即2+3=5。1 2 解：652xx=32)32(2x

30、x1 3 =)3)(2(xx12+13=5 用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)例 6、分解因式：672xx解：原式 =)6)(1()6()1(2xx1 -1 =)6)(1(xx1 -6 （-1）+（-6）= -7 練習 5、分解因式 (1)24142xx(2)36152aa(3)542xx練習 6、分解因式 (1)22xx(2)1522yy(3)24102xx（二）二次項系數(shù)不為1 的二次三項式cbxax2條件： （1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解結(jié)果：cbxax2=)(2211cxacxa例 7、分解因式：101132xx分析：1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 練習 7、分解因式： （1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（4）101162yy（三）二次項系數(shù)為1 的齊次多項式例 8、分解因式：221288baba分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 練習 8、分解因式 (1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四）二次項系數(shù)不為1