定積分和微積分基本定理知識點及題型歸納總結(jié)

1、定積分和微積分基本定理知識點及題型歸納總結(jié)定積分和微積分基本定理知識點及題型歸納總結(jié)知識點精講一、基本概念1.定積分的極念一般地，設(shè)函效在區(qū)間a，b上連續(xù).用分點 將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上任取一點，作和式： ，當(dāng)無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分記為：，為被積函數(shù)，為積分變量，為積分區(qū)間，為積分上限，為積分下限需要注意以下幾點：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時），稱為，而不是（2）用定義求定積分的一般方法.分割：等分區(qū)間；近似代替：取點；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動路程；變力做功2定積

2、分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形(如圖3-13中的陰影部分所示)的面積，這就是定積分的幾何意義一般情況下，定積分的值的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖像以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積取負(fù)號二、基本性質(zhì)性質(zhì)1 .性質(zhì)2 （定積分的線性性質(zhì)）.性質(zhì)3 （定積分的線性性質(zhì)）.性質(zhì)4 （定積分對積分區(qū)間的可加性）推廣1 推廣2 三、基本定理設(shè)函數(shù)是在區(qū)間上連續(xù)，且是是在上的任意一個原函數(shù)，即，則，或記為 ，稱為牛頓萊布尼茲公式，也稱為微積分基本定理該公式把計算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問題，只要求出被積函數(shù)的一個

3、原函數(shù)然后計算原函數(shù)在區(qū)間上的增量即可，這一定理提示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系題型歸納及思路提示題型1 定積分的計算思路提示對于定積分的計算問題，若該定積分具有明顯的幾何意義，如圓的面積等（例及其變式），則利用圓面積計算，否則考慮用牛頓-萊布尼茨公式計算例計算= 解析 a. b. c. d. 變式1 a. b. c. d. 變式2 b. c. d. 變式3 設(shè)函數(shù)，若，則的值為 變式4 設(shè)函數(shù)的定義域為r, 若對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)，則當(dāng)函數(shù)時，定積分的值為（ ）a. b. c. d. 例 根據(jù)定積分的幾何意義計算下列定積分（1）； （2）分析根據(jù)定積分的幾何意義，利用圖形的面積求解.

4、解析 根據(jù)定積分的幾何意義，所求的定積分是直線所圍成圖形（如圖3-14所示）的面積的代數(shù)和，很顯然這是兩個面積相等的等腰直角三角形，如圖3-14所示，其面積代數(shù)和是0，故（2）根據(jù)定積分的幾何意義，所求的定積分是曲線和軸圍成圖形（如圖3-15所示）的面積，顯然是半個單位圓，其面積是，故評注 定積分的幾何意義是函數(shù)和直線以及軸所圍成的圖形面積的代數(shù)和，面積是正值,但積分值卻有正值和負(fù)值之分，當(dāng)函數(shù)時,面積是正值，當(dāng)函數(shù)時，積分值是負(fù)值變式1 根據(jù)定積分的幾何幾何意義計算下列定積分（1）； （2）； （3）； （4）題型52 求曲邊梯形的面積思路提示函數(shù)與直線圍成曲邊梯形的面積為，具體思路是：先作

5、出所涉及的函數(shù)圖象，確定出它們所圍成圖形的上、下曲線所對應(yīng)函數(shù)，被積函數(shù)左、右邊界分別是積分下、上限例 由曲線圍成的封閉圖形的面積為（ ）a. b. c. d.解析 由得則由和圍成的封閉圖形的面積為，故選a變式1（2012湖北理3）已知二次函數(shù)的圖象如圖3-16所求，則它與軸所圍成圖形的面積為（ ）a. b. c. d.yxo圖3-16變式2 由曲線和直線所圍成的圖形（如圖3-17中陰影部分所示）面積的最小值為（ ）a. b. c. d.變式3 求拋物線與圍成的平面圖形的面積變式4 求由兩條曲線和直線所圍成的面積最有效訓(xùn)練題1.已知函數(shù)，則（ ）a. -2 b. d. 2.定積分（ ）a, b. c. d. 3.設(shè)，則（ ）a. b. c. d.不存在 4.，則的大小關(guān)系是（ ）a, b. c. d. 5.曲線與直線所圍成的平面區(qū)域的面積為（ ）a, b. c. d. 6.由直線與曲線所圍成的平面圖形的面積為（ ）a, b. c. d. 7.拋物線與直線圍成的平面圖形的面積為8.已知是偶函數(shù)，且，則9. 10.已知函數(shù)的圖象是折線段abc，其中函數(shù)的圖象與軸所圍