描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

1、動態(tài)動態(tài)問題問題 描述對象特征隨時間描述對象特征隨時間(空間空間)的演變過程的演變過程 分析對象特征的變化規(guī)律分析對象特征的變化規(guī)律 預(yù)報對象特征的未來性態(tài)預(yù)報對象特征的未來性態(tài) 研究控制對象特征的手段研究控制對象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè)根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程第四講第四講 微分方程建模微分方程建模一般處理動態(tài)連續(xù)問題一般處理動態(tài)連續(xù)問題4.1 人口預(yù)測和控制人口預(yù)測和控制4.2 傳染病模型傳染病

2、模型方法方法 根據(jù)規(guī)律列方程根據(jù)規(guī)律列方程 微元分析法微元分析法 模擬近似法模擬近似法 背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長4.1 人口預(yù)測和控制人口預(yù)測和控制指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型馬爾薩斯提

3、出馬爾薩斯提出 ( (1798) )常用的計算公式常用的計算公式kkrxx)1 (0 x(t) 時刻時刻t的的人口人口基本假設(shè)基本假設(shè) : 人口人口(相對相對)增長率增長率 r 是常數(shù)是常數(shù)trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增長率年增長率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于19世紀(jì)后遷往

4、加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測可用于短期人口增長預(yù)測 不符合不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長過程不能預(yù)測較長期的人口增長過程1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率人口增長率r r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變

5、大假設(shè)假設(shè)) 0,()(srsxrxrr固有增長率固有增長率(x很小時很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxxrxrr是是x的減函數(shù)的減函數(shù)mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲線形曲線, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )參數(shù)估計參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)預(yù)報，必須先

6、估計模型參數(shù) r 或或 r, xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計專家估計阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗用模型計算用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx實際為實

7、際為281.4 (百萬百萬)5 .274)2000(x模型應(yīng)用模型應(yīng)用預(yù)報美國預(yù)報美國2010年的人口年的人口加入加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用( (如耐用消費品的售量如耐用消費品的售量) )阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 年齡分布對于人口預(yù)測的重要性年齡分布對于人口預(yù)測的重要性 只考慮自然出生與死亡，不計遷移只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程離散：離散：LeslieLeslie4.

8、2 傳染病模型傳染病模型問題問題 描述傳染病的傳播過程描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報傳染病高潮到來的時刻預(yù)報傳染病高潮到來的時刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型用機理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個病人每天有效接觸每個病人每天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1假設(shè)假設(shè)ttititti)()()(若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(

9、病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假設(shè)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個病人每天有效接觸人數(shù)）每個病人每天有效接觸人數(shù)為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接觸率接觸率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模

10、型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來時刻傳染病高潮到來時刻 (日接觸率日接觸率) tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3傳染病無免疫性傳染病無免疫性病人治愈成病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)增加假設(shè)SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈的比例為 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期感染期 一個感染期內(nèi)一個感染期內(nèi)每個病人的每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)

11、接觸數(shù)。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接觸數(shù)接觸數(shù) =1 閾值閾值/1)(ti形曲線增長按Sti )(感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)健康者人數(shù)不超過病人數(shù)小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至01/閾閾值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染

12、病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計的估計0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計被傳染人數(shù)的估計0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi0 0, s0 1 小小, s0 1提高閾值提高閾值1/降低降低被傳染人數(shù)比例被傳染人數(shù)比例 xs0 - 1/ = 模型模型5傳染病有潛伏期傳染病有潛伏期SEIR模型模型假設(shè)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人、潛伏不變，病人、健康人、潛伏者和移出者的比例分別為者和移出者的比例分別為)(),(),(),(trtet