ch數(shù)項級數(shù)的收斂性實用實用教案

1、（二）級數(shù)（二）級數(shù)(j sh)(j sh)的概念的概念1. 1. 級數(shù)級數(shù)(j sh)(j sh)的的定義定義: : nnnuuuuu3211(常數(shù)(chngsh)項)無窮級數(shù)一般項部分和數(shù)列 niinnuuuus121級數(shù)的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 第1頁/共24頁第一頁，共25頁。 10310003100310331n）（上冊（上冊 301!1! 31! 2111Pne 由此看出級數(shù)可表示一個確定的數(shù)，那么是否(sh fu)所有的級數(shù)都對應一個確定的數(shù)呢？第2頁/共24頁第二頁，共25頁。2. 2. 歷史歷史(lsh)(lsh)上的例上的例

2、子子 xxxxxxxfn 121110,11)(的的展展開開式式：處處可可以以求求出出該該函函數(shù)數(shù)在在歐歐拉拉：，即即有有為為右右邊邊則則上上式式的的左左邊邊為為取取 111121,1111,21, 1x，則則有有取取貝貝努努利利 2222, 2,1:22nnxxxxxx第3頁/共24頁第三頁，共25頁。 事實上，十七、十八世紀由于自然科事實上，十七、十八世紀由于自然科學的飛速發(fā)展，當時大量的級數(shù)學的飛速發(fā)展，當時大量的級數(shù)(j sh)(j sh)被廣泛利用。但在十八世紀之前，數(shù)學家被廣泛利用。但在十八世紀之前，數(shù)學家都不加辨別地認定一個級數(shù)都不加辨別地認定一個級數(shù)(j sh)(j sh)就是

3、就是一個確定的數(shù)，因此就出現(xiàn)了上面的錯誤一個確定的數(shù)，因此就出現(xiàn)了上面的錯誤。正因如此，促使一大批著名的數(shù)學家開。正因如此，促使一大批著名的數(shù)學家開始研究級數(shù)始研究級數(shù)(j sh)(j sh)，提出了級數(shù)，提出了級數(shù)(j (j sh)sh)收斂的概念，以及判斷級數(shù)收斂的概念，以及判斷級數(shù)(j sh)(j sh)收斂的方法等。其中高斯、歐拉、貝努利收斂的方法等。其中高斯、歐拉、貝努利、柯西、阿貝爾、達朗貝爾及傅立葉等都、柯西、阿貝爾、達朗貝爾及傅立葉等都做出過重大的貢獻。做出過重大的貢獻。 第4頁/共24頁第四頁，共25頁。3. 3. 級數(shù)的收斂級數(shù)的收斂(shulin)(shulin)與發(fā)散與

4、發(fā)散: :如如果果 ns 沒沒有有極極限限, ,則則稱稱無無窮窮級級數(shù)數(shù) 1nnu發(fā)發(fā)散散. . 第5頁/共24頁第五頁，共25頁。即即 常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) )余項nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 誤誤差差為為nr)0lim( nnr第6頁/共24頁第六頁，共25頁。討討論論等等比比級級數(shù)數(shù)( (幾幾何何級級數(shù)數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a 的的收收斂斂性性. . 解解時時如果如果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan 例例 1 1第7頁/共24頁第七頁，共25

5、頁。,1時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim,1時時當當 q nnqlim nnslim 收斂(shulin) 發(fā)散(fsn)時時如果如果1 q,1時時當當 q,1時時當當 q nasn 發(fā)散(fsn) aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散 綜上 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,10qqaqnn第8頁/共24頁第八頁，共25頁。判判別別無無窮窮級級數(shù)數(shù) )12()12(1531311nn 的的收收斂斂性性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(

6、21 nn例例 2 2第9頁/共24頁第九頁，共25頁。)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和為和為級數(shù)收斂級數(shù)收斂第10頁/共24頁第十頁，共25頁。證證明明無無窮窮級級數(shù)數(shù) ) 15()45(11161611nn 收收斂斂, ,并并求求其其和和。 證證)15)(45(1 nnun),151451(51 nn)151451()11161()611(51 nnSn)1511(51 nSn即即.5151lim為為知所給級數(shù)收斂，且和知所給級數(shù)收斂，且和由由 Snn例例 3 3第11頁/共24頁第十一頁，共25頁。二、基本二、基本(jbn)(jbn)性質

7、性質性質性質 1 1 如果級數(shù)如果級數(shù) 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnku亦收斂亦收斂. .性質性質 2 2 設兩收斂級數(shù)設兩收斂級數(shù) 1nnus, , 1nnv, ,則級數(shù)則級數(shù) 1)(nnnvu收斂收斂, ,其和為其和為 s. .結論結論: : 級數(shù)的每一項同乘一個級數(shù)的每一項同乘一個(y )(y )不為零的常不為零的常數(shù)數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .結論結論: : 收斂收斂(shulin)(shulin)級數(shù)可以逐項相加與逐級數(shù)可以逐項相加與逐項相減項相減. .第12頁/共24頁第十二頁，共25頁。性質性質 3 3 若級數(shù)若級數(shù) 1nnu收斂收斂, ,則則 1knnu也收斂也收斂

8、)1( k. .且其逆亦真且其逆亦真. .證明證明(zhngmng) nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 則則.kss 類似地可以證明在級數(shù)前面(qin mian)加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.第13頁/共24頁第十三頁，共25頁。性質性質 4 4 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和于原來的和. .證明證明(zhn(zhngmnggmng) ) )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 則則,52s ,93s ,nms 第14頁/共24頁第十四頁，共25頁。注意注意(z

9、h y)收斂級數(shù)去括弧(kuh)后所成的級數(shù)不一定收斂. )11()11(例如例如 1111 收斂(shulin) 發(fā)散推論推論 如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散,則原來級數(shù)也發(fā)散. . 第15頁/共24頁第十五頁，共25頁。級數(shù)收斂級數(shù)收斂. 0lim nnu證明證明(zhngmng) 1nnus,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趨趨于于零零它它的的一一般般項項無無限限增增大大時時當當,nun性質性質5 5 級數(shù)級數(shù)(j sh)(j sh)收斂的必要條件收斂的必要條件: :第16頁/共24頁第十六頁，共25頁。注意注意(zh (zh y)y)1.1.如

10、果級數(shù)的一般(ybn)(ybn)項不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 發(fā)散(fsn)2.2.必要條件不充分. .?, 0lim但級數(shù)是否收斂但級數(shù)是否收斂有有 nnu n131211例如調和級數(shù)例如調和級數(shù)第17頁/共24頁第十七頁，共25頁。討論討論(toln)(toln)1 1nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和為為假假設設調調和和級級數(shù)數(shù)收收斂斂)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散)(210 n便有便有.這是不可能的這是不可能的第18頁/共24頁第十八頁，共25頁。 )21221121()16110191

11、()81716151()4131()211(1mmm8項4項2項2項 項m2,21加括號后的每項均大于加括號后的每項均大于21)1(1 mm項大于項大于即前即前.級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散由性質4 4推論(tuln),(tuln),調和級數(shù)發(fā)散. .討論討論(toln)(toln)2 2第19頁/共24頁第十九頁，共25頁。小結小結(xioji)(xioji)1 1. .由由定定義義, ,若若ssn, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;2 2. .當當0lim nnu, ,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ;3 3. .按按基基本本性性質質. .數(shù)項級數(shù)(j sh)的基本概念基本(jbn)審斂法第20頁/共24頁第二十頁，共25頁。思考題思考題 設設 1nnb與與 1nnc都都收收斂斂，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收斂斂？第21頁/共24頁第二十一頁，共25頁。 作作 業(yè)業(yè)P7: 1 (單單), 2, 4.第22頁/共24頁第二十二頁，共25頁。思考題解答思考題解答(jid)1能由柯西審斂原理(yunl)即知第23頁/共24頁第二十三頁，共25頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第24頁/共24頁第二十四頁，共25頁。NoImage內容(nirng)總結（二）級數(shù)的概念。是否所有的級數(shù)都對應一個確定的數(shù)呢。事實上，十七、十八