金迎迎-線性代數(shù)電子教案ppt課件

1、上課班級上課班級: AP08061,62,63.上課時(shí)間上課時(shí)間: 08-09學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)年度第二學(xué)期;1-18周周,周四周四10:00-11:40.上課地點(diǎn)上課地點(diǎn): 主樓主樓250.課程類型課程類型: 必修必修(調(diào)查調(diào)查)，3學(xué)學(xué)分分.教學(xué)目的教學(xué)目的: 課程是研討線性空間課程是研討線性空間(主要是有主要是有限維限維)和線性變換實(shí)際的一門數(shù)學(xué)根底課和線性變換實(shí)際的一門數(shù)學(xué)根底課,它在數(shù)學(xué)和現(xiàn)它在數(shù)學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)以及眾多領(lǐng)域有著廣泛的運(yùn)用代科學(xué)技術(shù)以及眾多領(lǐng)域有著廣泛的運(yùn)用.因此因此,工科學(xué)工科學(xué)生必需具備有關(guān)線性代數(shù)的根底實(shí)際知識以及處理實(shí)踐生必需具備有關(guān)線性代數(shù)的根底實(shí)際知識以及處

2、理實(shí)踐問題的才干問題的才干, 從而為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和進(jìn)一步擴(kuò)展數(shù)學(xué)知從而為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和進(jìn)一步擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識打下必要的數(shù)學(xué)根底識打下必要的數(shù)學(xué)根底. 教學(xué)方法教學(xué)方法: 課堂授課課堂授課.教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間分配: 1-行列式行列式(6學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)) 2-矩陣及其矩陣及其運(yùn)用運(yùn)用(6學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)) 3-矩陣的初等變換及線性方程組矩陣的初等變換及線性方程組(6學(xué)學(xué)時(shí)時(shí))4-向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性(8學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)) 5-類似矩陣及二類似矩陣及二次型次型(6學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)).主講教師主講教師: 金迎金迎迎迎第一次課第一次課根本要求根本要求: 熟練掌握二、三階行列式的定義與計(jì)算方法熟練掌握二、三階

3、行列式的定義與計(jì)算方法(對角對角線法那么線法那么),了解了解n階行列式的定義階行列式的定義, 了解和熟練掌握行列式的了解和熟練掌握行列式的根本運(yùn)算性質(zhì)根本運(yùn)算性質(zhì),會計(jì)算簡單的會計(jì)算簡單的n階行列式階行列式;了解和掌握克拉默了解和掌握克拉默法那么法那么Cramers rule).教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間分配: 第一次課第一次課(2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)): 1 二階與三階行列式二階與三階行列式; 2 全陳列及全陳列及其逆序數(shù)其逆序數(shù); 3 n階行列式的定義階行列式的定義; 第二次課第二次課(2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)): 4 對換對換; 5 n階行列式的性質(zhì)階行列式的性質(zhì); 6 行列式按行展開定理行列式按行展開定理

4、; 第三次課第三次課(2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)): 7 克拉默法那么克拉默法那么.第一章第一章 行行 列列 式式(determinant)(determinant)本次課本次課11的教學(xué)要求的教學(xué)要求 1 1、熟練掌握二階、三階行列、熟練掌握二階、三階行列式的定義和對角線法那么式的定義和對角線法那么. . 2 2、了解全陳列及其逆序數(shù)的、了解全陳列及其逆序數(shù)的概念，會求陳列的逆序數(shù)概念，會求陳列的逆序數(shù). . 3 3、了解、了解 n n 階行列式的第一種階行列式的第一種定義方法定義方法, ,會用定義計(jì)算特殊方式會用定義計(jì)算特殊方式的的 n n 階行列式階行列式. .用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性

5、方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x一、二階行列式的引入第一章第一章 行行 列列 式式第一節(jié)第一節(jié) 二階與三階行列式二階與三階行列式;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222

6、112112112aaaaabbax 由方程組的四個(gè)系數(shù)確定由方程組的四個(gè)系數(shù)確定. 由四個(gè)數(shù)排成二行二列橫排稱行、豎排由四個(gè)數(shù)排成二行二列橫排稱行、豎排稱列的數(shù)表稱列的數(shù)表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達(dá)達(dá)式式 即即.aaaaaaaa211222112221121111a12a22a21a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算假設(shè)記假設(shè)記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxa

7、bxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 那么二元線性方程組的解為那么二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababDDx 留意留意 分母都為原方

8、程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 二、三階行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的數(shù)數(shù)表表行行個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)排排成成設(shè)設(shè)有有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaa

9、aa6 6式稱為數(shù)表式稱為數(shù)表5 5所確定的三階行列式所確定的三階行列式. .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 留意留意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號元素的乘積冠以負(fù)號闡明闡明1 對角線法那么只適用于二階與三階行列式對角線法那么只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 假設(shè)三元線性方程組假設(shè)三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxax

10、abxaxaxa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項(xiàng)項(xiàng), ,每一項(xiàng)都是位于不同行每一項(xiàng)都是位于不同行, ,不同列的三個(gè)元素的乘積不同列的三個(gè)元素的乘積, ,其中三項(xiàng)為正其中三項(xiàng)為正, ,三項(xiàng)為三項(xiàng)為負(fù)負(fù). . ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 假設(shè)記假設(shè)記333231232221131211aaaaaaaaaD

11、或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 記記,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,33332321

12、3123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 那么三元線性方

13、程組的解為那么三元線性方程組的解為:,DDx11,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 計(jì)計(jì)算算三三階階行行列列式式按對角線法那么，按對角線法那么，有有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解得由0652 xx3.2 xx或或例例4 4 解線性方程組解線性方程組 . 0, 132, 223213

14、21321xxxxxxxxx由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程組的解為故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的.對角線法那么對角線法那么二階與三階行列式的計(jì)算二階與三階行列式的計(jì)算.2112221122211211aaaaaaaa ,3122133321123

15、22311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小結(jié)一、概念的引入引例引例用用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有反復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？有反復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解解1 2 3123百位百位3種放法種放法十位十位1231個(gè)位個(gè)位12 32種放法種放法1種放法種放法種放法種放法.共有共有6123 第二節(jié)第二節(jié) 全陳列及其逆序數(shù)全陳列及其逆序數(shù)二、全陳列及其逆序數(shù)同的排法？同的排法？，共有幾種不，共有幾種不個(gè)不同的元素排成一列個(gè)不同的元素排成一列把把 n問題問題定義定義把把 個(gè)不同的元素

16、排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)個(gè)元素的全陳列或陳列元素的全陳列或陳列.nn 個(gè)不同的元素的一切陳列的種數(shù)，通常個(gè)不同的元素的一切陳列的種數(shù)，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 在一個(gè)陳列在一個(gè)陳列 中，假設(shè)中，假設(shè)數(shù)數(shù) 那么稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序那么稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序. nstiiiii21stii 例如例如 陳列陳列32514 中，中， 定義定義 我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)規(guī)范次序我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)規(guī)范次序, n 個(gè)個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為規(guī)范次序不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為規(guī)范次序.

17、陳列的逆序數(shù)陳列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定義定義 一個(gè)陳列中一切逆序的總數(shù)稱為此陳列的一個(gè)陳列中一切逆序的總數(shù)稱為此陳列的逆序數(shù)逆序數(shù).例如例如 陳列陳列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此陳列的逆序數(shù)為故此陳列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.計(jì)算陳列逆序數(shù)的方法計(jì)算陳列逆序數(shù)的方法方法方法1 1分別計(jì)算出排在分別計(jì)算出排在 前面比它大的數(shù)前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出碼之和即分別算出 這這 個(gè)元素個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求陳列的逆序數(shù)陳列的逆序數(shù).n,n,121 n,n,

18、121 n逆序數(shù)為奇數(shù)的陳列稱為奇陳列逆序數(shù)為奇數(shù)的陳列稱為奇陳列;逆序數(shù)為偶數(shù)的陳列稱為偶陳列逆序數(shù)為偶數(shù)的陳列稱為偶陳列.陳列的奇偶性陳列的奇偶性分別計(jì)算出陳列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼分別計(jì)算出陳列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出陳列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，個(gè)數(shù)之和，即算出陳列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求陳列的逆這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求陳列的逆序數(shù)序數(shù).方法方法2 2例例1 1 求陳列求陳列3251432514的逆序數(shù)的逆序數(shù). .解解在陳列在陳列32514中中,3排在首位排在首位,逆序數(shù)為逆序數(shù)為0;2的前面比的前面比2大的數(shù)只需一個(gè)大的數(shù)只需一個(gè)

19、3,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;3 2 5 1 40 1 0 3 1于是陳列于是陳列32514的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為13010 t. 5 5的前面沒有比的前面沒有比5大的數(shù)大的數(shù),其逆序數(shù)為其逆序數(shù)為0;1的前面比的前面比1大的數(shù)有大的數(shù)有3個(gè)個(gè),故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為3;4的前面比的前面比4大的數(shù)有大的數(shù)有1個(gè)個(gè),故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;例例2 2 計(jì)算以下陳列的逆序數(shù)，并討論它們的計(jì)算以下陳列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性奇偶性. . 2179863541解解453689712544310010 t18 此陳列為偶陳列此陳列為偶陳列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn當(dāng)

20、當(dāng) 時(shí)為偶陳列；時(shí)為偶陳列；14 ,4 kkn當(dāng)當(dāng) 時(shí)為奇陳列時(shí)為奇陳列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，陳列為偶陳列，為偶數(shù)時(shí)，陳列為偶陳列，k當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，陳列為奇陳列為奇數(shù)時(shí)，陳列為奇陳列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0 1 1 2 2 k2 2 陳列具有奇偶性陳列具有奇偶性. .3 計(jì)算陳列逆序數(shù)常用的方法有計(jì)算陳列逆序數(shù)常用的方法有2 種種.1 1 個(gè)不同的元素的一切陳列種數(shù)為個(gè)不同的元素的一切陳列種數(shù)為n!.

21、n三、小結(jié)一、概念的引入三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 闡明闡明1三階行列式共有三階行列式共有 項(xiàng)，即項(xiàng)，即 項(xiàng)項(xiàng)6!32每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積乘積第三節(jié)第三節(jié) n n 階行列式的定義階行列式的定義3每項(xiàng)的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列每項(xiàng)的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)陳列的三個(gè)元素的下標(biāo)陳列例如例如322113aaa列標(biāo)陳列的逆序數(shù)為列標(biāo)陳列的逆序數(shù)為,t2113

22、12322311aaa列標(biāo)陳列的逆序數(shù)為列標(biāo)陳列的逆序數(shù)為,t101132偶陳列偶陳列奇陳列奇陳列正號正號 ,負(fù)號負(fù)號 .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、n 階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個(gè)個(gè)元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)組組成成的的由由定義定義).det(ija簡記作簡記作的的元元素素稱稱為為行行列列式式數(shù)數(shù))det(ijijaa為為這這個(gè)個(gè)排排列列的的逆逆序序

23、數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)排排列列，為為自自然然數(shù)數(shù)其其中中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 闡明闡明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)一樣的一次方程組的需求而程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)一樣的一次方程組的需求而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和;n!n3、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列列 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積;nn4、 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記

24、號相混淆;aa 5、 的符號為的符號為nnpppaaa2121)(211)(npppt 例例1 1計(jì)算對角行列式計(jì)算對角行列式0004003002001000分析分析展開式中項(xiàng)的普通方式是展開式中項(xiàng)的普通方式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa從而這個(gè)項(xiàng)為零，從而這個(gè)項(xiàng)為零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為.aaaa41322314例例2 2 計(jì)算上三角行列式計(jì)算上三角行列式nnnnaaaaaa0002221

25、1211分析分析展開式中項(xiàng)的普通方式是展開式中項(xiàng)的普通方式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項(xiàng)只需所以不為零的項(xiàng)只需.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4

26、證明對角行列式證明對角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 證明證明第一式是顯然的第一式是顯然的,下面證第二式下面證第二式.假設(shè)記假設(shè)記,1, iniia 那么依行列式定義那么依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)一樣的一次方程組的需方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)一樣的一次方程組的需求而定義的求而定義的.2、 階行列式共有階行列式共有 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積,正負(fù)號由下標(biāo)陳正負(fù)號由下標(biāo)陳列的逆序數(shù)決議列的逆序數(shù)決議.nn!n三、小結(jié) xf .283, 32, 01 fff2、分別用兩種方法求陳列、分別用兩種方法求陳列16352487的逆序數(shù)的逆序數(shù). 1 1、求一個(gè)二次多項(xiàng)式求一