數(shù)值分析PPT課件

1、差商和差分的基本概念設函數(shù) f(x)，其獨立變量 x 有一很小的增量x，則相應函數(shù)的增量為： f xf xxf xf (x)是函數(shù)f (x) 在 x 處沿 x正方向的改變量， 稱為函數(shù) f(x)的一階向前差分又因為f (x)為有限量，故又稱為有限差分xffxoxxx第1頁/共24頁差商和差分的基本概念取向前、向后差分的平均值（中心差分）： +=22f xf xf xxf xxf x前后同樣，一階向后差分： f xf xf xx如果 很小，差分和微分之間的差異很小，這是因為 x 0limxfxdffxdxx 第2頁/共24頁差商和差分的基本概念用x的增量x去除差分，便得差商（一階）：向前差商向前

2、差商：向后差商向后差商：中心差商中心差商： f xf xxf xxx f xf xf xxxx 2f xf xxf xxxx它們對一階導數(shù)的逼近度可通過泰勒公式的展開式得到它們對一階導數(shù)的逼近度可通過泰勒公式的展開式得到第3頁/共24頁差商和差分的基本概念泰勒公式：泰勒公式： 1!nnnnd fxfxxxndx 則則 22212!df xd f xf xxf xxxdxdx向前差商：向前差商： 一階精度一階精度 22212!df xd f xf xxf xxxdxdx向后差商：向后差商： 一階精度一階精度上兩式相減：上兩式相減： 333223!df xd f xf xxf xxxxdxdx 中

3、心差商：中心差商： 二階精度二階精度第4頁/共24頁差商和差分的基本概念二階差商二階差商：對一階差商再求差商：對一階差商再求差商 222112xxd fdfdfxdxdxdxf xxf xf xf xxxxxf xxf xf xxx第5頁/共24頁拉普拉斯方程和泊松方程的差分形式二維電磁場泊松方程的邊值問題場域D為正方形：，等步長01,01xy1/hN xy(1,1)(2,1)(1,1)N 0(1,2)(1,2)N (1)Nhh2hh2h(1)Nh22222xy 二維靜態(tài)場泊松方程：第6頁/共24頁拉普拉斯方程和泊松方程的差分形式推導差分方程的方法：采用泰勒級數(shù)法，將場量展開成泰勒級數(shù)，用差商

4、代替偏導，得到差分方程。不對稱星形節(jié)點CAO00(,)x y00(,)xph y00(,)xrh yB00( ,)x yqhD00( ,)x ysh第7頁/共24頁拉普拉斯方程和泊松方程的差分形式將任一點的位函數(shù)(x,y)沿x軸方向展開為O點位函數(shù)0的泰勒級數(shù)：2200000234340000341( , )() ()() ()2!11() ()() ()3!4!x yxxxxxxxxxxxx將節(jié)點A和C的坐標代入上式：23422334400000234111()()()()2!3!4!aphp hp hp hxxxx23422334400000234111()()()()2!3!4!crhr

5、 hr hr hxxxx第8頁/共24頁拉普拉斯方程和泊松方程的差分形式為消去式中的一階偏導22332200023443304()()()()()2!3!()()4!achhrpprpr prpr prxxhpr prx當h很小時，忽略h的三階以上高次項，得到22002222()()()achxp prr prpr同樣可得22002222()()()bdhyq qss qsqs第9頁/共24頁拉普拉斯方程和泊松方程的差分形式將上兩式代入O點的泊松方程20() 得到上述過程，直接用差商逐項逼近微分方程中的微商來推導差分方程，稱為逐項逼近法。2001120()()()()abcdh wp prq

6、qsr prs qsprqs 第10頁/共24頁拉普拉斯方程和泊松方程的差分形式另外，由二階差商的定義0000220222( , )2()2222()()acacacx yphrhphrhphrhxh prh p prh r prh pr代替 。同樣，可得 。22x 22( , )x yy將它們代入微分方程，便可同樣得到差分方程。第11頁/共24頁拉普拉斯方程和泊松方程的差分形式正方形網格（對稱星形節(jié)點），即 代入到1pqrs20040abcdh w無源區(qū)域，可得到拉普拉斯方程040abcd或01()4abcd2001120()()()()abcdh wp prq qsr prs qsprqs

7、 第12頁/共24頁靜態(tài)場第一類邊值問題求解第一類邊值問題： |C = g01234hC第13頁/共24頁靜態(tài)場第一類邊值問題求解yx0V= V0V=0V=0V=0 22222,fx yxy 二維電磁場泊松方程求解方槽中的電位分布只考慮網格和邊界重合的情況第14頁/共24頁靜態(tài)場第一類邊值問題求解21,1,1,1,4ijiji ji ji ji jh f 所滿足的差分方程, i j(1) 雅可比迭代: 12,1,1,1,1,14nnnnni jijiji ji ji jh f缺點： 需要兩套存儲單元，占用內存較大；需要兩套存儲單元，占用內存較大； 收斂速度較慢收斂速度較慢第15頁/共24頁靜態(tài)

8、場第一類邊值問題求解(2) 高斯賽德爾迭代: 1112,1,1,1,1,14nnnnni jijiji ji ji jh f特點： 占用內存較??；占用內存較小； 收斂速度較快；收斂速度較快； 但是當網格數(shù)很大時，收斂速度仍然較慢但是當網格數(shù)很大時，收斂速度仍然較慢第16頁/共24頁靜態(tài)場第一類邊值問題求解(3) 超松弛迭代（SOR迭代） 112,1,1,1,1,14nnnni jijiji ji ji jh f特點： 適當?shù)乃沙谝蜃舆m當?shù)乃沙谝蜃?將大大加快收斂速度將大大加快收斂速度高斯賽德爾迭代的值作為一個中間結果對 和 加權平均，得, i j( ),ni j 1,112,1,1,1,1,4

9、4nnni ji ji ji jnnnnnni jijiji ji ji ji jh f 第17頁/共24頁靜態(tài)場第一類邊值問題求解v 選用何種坐標系；v 選用何種網格（包括邊界）；v 選用何種差分格式（特別是邊界）；v 問題的精確度要求；v 初始值選擇；v 建立差分方程組；v 選用何種迭代法，及參數(shù)選擇；v 檢驗迭代解的收斂和控制迭代結束；v 對問題所得的數(shù)值解進行檢驗。步驟：第18頁/共24頁靜態(tài)場第一類邊值問題求解開始給定邊界值，賦內節(jié)點初值進行迭代，計算電位值收斂？輸出結果結束否是流程圖：第19頁/共24頁靜態(tài)場第一類邊值問題求解21 sin/l對正方形場域的第一類邊界條件：l、m分別

10、是每邊的網格數(shù)對矩形場域的第一類邊界條件：221122lml是每邊的網格數(shù)超松弛迭代（SOR迭代）第20頁/共24頁方槽中的電位分布迭代次數(shù)：G-S迭代：8424SOR迭代：296靜態(tài)場第一類邊值問題求解第21頁/共24頁課程設計：“計算金屬槽中的電位分布” 15 91317 21 2529 33 374115 91317 21 25a0.6aij01000分別取網格步長為：0.2a、0.02a、0.002a，用雅克比迭代法、G-S迭代、SOR迭代和共軛梯度法（博士生要求必須做共軛梯度法）進行計算，并比較它們收斂的迭代次數(shù)，總結收斂次數(shù)與網格數(shù)之間的關系。精度要求為10-6.第22頁/共24頁參考