《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備圓章節(jié)知識(shí)點(diǎn)一、圓的概念1.平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。其中，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑，以點(diǎn)為圓心的圓記作“”，讀作“圓”。2.確定圓的基本條件： （ 1 ）、圓心：定位置，具有唯一性，（2 ）、半徑：定大小。3.半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓，兩個(gè)等圓能夠完全重合。4. 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑， 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧 ，簡(jiǎn)稱 弧，弧用符號(hào)“ ”表示，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成為兩條等弧 ，每一條弧都叫做半圓，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧 ，小于半圓的弧稱為 劣弧 。 在同圓或等圓 中，能過重合的兩條弧叫做 等弧 。

2、理解 ：弧在圓上，弦在圓及圓上：弧為曲線形，弦為直線形。5.不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓且唯一一個(gè)。6. 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的 外心 ，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。 與三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)， 叫做三角形的 內(nèi)心 。三角形的內(nèi)切圓是三角形內(nèi)面積最大的圓，圓心是三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)，他到三條邊的距離相等：內(nèi)心到三頂點(diǎn)的連線平分這三個(gè)角。（補(bǔ)充 ）圓的集合概念1 、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以

3、看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備中垂線）；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離d 與半徑 r 的大

4、小關(guān)系決定的。1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn) C 在圓內(nèi)；Ad2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn) B 在圓上；rOBd3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn) A 在圓外；C解題注意點(diǎn)和圓的位置不確定性。圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，他有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，每一條過圓心的直線都是他的對(duì)稱軸。圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來(lái)的圖形重合，這種性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性。圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。三、直線與圓的位置關(guān)系：相交，相切，相離如果圓 O 的半徑為 r ，圓心 O 到直線 l 的距離為 d，那么：1 、直線與圓相離dr無(wú)交點(diǎn) ；2 、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3 、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；rd四、

5、圓與圓的位置關(guān)系名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備d=rrd設(shè)兩圓半徑分別為R 和 r，圓心距為d，那么：外離（圖1 ）無(wú)交點(diǎn)dRr ；外切（圖2 ）有一個(gè)交點(diǎn)dRr ；相交（圖3 ）有兩個(gè)交點(diǎn)RrdR r ；內(nèi)切（圖4 ）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；內(nèi)含（圖5 ）無(wú)交點(diǎn)dRr；ddRrRr圖 1圖 2ddrRrR圖4圖5dR r圖 3五、垂徑定理（非常重要）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論 1 ：（1 ）平分弦（ 不是直徑 ）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?2 ）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?3 ）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條

6、弧名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備以上共 4 個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2 推 3 定理：此定理中共5 個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2 個(gè)即可推出其它3 個(gè)結(jié)論，即：AB是直徑ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 個(gè)條件推出其他3 個(gè)結(jié)論。A推論 2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在 O 中， AB CDCDOOEABCDB弧AC弧 BD解題技巧：在圓中，解有關(guān)弦的問題時(shí)，常常需要做“垂直于弦的直徑”作為輔助線。六、圓心角定理頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角 。圓心角的度數(shù)與他所對(duì)的弧的度數(shù)相等。圓心角定理：在同圓或等圓 中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1 推 3 定理，即

7、上述四個(gè)結(jié)論中，EFOD只要知道其中的1 個(gè)相等，則可以推出其它的3 個(gè)結(jié)論，AC即： AOBDOE ； AB DE ；BOCOF ； 弧BA弧BD七、圓周角定理頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角 。1 、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角（或弧的C度數(shù)）的一半。即：AOB 和ACB 是弧 AB 所對(duì)的圓心角和圓周角BOA AOB2ACB2 、圓周角定理的推論：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備推論 1 ：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中， 相等的圓DC周角所對(duì)的弧是等??；即：在 O 中，C 、D 都是所對(duì)的圓周角BOA CD推論 2 ：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角

8、是直角所對(duì)的弧是C半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在 O 中， AB 是直徑或C90BAO C90AB 是直徑推論3 ：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是C直角三角形。即：在 ABC 中，OCOAOBBAOABC 是直角三角形或C90注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。注：忽略一條弦所對(duì)的弧有兩條，所對(duì)的圓周角邊有兩種不同的角。八、圓內(nèi)接四邊形一般的，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓。圓的內(nèi)接四邊形定理 ：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。推論 ：圓內(nèi)接四邊形任何一個(gè)外角

9、都等于他的內(nèi)對(duì)角。DCBAE名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備即：在 O 中，四邊形 ABCD 是內(nèi)接四邊形 CBAD 180BD180DAEC九、切線的性質(zhì)與判定定理直線和圓有唯一公共點(diǎn)（即直線和圓相切）時(shí)，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（ 1 ）切線的判定定理： 過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MNOA 且 MN 過半徑 OA 外端OMANMN 是 O 的切線（ 2 ）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論 1 ：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論 2 ：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二

10、推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。連接圓心與切點(diǎn)間的線段是解圓的切線問題時(shí)常用的輔助線，通常敘述為： “見切點(diǎn)連半徑得垂直 ?！?解決與圓的切線有關(guān)的問題時(shí)，常需要補(bǔ)充的線是作過切點(diǎn)的半徑。九、切線長(zhǎng)定理在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng) 。切線長(zhǎng) 定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線 長(zhǎng)BOPA名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備相等，圓心和圓外這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。即： PA 、 PB 是的兩條切線PAPBPO 平分BPA十一、圓冪定理（ 1 ）相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積

11、相等。DB O P即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于點(diǎn) P ，PA PBPCPD（ 2 ）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成CA的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在 O 中，直徑 ABCD ，CE 2AE BEBCOEAD（ 3 ）切割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。A即：在 O 中， PA 是切線， PB 是割線DEPO PA2PC PBCB（ 4 ）割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線， 這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖） 。即：在 O 中， PB 、 PE 是割線PC PBPD PE名師推薦

12、精心整理學(xué)習(xí)必備十二、兩圓公共弦定理兩圓相切時(shí)， 連心線必過切點(diǎn)，這一性質(zhì)是由圓的對(duì)稱性決定，兩個(gè)圓組成的圖形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是經(jīng)過兩圓圓心的直線。圓公共弦 定理 ：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。A如圖： O1O2 垂直平分 AB 。O1O2即：O1 、 O2 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)B垂直平分 ABO1O2注：兩圓相交時(shí)，依照兩圓圓心和公共弦的位置，可分為兩種情況： 兩圓圓心在公共弦同側(cè)， 兩圓圓心在公共弦異側(cè)。AB十三、圓的公切線CO1兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：O2（ 1 ）公切線長(zhǎng)： RtO1O2C 中， AB2CO12O1O22CO22 ；（ 2 ）外公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之

13、差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)： CO2 是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形 。把一個(gè)圓分成相等的弧，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做正多邊形的外接圓。 經(jīng)過各分點(diǎn)做圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切多邊形，這個(gè)圓叫做多邊形的內(nèi)切圓。正多邊形的外接圓 （或內(nèi)切圓） 的圓心叫做正多邊形的中心 。正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的 半徑 。正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角 ，正多邊形內(nèi)切圓半徑叫做正多邊形的邊心距 。正 n 邊形的半徑R 與邊心距r 把正 n 邊形分成2n 個(gè)全等的直角三角形。名師推薦

14、精心整理學(xué)習(xí)必備關(guān)系式：中心角n = 3600；邊長(zhǎng) an =2 R sin 1800;nn邊心距 rn R cos1800; R2r 2(1 an )2 ; 周長(zhǎng) C nnan ;n2面積 Sn = 1 an rnn= 1 C n rn .22（1）正三角形在 O 中 ABC 是正三角形，有關(guān)計(jì)算在Rt BOD 中進(jìn)行：COD:BD: OB1:3:2；B（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在R t中進(jìn)行，O A EOE: AE: OA1:1: ：2BCOAED（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在R t中進(jìn)行，O A BAB:OB :OA1:3:2 .OBAOAD名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式nR；1 、扇形：（ 1 ）弧長(zhǎng)公式： l180（ 2 ）扇形面積公式：Sn R