關(guān)于運算意義構(gòu)建的思考

1、關(guān)于運算意義構(gòu)建的思考小學(xué)數(shù)學(xué)中的運算主要有加、減、乘、除四種。目前，我們對加、減、乘、除這四種運算的定義基本上是這樣的：加法，將兩個數(shù)合并 成一個數(shù)的運算叫加法;減法，已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求 另一個加數(shù)的運算叫減法;乘法，求幾個相同加數(shù)和的簡便運算;除 法，已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。從這些運算定義來看，加法是所有運算的源頭。減法是依據(jù)加法 來定義的，是加法的逆運算;乘法也是依據(jù)加法來定義的，是加法的簡便運算;除法是乘法的逆運算。乘法逆運算減法由此看來，所有的運算在本質(zhì)上都是加法。那么，這樣的定義合理嗎？一、意義構(gòu)建的兩種基本樣式我在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的兩種基

2、本樣式一文中，對概念的意:義構(gòu)建做過分類。類型一：概念本身能夠在生活中找到原型。學(xué)生在生活中因為對原型的經(jīng)歷，已經(jīng)具備該概念所包含的內(nèi)涵和外延的理解。我們把這種概念的意義構(gòu)建表述為：學(xué)生教師明改造型j明白學(xué)習(xí)白經(jīng)驗水平學(xué)科水平類型二：概念本身在生活中找不到原型。學(xué)生在生活中沒有關(guān)于該概念的任何經(jīng)歷。我們把這種概念的意義構(gòu)建表述為：學(xué)生教師空,輸入型明白學(xué)習(xí)白按照這兩種分類考察我們對運算意義的定義，應(yīng)該屬于第二種： 將學(xué)生視為空白定義運算意義。先定義一個加法，再以加法為標(biāo)準(zhǔn)， 定義減、乘、除，形成小學(xué)階段的運算系統(tǒng)。這樣的意義構(gòu)建合理嗎？二、力口、減、乘、除的運算原型力口、減、乘、除在生活中是各

3、有原型的。生活中的所有運算可分 為兩類：分與合。這兩種運算用政治語言來表達(dá)即統(tǒng)一與分裂，用物 理語言可以描述為聚與裂，用倫理語言可描述為結(jié)婚與離婚等，用數(shù) 學(xué)語言來表述就是加與減。由部分而為整的，我們稱之為合，即加。由整而為部分的，我們 稱之為分，即減。生活中，是先有分還是先有合？若先有合，那部分 從何而來？若先有分，那整體又從何而來？因此，分與合可以轉(zhuǎn)化， 卻不可從屬。分與合是獨立而又彼此相通的兩種運算。合久必分，分 久必合。合就是合，分就是分。何為合，何為分？學(xué)生在生活中c經(jīng)有了充分的認(rèn)識，絕不會混 淆。那“比”是“分”,還是“合”呢？生活中有許多關(guān)于“比”的原型。就“境”而言，“比”應(yīng)該

4、屬 于分，即把一個比較物分為另一比較物與比余部分。討論完加與減之后，再來討論乘和除，乘、除有原型嗎？生活中的運算分為分與合，這個世界是秩序井然的，是賦予生命 以安全感的，那這種秩序井然與安全感是怎么來的呢？因為世界的分 與合充滿規(guī)律，這種規(guī)律性表現(xiàn)在運算上就是等合與等分。什么是等合？比如，今天合進(jìn)來的一天有24小時，明天合進(jìn)來 的一天也是24小時，不會突然變成2小時。這種等合是世界有序與 安全的原因。這種等合原型，生活中比比皆是，將此種原型定義為乘 法。那么等分呢？這種分法當(dāng)然就更普遍了，我們將等分定義為除法。除法首先是獨立于乘法而存在的一種運算，其次是可以與乘法相轉(zhuǎn)化的一種運算。如果這一認(rèn)識

5、成立，那小學(xué)數(shù)學(xué)的運算體系可以描述為:a加|（比） （比）等分三、為什么要討論這個問題我們?yōu)槭裁匆懻摷?、減、乘、除的意義構(gòu)建呢？我們先來分析 一個案例。小學(xué)一年級數(shù)學(xué)教師都有一種糾結(jié)，這個糾結(jié)來自以下類型的題0o這幅圖用一個算式來表示，正確的算式是:但學(xué)生很喜歡用下列算式來表示：教師怎么跟學(xué)生講也講不明白，結(jié)果是，現(xiàn)在許多地方在改革的旗幟下變成這樣的題目：讓學(xué)生填出三個算式:5-2-35-3=22+ 3=5教師千萬不要小看這種對題目題意的隨意給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來 的傷害，造成這種困頓的原因來自我們對運算意義構(gòu)建的不合理?，F(xiàn)在，我們看這幅圖。就圖境而言，是在分還是在合？顯然，所 有學(xué)生會認(rèn)為這是

6、一個“分”境，飛走兩只天鵝，飛走了，用減法。 但就量而言，是兩個部分，即飛的部分與不飛的部分，這兩部分在同 一幅畫中，自然要用加法。而小學(xué)數(shù)學(xué)加法的運算意義正是基于量的判斷而建立起來的，學(xué) 生正是用我們所教的意義來認(rèn)識的。因此，我們教學(xué)中遇到問題，沒 有真正認(rèn)識問題，而是用一種和稀泥的方法掩蓋過去，美其名曰“一 題多解”，是一件十分有后患的事情。四、意義，問題解決的審題抓手加強(qiáng)運算意義的教學(xué)，溝通數(shù)學(xué)問題與運算意義的聯(lián)系，以運 算意義的理解提升學(xué)生分析和解決問題的能力。新課程下的解決問題教學(xué)，不再分類型教學(xué)，學(xué)生遇到一個應(yīng) 用問題時，就不再是聯(lián)系類型思考問題，而必須思考情境中的問題與 運算意義

7、的聯(lián)系。這樣，運算意義的理解對能否有效的分析數(shù)量關(guān)系 起著關(guān)鍵的作用。因此，加強(qiáng)運算意義的教學(xué)，注意多種運算模型的 滲透，注意溝通數(shù)學(xué)問題與運算意義的聯(lián)系，成為學(xué)生能否有效解決 問題的關(guān)鍵。首先，要加強(qiáng)運算意義的教學(xué)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷探索運算意義 的過程，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減乘除各種運算的意義。例如， 整數(shù)加法意義的學(xué)習(xí)，一年級上冊的“認(rèn)識加法” 一課，（北師大版, 可插入課本圖片）教材通過四個問題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷加法意義的形成過 程，其中問題1 “一共有幾支鉛筆”和問題2 “一共有幾只熊貓”通 過兩組動態(tài)的連環(huán)畫情境，幫助學(xué)生體會“合起來”的過程。抽象出 算式，從而初步理解加法的意義。問題3

8、 “認(rèn)一認(rèn)”是在前兩個問題 直觀體會加法表示“合起來”的基礎(chǔ)上，體會兩個情境雖然內(nèi)容不同, 但是表示的是同一件事情，都可以用3+2=5來表示，從而抽象出加法 算式。再通過觀察淘氣寫出的算式，來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識加號以及算式的 讀法和寫法。問題4 “擺一擺，算一算”，通過結(jié)合圖示情境擺一擺 學(xué)具，列出相應(yīng)的加法算式，進(jìn)一步鞏固加法意義的初步認(rèn)識。在加強(qiáng)運算意義教學(xué)時，教師還要通過情境的多元化幫助學(xué)生 多積累一些運算的原型，也就是理解運算意義不是背出某句話，而是 積累一些使用某種運算的例子，為學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系以及實現(xiàn)順利化 歸提供必要的原型支撐。例如，乘法的意義可以從“幾個幾”、“面積”、 “倍數(shù)”、“

9、折扌ii”等方面來理解，這些運算意義的原型有：1、六年級平均每班有38人，一共有6個班，六年級一共有多 少人？2、教室長8米，寬6米，教室的面積是多少？3、我們班喜歡踢球的有8人，喜歡跳繩的人數(shù)是喜歡踢球人數(shù) 的15倍，喜歡跳繩的有多少人？4、一套衣服的原價為400元，現(xiàn)在打6折出售，現(xiàn)價多少元？ 等。在學(xué)生積累了比較多的運算意義的原型后，就能較好的理解運算 模型的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，如加法可以作為剩余、比較、往回數(shù)、減少或加法 逆運算等的模型；乘法可以作為相等的數(shù)的和、面積計算、倍數(shù)、組 合等的模型。除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運算等的模型等。其次，在具體解決問題時，教師要注意溝通運算意義與解決問題 的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解。如這樣一個簡單實際問題：1只小象搬2根木頭，3只小象搬幾 根木頭呢？學(xué)生中出現(xiàn)了 3種算式：2x3=6； 2+2+2二6； 3x2=6.老師追問： 2x3-6, 3x2-6你是怎么想的？ 一學(xué)生回答：1頭大象搬2根木頭， 這里就是“3個2”，可以用2x3或3x2.這里通過老師的追問，引 導(dǎo)學(xué)生溝通乘法算式與乘法運算意義之間的聯(lián)系。再如這樣一個問題：蘇寧家電商場有電視機(jī)840臺，第一天賣出 160臺，第二天賣出剩下臺數(shù)的丄。第二天賣出多少