泰勒taylor公式PPT課件

1、一、問題的提出1.1.設設)(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,則有則有2.2.設設)(xf在在0 x處可導處可導, ,則有則有例如例如, , 當當x很小時很小時, , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下圖）（如下圖）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 第1頁/共44頁xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 第2頁/共44頁不足不足:問題問題:尋找函數尋找函數)(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤差誤差 )()()(xPxfxR 可估計可估計1、精確度不高；、精確度不高； 2、

2、誤差不能估計、誤差不能估計.設函數設函數)(xf在含有在含有0 x的開區(qū)間的開區(qū)間),(ba內具有直到內具有直到)1( n階導數階導數, ,)(xP為多項式函數為多項式函數nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xPxfxRnn 第3頁/共44頁二、二、nP和和nR的確定的確定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點相交點相交0 x第4頁/共44頁假設假設 nkxfxP

3、kkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 第5頁/共44頁三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數如果函數)(xf在含有在含有0 x的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間),(ba內具有直到內具有直到)1( n階的導數階的導數, ,則則當當x在在

4、),(ba內時內時, , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個的一個n次多項式與一個余項次多項式與一個余項)(xRn之和之和: : )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在0 x與與x之間之間) ). .第6頁/共44頁證明證明: : 由假設由假設, ,)(xRn在在),(ba內具有直到內具有直到)1( n階階導數導數, ,且且兩函數兩函數)(xRn及及10)( nxx在以在以0 x及及x為端點的為端點的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件區(qū)間上滿足柯西中

5、值定理的條件, ,得得)()(1()(0011之間之間與與在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn第7頁/共44頁如此下去如此下去, ,經過經過)1( n次后次后, ,得得 兩函數兩函數)(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及1 為端點為端點的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之之間間與與在在nx 0, ,也在也在0

6、x與與x之間之間) )()(1()(1021022之間之間與與在在 xxnnRnn 第8頁/共44頁 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的 n n 次近似多項式次近似多項式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的 n n 階泰勒公式階泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 則由上式得則由上式得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 第9頁/共44頁拉格朗日形式的余項拉格朗日形式的余項 1010)

7、1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞諾形式的余項皮亞諾形式的余項0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即第10頁/共44頁注意注意: :1.1. 當當0 n時時, ,泰勒公式變成拉氏中值公式泰勒公式變成拉氏中值公式 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項則余項 1)1()!1()()( nnnxnxfxR

8、 第11頁/共44頁)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式第12頁/共44頁四、簡單的應用例例 1 1 求求xexf )(的的n階麥克勞林公式階麥克勞林公式. .解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe第13頁/共44頁由公式

9、可知由公式可知! 212nxxxenx 估計誤差估計誤差)0( x設設!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR第14頁/共44頁 常用函數的麥克勞林公式常用函數的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 第15頁

10、/共44頁例例 2 2 計算計算 403cos2lim2xxexx . .解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 第16頁/共44頁xy xysin 五、小結1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計算中的應用公式在近似計算中的應用; ;第17頁/共44頁五、小結第18頁/共44頁o五、小結第19頁/共44頁o五、小結第20頁/共44頁o五、小結第21頁/共44頁o五、小結第22頁/共44頁2 2. .T Tayloraylor 公式

11、的數學思想公式的數學思想-局部逼近局部逼近. .第23頁/共44頁第24頁/共44頁第25頁/共44頁第26頁/共44頁第27頁/共44頁第28頁/共44頁第29頁/共44頁第30頁/共44頁第31頁/共44頁第32頁/共44頁第33頁/共44頁第34頁/共44頁第35頁/共44頁第36頁/共44頁第37頁/共44頁第38頁/共44頁第39頁/共44頁思考題思考題利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限30)1(sinlimxxxxexx 第40頁/共44頁思思考考題題解解答答)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320

12、)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx .31 第41頁/共44頁一、一、當當10 x時，求函數時，求函數xxf1)( 的的n階泰勒公式階泰勒公式 . . 二、二、求函數求函數xxexf )(的的n階麥克勞林公式階麥克勞林公式 . . 三、三、驗證驗證210 x時，按公式時，按公式62132xxxex 計算計算xe的近似值，可產生的誤差小于的近似值，可產生的誤差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使誤差小于近似值，使誤差小于 0.010.01 . . 四、四、應用三階泰勒公式求應用三階泰勒公式求330的近似值，并估計誤差的近似值，并估計誤差. . 五、五、 利用泰勒公式求極限：利用泰勒公式求極限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx . .練練 習習 題題第42頁/共44頁一、一、)1()