全等三角形難題集

1、1 倍長(zhǎng)中線（線段）造全等1、已知：如圖，ad 是 abc 的中線， be 交 ac 于 e，交 ad 于 f，且ae=ef ，求證： ac=bf abcdef分析：要求證的兩條線段ac、 bf 不在兩個(gè)全等的三角形中，因此證 ac=bf 困難，考慮能否通過輔助線把a(bǔ)c、bf 轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，由ad 是中線，常采用中線倍長(zhǎng)法，故延長(zhǎng)ad 到 g，使 dg=ad ，連 bg，再通過全等三角形和等線段代換即可證出。2、已知在 abc 中， ad 是 bc 邊上的中線，e 是 ad上一點(diǎn)， 且 be=ac ，延長(zhǎng) be 交 ac 于 f，求證：af=ef fedabc提示：倍長(zhǎng)ad 至 g，連

2、接 bg，證明 bdg cda 三角形 beg 是等腰三角形3、已知，如圖abc中， ab=5 ，ac=3 ，則中線ad的取值范圍是 _. dcba4、在 abc 中,ac=5, 中線 ad=7，則 ab 邊的取值范圍是( ) a、1ab29 b、 4ab24 c、5ab19 d、9ab19 5、已知： ad、 ae 分別是 abc 和 abd 的中線，且ba=bd ， 求證： ae=21ac abcde6、如圖， abc中， bd=dc=ac， e是 dc的中點(diǎn)，求證：ad平分 bae. edcba7、 已知 cd=ab ，bda= bad ， ae 是 abd 的中線，求證： c=bae

3、abcde提示：倍長(zhǎng)ae 至 f，連結(jié) df 證明 abe fde （sas）進(jìn)而證明 adf adc （sas）8、如圖 23， abc中，d是 bc的中點(diǎn)， 過 d點(diǎn)的直線gf交 ac于 f，交 ac的平行線bg于 g點(diǎn)，de df，交 ab于點(diǎn) e，連結(jié) eg 、ef. 求證： bg=cf 請(qǐng)你判斷be+cf與 ef的大小關(guān)系，并說明理由。2 4321deabcadbce9、如圖， ad 為abc的中線， de 平分bda交 ab于 e， df 平分adc交 ac 于 f. 求證：efcfbe第 14 題圖dfcbea方法 1：在 da 上截取 dg=bd ，連結(jié) eg、 fg 證明 b

4、de gde dcf dgf 所以 be=eg 、cf=fg 利用三角形兩邊之和大于第三邊方法 2：倍長(zhǎng) ed 至 h，連結(jié) ch 、fh 證明 fh=ef 、ch=be 利用三角形兩邊之和大于第三邊10、如圖， abc中， e、f 分別在 ab 、ac上，de df ，d是中點(diǎn)，試比較be+cf與 ef的大小 . edfcba11、已知：如圖，在abc中，acab，d、e 在 bc上， 且 de=ec ， 過 d 作badf /交 ae 于點(diǎn) f， df=ac. 求證： ae 平分bacabfdec方法 1：倍長(zhǎng) ae 至 g，連結(jié) dg 方法 2：倍長(zhǎng) fe 至 h，連結(jié) ch 截長(zhǎng)補(bǔ)短7

5、.9 作業(yè)： 已知， 四邊形 abcd 中，ab cd，1 2，3 4。求證： bcabcd 。1、 如圖，adbc， 點(diǎn) e 在線段 ab 上，ade= cde ，dce= ecb. 求證： cd=ad+bc. 證明：在cd上截取 cf=bc在 fce 與 bce 中，cecebcefcecbcf fce bce（ sas）, 2=1. 又 adbc， adc+ bcd=180， dce+ cde=90 ， 2+3=90，1+ 4=90， 3=4. 在 fde 與 ade 中，43dedeadefde fde ade （ asa），df=da ，cd=df+cf ，cd=ad+bc. adb

6、cef12343 fdcba12edcba122、已知：如圖，在abc 中， c 2b， 1 2. 求證： ab=ac+cd. 證明：方法一（補(bǔ)短法）延長(zhǎng) ac 到 e，使 dc=ce ，則 cde ced ， acb2e， acb2b， b e，在 abd 與 aed 中, adadeb21 abd aed（aas）, ab=ae. 又 ae=ac+ce=ac+dc，ab=ac+dc. 方法二（截長(zhǎng)法）ab 上截取 af=ac ，在 afd 與 acd 中, adadacaf21 afd acd （sas）, df=dc ， afd acd. 又 acb 2b， fdb b，fd=fb. a

7、b=af+fb=ac+fd，ab=ac+cd. 3、如圖，在 abc中， bac=60 ， ad 是 bac的平分線，且 ac=ab+bd ，求 abc 的度數(shù)dcba4、如圖， 已知在 abc中，b=60，abc的角平分線ad,ce相交于點(diǎn)o，求證： oe=od oedcba5、已知abc中，60a，bd、ce分別平分abc和. acb，bd、ce交于點(diǎn)o，試判斷be、cd、bc的數(shù)量關(guān)系，并加以證明6、如圖，已知在abc內(nèi)，060bac，040c，p，q分別在 bc ，ca上，并且ap ，bq分別是bac，abc的角平分線。求證：bq+aq=ab+bp pqcba7、如圖在 abc中， a

8、b ac ， 1 2，p為 ad上任意一點(diǎn)，求證 ;ab-ac pb-pc p21dcbadcba12doecba4 圖十一4321pabc8、如圖，點(diǎn)m為正三角形abd的邊ab所在直線上的任意一點(diǎn) ( 點(diǎn)b除外 ) ，作60dmn，射線mn與dba外角的平分線交于點(diǎn)n，dm與mn有怎樣的數(shù)量關(guān)系? 角平分線上的點(diǎn)向角兩邊引垂線段1、如圖，在四邊形abcd 中， bc ba,adcd ，求證： bad+ c=180dcba2、如圖，四邊形abcd 中， ac 平分 bad，ceab 于 e， ad+ab=2ae ，則 b 與 adc 互補(bǔ) . 為什么？3、如圖4，在 abc中， bd=cd ，

9、 abd= acd,求證ad平分 bac. 4、如圖，在abc 中， abc=100 ， acb=20 ，ce 平分 acb，d 是 ac 上一點(diǎn)，若cbd=20 ，求ade 的度數(shù) . 7.5 作業(yè)： 已知， abad ， 1 2，cd bc。求證： adc b180。圖九21cbad7.6 作業(yè)：如圖，在 abc 中 abc,acb 的外角平分線交 p.求證 :ap 是 bac 的角平分線7.6 作業(yè)：如圖,b=c=90 ,am 平分 dab,dm 平分 adc 求證:點(diǎn) m 為 bc 的中點(diǎn)d b e a c a b c d nebmad5 連接法（構(gòu)造全等三角形）7.9 作業(yè)： 已知：

10、如圖所示，abad， bcdc，e、f分別是 dc 、bc 的中點(diǎn)，求證：aeaf 。1、如圖，直線ad 與 bc 相交于點(diǎn)o，且ac=bd ，ad=bc 求證： co=do aodcb2、已知：如圖16，ab=ae ， bc=ed ，點(diǎn) f 是 cd 的中點(diǎn)， afcd求證： b= eafdcbe3、如圖11-30，已知abae， b e，bced ，點(diǎn) f 是 cd 的中點(diǎn) .求證： afcd. fedcba4、在正abc內(nèi)取一點(diǎn)d，使dadb，在abc外取一點(diǎn)e，使dbedbc，且beba，求bed. 5、如圖所示， bd=dc,de bc,交 bac 的平分線于e，em ab,en a

11、c,求證： bm=cn 6、如圖，在 abd 和 acd 中，ab=ac ，b=c求證： abd acd adcb全等+角平分線性質(zhì)1、如圖 21，ad平分 bac ， de ab于 e，dfac于 f，且 db=dc ，求證： eb=fc 2、已知：如圖所示，bd 為 abc 的平分線， ab=bc ，點(diǎn) p 在 bd 上， pmad 于 m ，?pn cd 于 n，判斷pm 與 pn 的關(guān)系pdacbmna c n e m b d d b ca f e decba6 全等 +等腰性質(zhì)1、 如圖，在 abe中，ab ae,ad ac,bad eac, bc 、de交于點(diǎn) o. 求證： (1)

12、 abc aed ； (2) ob oe . 2、.已知：如圖， b、e、f、c 四點(diǎn)在同一條直線上，abdc，becf ， b c求證： oaod 兩次全等7.4 作業(yè)： ab=ac ，db=dc ，f是 ad的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證： bf=cf fdcba1、如圖， d、e、f、b 在一條直線上ab=cd, b=d，bf=de. 求證：（ 1）ae=cf; （2）ae cf （3） afe= cef 2、如圖： a、e、f、b 四點(diǎn)在一條直線上，ac ce，bddf， ae=bf ，ac=bd 。求證： acf bde abcefd3、 如圖，在四邊形abcd 中， e 是 ac 上的一點(diǎn)

13、，1=2，3=4，求證 : 5=6654321edcba4、已知如圖，e、 f 在 bd 上，且 abcd ，bfde，ae cf 求證： ac 與 bd 互相平分由 bfdf ，得 bedf abe cdf ， b d 再證 aob cod ，得 oaoc ，obod 即 ac、bd 互相平分5、如圖，在四邊形abcd 中， ad bc， abc=90 de ac 于點(diǎn) f， 交 bc 于點(diǎn) g， 交 ab 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，且 ae=ac. 求證： bg=fg a f c b d e g a d f e c b ocebdaa b e o f d c 7 直角三角形全等（余角性質(zhì)）作業(yè)：如圖

14、，在等腰rtabc中，c90，d是斜邊上ab上任一點(diǎn)，aecd于e，bfcd交cd的延長(zhǎng)線于f，chab于h點(diǎn)，交ae于g求證：bdcg1、如圖，將等腰直角三角形abc 的直角頂點(diǎn)置于直線l上，且過 a，b 兩點(diǎn)分別作直線l 的垂線， 垂足分別為d，e，請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程解：全等三角形為：acd cbe證明如下：由題意知 cad+ acd=90 ，acd+ bce=90 ， cad= bce 在 acd 與 cbe 中，adc= ceb=90 cad= bce ac=bc ， acd cbe （aas）2、如圖， abc90， ab bc，d 為 ac 上一

15、點(diǎn)，分別過 a、c 作 bd 的垂線，垂足分別為e、f 求證： efcfae 證 abe bcf，得 becf ，ae bf，efbebf cfae 3、在 abc 中，90acb，bcac，直線mn經(jīng)過點(diǎn)c，且mnad于d，mnbe于e.(1) 當(dāng)直線mn繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到圖 1 的位置時(shí)，求證：adcceb；beadde；(2) 當(dāng)直線mn繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到圖2 的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明； 若不成立， 說明理由. 4、如圖： beac ，cf ab， bm=ac ，cn=ab 。求證：（ 1）am=an ；（ 2）am an。fbcamne1234作平行線1、已知 abc

16、，ab=ac ，e、f 分別為 ab 和 ac 延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且be=cf ，ef 交 bc 于 g求證： eg=gf afcgbe2、如圖，在abc 中， ab=ac ，bd 平分 abc ，de bd 于 d，交 bc 于點(diǎn) e求證： cd=21be 1 5 4 3 2 e f b d c a a b c f d e 8 證明：過點(diǎn)d 作 df ab 交 bc 于點(diǎn) fbd 平分 abc ， 1= 2dfab， 1=3， 4=abc 2= 3， df=bf debd， 2+def=90 o， 3+ 5=90o def= 5 df=ef ab=ac ， abc= c 4= c， cd=df

17、cd=ef=bf ，即 cd=21be延長(zhǎng)角平分線的垂線段1、如圖， 在 abc 中， ad 平分 bac，ce ad 于 e求證： ace= b+ecd afdcbe分析：注意到ad 平分 bac ，ce ad ，于是可延長(zhǎng)ce 交 ab 于點(diǎn) f，即可構(gòu)造全等三角形證明：延長(zhǎng)ce 交 ab 于點(diǎn) fad 平分 bac ， fae= cae cead ， fea= cea=90o在 fea 和 cea 中，fae= cae ，ae=ae ，fea= cea fea cea ace= afe afe= b+ ecd ， ace= b+ ecd 2、如圖， abc 中， bac=90 度， ab

18、=ac ，bd 是abc 的平分線， bd 的延長(zhǎng)線垂直于過c 點(diǎn)的直線于e，直線 ce 交 ba 的延長(zhǎng)線于f求證： bd=2ce fedcba3、如圖： bac=90 ， ce be，ab=ac ，bd 是abc 的平分線，求證：bd=2ec bcaed4、已知，如圖34， abc 中， abc=90 o，ab=bc ，ae 是 a 的平分線， cdae 于 d求證： cd=21ae cebad面積法例 1 如圖 1，在 abc 中， bac 的角平分線ad 平分底邊 bc.求證 ab=ac. 9 分析：根據(jù)已知可知ad 是 bac 的平分線，可通過點(diǎn)d 作 bac 的垂線，根據(jù)角平分線的

19、性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積進(jìn)行證明. 證明：過點(diǎn) d 作 deab，df ac ，垂足分別為e、 f. 因?yàn)?da 為 bac 的平分線，所以de=df. 又因?yàn)?ad 平分 bc，所以 bd=cd ，所以 sabd=sacd，又 sabd=21ab de，sacd=21ac df ，所以 abde=ac df，所以 ab=ac. 2、如圖所示 ,已知 d 是等腰 abc 底邊 bc 上的一點(diǎn) ,它到兩腰 ab、ac 的距離分別為de 、df,cm ab,垂足為m, 請(qǐng)你探索一下線段de、df 、cm三者之間的數(shù)量關(guān)系, 并給予證明 . edcbamf3、己知， abc 中， ab=ac ，cd

20、ab，垂足為 d，p是 bc 上任一點(diǎn)， peab，pf ac 垂足分別為e、f，求證：pe+pf=cd. pe p f=cd. 旋轉(zhuǎn)型1、如圖，正方形abcd 的邊長(zhǎng)為1，g 為 cd 邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) g 與 c、 d 不重合），以 cg 為一邊向正方形abcd 外作正方形gcef ， 連接 de 交 bg 的延長(zhǎng)線于h。求證：bcg dce bhde 2、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1 所示放置，圖 2 是由它抽象出的幾何圖形，b，c，e在同一條直線上，連結(jié)dc （1）請(qǐng)找出圖2 中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明： dc be 3、（1）如圖 7，點(diǎn) o 是線段 ad 的中點(diǎn)，分別以ao 和do 為邊在線段ad 的同側(cè)作等邊三角形oab 和等邊三角形 ocd ，連結(jié) ac 和 bd，相交于點(diǎn)e，連結(jié) bc求aeb 的大??；（2）如圖8， oab 固定不動(dòng)，保持ocd 的形狀和大小不變，將ocd 繞著點(diǎn)o 旋轉(zhuǎn)（ oab 和ocd不能重疊），求aeb 的大小 . 圖 1 圖 2 d c e a b c b o d 圖 7 a