北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)[《三角形的證明》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理](提高)

1、精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)三角形的證明全章復(fù)習(xí)與鞏固( 提高) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 經(jīng)歷回顧與思考的過(guò)程，深刻理解和掌握定理的探索和證明. 2. 結(jié)合具體實(shí)例感悟證明的思路和方法，能運(yùn)用綜合、分析的方法解決有關(guān)問(wèn)題. 3. 能正確運(yùn)用尺規(guī)作圖的基本方法作已知線段的垂直平分線和角的平分線，以及繪制特殊三角形 . 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形1. 三角形全等的性質(zhì)及判定全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等. 判定： sss 、 sas 、asa 、aas 、hl. 2. 等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)：等

2、腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、 底邊上的高互相重合（即“三線合一” ）3. 等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60；等邊三角形的三條精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3 條對(duì)稱軸 . 判定定理：有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 . 4. 含 30的直角三角形的邊的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

3、要點(diǎn)詮釋：等邊三角形是中考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì)算也很常見(jiàn)，因此對(duì)于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，不如邊長(zhǎng)為a 的等邊三角形他的高是32a，面積是234a；含有30的直角三角形揭示了三角形中邊與角的關(guān)系，打破了以往那種只有角或邊的關(guān)系，同時(shí)也為我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ). 要點(diǎn)二、直角三角形1. 勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. 逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 2. 命題與逆命題命題包括題設(shè)和結(jié)論兩部分；逆命題是將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到的；正確的逆命題就是逆定理. 3. 直角三角形全等的判定定

4、理定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（hl）要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理在語(yǔ)言敘述的時(shí)候一定要注意，不能說(shuō)成 “兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應(yīng)該說(shuō)成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”. 直角三角形的全等判定方法，還有sss,sas,asa,aas,一共有 5 種判定方法 . 要點(diǎn)三、線段的垂直平分線1. 線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上. 2. 三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. 3. 如何用尺規(guī)作圖

5、法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)a、b為圓心，以大于12ab的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)m 、n；作直線 mn ，則直線mn 就是線段ab的垂直平分線. 要點(diǎn)詮釋：注意區(qū)分線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理, 注意二者的應(yīng)用范圍；利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距離最短問(wèn)題. 要點(diǎn)四、角平分線1. 角平分線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上. 2. 三角形三條角平分線的性質(zhì)定理精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離

6、相等. 3. 如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線要點(diǎn)詮釋：注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理和判定定理, 注意二者的應(yīng)用范圍；幾何語(yǔ)言的表述，這也是證明線段相等的一種重要的方法. 遇到角平分線時(shí)，要構(gòu)造全等三角形 . 【典型例題】類型一、能證明它們么1. 如圖， acd和 bce都是等腰直角三角形，acd= bce=90 ， ae交 cd于點(diǎn) f，bd分別交 ce 、ae于點(diǎn) g 、 h試猜測(cè)線段ae和 bd的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由【思路點(diǎn)撥】 由條件可知cd=ac ， bc=ce ， 且可求得 ace= dcb ， 所以 ace dcb ， 即 ae=bd ，cae= cdb ；又因?yàn)閷?duì)頂角afc= d

7、fh ，所以 dhf= acd=90 ，即ae bd【答案與解析】猜測(cè) ae=bd ，ae bd ；理由如下： acd= bce=90 ， acd+ dce= bce+ dce ，即 ace= dcb ，又 acd和 bce都是等腰直角三角形，ac=cd ，ce=cb ，在 ace與 dcb中，,acdcacedcbecbc ace dcb （sas ），ae=bd ，cae= cdb ； afc= dfh ， fac+ afc=90 ， dhf= acd=90 ，ae bd 故線段 ae和 bd的數(shù)量相等，位置是垂直關(guān)系.【總結(jié)升華】 主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)及對(duì)

8、頂角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)舉一反三：【變式】 將兩個(gè)全等的直角三角形abc和 dbe按圖 1 方式擺放， 其中 acb= deb=90 ， 精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用a=d=30 ，點(diǎn)e落在 ab上， de所在直線交ac所在直線于點(diǎn)f（1）求證： af+ef=de ；（2）若將圖1 中的 dbe繞點(diǎn) b 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且 0 60，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D2 中畫(huà)出變換后的圖形，并直接寫(xiě)出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖1 中的 dbe繞點(diǎn) b 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且 60 180，其它條件不變，如圖3你認(rèn)為（ 1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不

9、成立，請(qǐng)寫(xiě)出 af 、ef與 de之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由【答案】 （1）證明：連接bf （如下圖1）， abc dbe （已知），bc=be ，ac=de acb= deb=90 ， bcf= bef=90 bf=bf ，rtbfc rtbfe cf=ef 又 af+cf=ac ，af+ef=de （2）解：畫(huà)出正確圖形如圖2. （1）中的結(jié)論af+ef=de 仍然成立；精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用（3）證明：連接bf， abc dbe ，bc=be ， acb= deb =90， bcf和 bef是直角三角形，在 rtbcf和 rt bef中，,bcbebfbf bcf b

10、ef ，cf=ef ； abc dbe ，ac=de ，af=ac+fc=de+ef類型二、直角三角形2. 下列說(shuō)法正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)是（）兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 a.1 b.2 c.3 d.4 【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)全等三角形的判定方法及“hl ”定理，判斷即可；【答案】 c. 【解析】 a 、三個(gè)角相等，只能判定相似；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；b、斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，符合兩三角形的判定定理“aas ”；故本選項(xiàng)正確；c、兩條直角邊對(duì)應(yīng)相

11、等的兩個(gè)直角三角形，符合兩三角形的判定定理“sas ”；故精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用本選項(xiàng)正確；d、一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，首先根據(jù)“hl ”定理，可判斷兩個(gè)小直角三角形全等，可得另?xiàng)l直角邊相等，然后，根據(jù)“sas ”，可判斷兩個(gè)直角三角形全等；故本選項(xiàng)正確；所以，正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)是3 個(gè)故選 c【總結(jié)升華】 直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形有它的特殊性，作為“ hl ”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件3. （2016?南開(kāi)區(qū)一模）問(wèn)題背景：在 abc中， ab

12、 、bc 、 ac三邊的長(zhǎng)分別為、，求這個(gè)三角形的面積小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1） ，再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn) abc （即 abc三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖所示 這樣不需求abc的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積（1）請(qǐng)你將 abc的面積直接填寫(xiě)在橫線上；（2）若 abc三邊的長(zhǎng)分別為、2（m 0，n0，且mn） ，運(yùn)用構(gòu)圖法可求出這三角形的面積為【思路點(diǎn)撥】 （1）是直角邊長(zhǎng)為1，2 的直角三角形的斜邊；是直角邊長(zhǎng)為1， 3 的直角三角形的斜邊；是直角邊長(zhǎng)為2，3 的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積；（2）結(jié)合

13、（ 1）易得此三角形的三邊分別是直角邊長(zhǎng)為m ，4n 的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為 3m ，2n 的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為2m ，2n 的直角三角形的斜邊同樣把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積可得【答案與解析】解： （1）sabc=33122 313=；（2）構(gòu)造 abc如圖所示，精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用sabc=3m 4nm 4n3m 2n2m 2n=5mn 故答案為：（1）3； （2）5mn 【總結(jié)升華】 此題主要考查了勾股定理應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角

14、形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答類型三、線段垂直平分線4. 如圖，在銳角abc中， ad 、ce分別是 bc、ab邊上的高， ad 、ce相交于 f，bf的中點(diǎn)為 p，ac的中點(diǎn)為q，連接 pq 、de （1）求證：直線pq是線段 de的垂直平分線；（2）如果 abc是鈍角三角形，bac 90，那么上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)按鈍角三角形改寫(xiě)原題，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并給予必要的說(shuō)明【思路點(diǎn)撥】 （1）只需證明點(diǎn)p、q都在線段de的垂直平分線上即可即證p、q分別到 d、e的距離相等 故連接 pd 、pe 、qd 、qe ，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證；（2）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形；結(jié)合圖形，改

15、寫(xiě)原題【答案與解析】（1）證明：連接pd 、pe、qd 、qe ceab ，p是 bf的中點(diǎn)， bef是直角三角形，且pe是 rtbef斜邊的中線，pe=12bf又 ad bc ， bdf是直角三角形，且pd是 rtbdf斜邊的中線，pd=12bf=pe ，精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用點(diǎn) p在線段 de的垂直平分線上同理可證， qd 、qe分別是 rtadc和 rt aec斜邊上的中線，qd=12ac=qe ，點(diǎn) q也在線段de的垂直平分線上直線 pq垂直平分線段de （2）當(dāng) abc為鈍角三角形時(shí)，（1）中的結(jié)論仍成立如圖， abc是鈍角三角形，bac 90原題改寫(xiě)為：如圖

16、，在鈍角abc中， ad 、ce分別是 bc、ab邊上的高， da與 ce的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) f，bf的中點(diǎn)為p，ac的中點(diǎn)為q ，連接 pq 、de 求證：直線pq垂直且平分線段de 證明：連接pd ， pe ，qd ，qe ，則 pd 、pe分別是 rt bdf和 rtbef的中線，pd=12bf，pe=12bf，pd=pe ，點(diǎn) p在線段 de的垂直平分線上同理可證qd=qe ，點(diǎn) q在線段 de的垂直平分線上直線 pq垂直平分線段de 【總結(jié)升華】 考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)點(diǎn)，圖形較復(fù)雜，有一定綜合性，但難度不是很大舉一反三：【變式】在

17、abc中， ab=ac ，ab的垂直平分線交ab于 n，交 bc的延長(zhǎng)線于m ， a=40度（1）求 m的度數(shù)；（2）若將 a的度數(shù)改為80，其余條件不變，再求m的大?。唬?）你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？試證明；（4）將（ 1）中的 a改為鈍角，（3）中的規(guī)律仍成立嗎？若不成立，應(yīng)怎樣修改精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用【答案】（1） b=12（180 - a）=70m=20 （2）同理得 m=40 （3）規(guī)律是：m的大小為 a大小的一半，證明：設(shè) a=，則有 b=12（180 - ）m=90 -12（180 - ）=12. （4）不成立 . 此時(shí)上述規(guī)律為：等腰三角形一腰的垂直平分線與

18、底邊相交所成的銳角等于頂角的一半類型四、角平分線5. 如圖， abc中， a=60 ， acb的平分線cd和 abc的平分線be交于點(diǎn) g 求證： ge=gd 【思路點(diǎn)撥】 連接 ag ，過(guò)點(diǎn) g作 gm ab于 m ，gn ac于 n，gf bc于 f由角平分線的性質(zhì) 及 逆 定 理 可 得gn=gm=gf， ag 是 cab 的 平 分 線 ； 在 四 邊 形amgn中 ， 易 得 ngm=180 - 60=120；在bcg中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得cgb=120 ，即egd=120 ， egn= dgm ，證明 rtegn rtdgm （aas ）即可得證ge=gm【答案與解析】解：連接ag ，過(guò)點(diǎn) g作 gm ab于 m ，gn ac于 n，gf bc于