考研數(shù)學(xué)拓展班第2講：連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分2014319

1、4 連連 續(xù)續(xù)1連續(xù)的概念連續(xù)的概念(1) 若若 , 則稱則稱 f (x) 在在 x0 處處右連續(xù)右連續(xù) )()0(00 xfxf (2) 若若 , 則稱則稱 f (x) 在在 x0 處處左連續(xù)左連續(xù) )()0(00 xfxf 第二講第二講 連續(xù)，導(dǎo)數(shù)與微分連續(xù)，導(dǎo)數(shù)與微分00( )().f xxU x設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義0(1)lim ( )xxf x存存在在；若若)()(lim) 2(00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)0( ).f xx在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)2連續(xù)性的重要結(jié)論連續(xù)性的重要結(jié)論 f (x) 在在 x0 處連續(xù)處連續(xù) f (x) 在在 x0 處左連續(xù)且右

2、連續(xù)處左連續(xù)且右連續(xù)(2) 連續(xù)性的四則運(yùn)算法則連續(xù)性的四則運(yùn)算法則如果如果 f (x)、g(x) 在在 x0 處連續(xù)處連續(xù) ,則則)0)()()(,)()()()(0 xg xgxf xgxf , xgxf 在在 x0 處也連續(xù)處也連續(xù) (1) 連續(xù)的充要條件連續(xù)的充要條件0( )f xx若若在在處連續(xù)，處連續(xù)，反之不成立。反之不成立。20( ),( )fxf xx在在處處也也連連續(xù)續(xù)，(3) 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性:如果如果 u= (x) 在在 x0 處連續(xù)處連續(xù) , y = f (u) 在在 u0 ( u0= (x0)處連續(xù)處連續(xù) , 則則 y = f ( (x) 在在 x0

3、處連續(xù)處連續(xù) , 即連續(xù)函數(shù)的復(fù)即連續(xù)函數(shù)的復(fù)合在其定義區(qū)間上連續(xù)合在其定義區(qū)間上連續(xù). (4) 反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性:如果如果 y=f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 Ix 上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù) , 則其反函數(shù)則其反函數(shù)在其定義區(qū)間上也連續(xù)且有相同的單調(diào)性在其定義區(qū)間上也連續(xù)且有相同的單調(diào)性 .)(1yfx(5) 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性:一切初等函數(shù)在其定義一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間區(qū)間上連續(xù)上連續(xù).例例1設(shè)設(shè) , , , arccos)(211111xxxbxxaxf, 試確定試確定 a , b使使 f (x) 在在 x = -1 處連續(xù)處連續(xù)解解)(lim)(xffx 101

4、axax)arccos(lim1)(lim)(xffx 1010121 xxlimbf )( 1當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即時(shí)，即 時(shí)時(shí)0 ba 0 ba, f (x) 在在 處連續(xù)處連續(xù) 1 x例例2解解(1) (1) f (x)在在R R上處處不連續(xù)，但上處處不連續(xù)，但在在R R上處處連續(xù)上處處連續(xù)；(2) f (x)在在R上處處有定義，但僅在一點(diǎn)連續(xù)上處處有定義，但僅在一點(diǎn)連續(xù).試分別舉出試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)具有以下性質(zhì)的函數(shù) f(x) 的例子：的例子：xyoxyo11 1,1( )1xf xx 是是有有理理數(shù)數(shù)（ ），是是無無理理數(shù)數(shù),( )xxf xxx 是是有有理理數(shù)數(shù)（2 2），是是無無

5、理理數(shù)數(shù)( )f x3函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn): f(x) 的不連續(xù)點(diǎn)稱為的不連續(xù)點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn))()(00 xfxf與與 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)0 x振蕩振蕩同同時(shí)時(shí)存存在在.)(0上上下下方方來來回回?cái)[擺動(dòng)動(dòng)直直線線在在某某時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)Ayxfyxx )(lim0 xfxx)()(lim0 不不存存在在xfxx可去可去跳躍跳躍無窮無窮類類 第第一至少有一至少有一個(gè)個(gè)不存在不存在第第二二類類+-0000()= ()()()f xf xf xf x，但但不不等等于于或或無無意意義義+-00()()f xf x 例例3 討論函數(shù)討論函數(shù) 的的連續(xù)性連續(xù)性.xxexf 111)(解解為兩個(gè)間斷

6、點(diǎn)為兩個(gè)間斷點(diǎn).1x ，001xxx 及及使使的的因?yàn)橐驗(yàn)?f (x) 是初等函數(shù)，所以是初等函數(shù)，所以 f (x) 在除在除10 xx,的點(diǎn)處連續(xù)的點(diǎn)處連續(xù) )(lim)(xffx000可知可知 是第二類間斷點(diǎn)是第二類間斷點(diǎn)0 x1011 )(lim)(xffx0011 )(lim)(xffx可知可知 是跳躍間斷點(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn).1 x4閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)(1) 最值定理最值定理 設(shè)設(shè) f (x) 在在 a , b 上連續(xù)上連續(xù) , 則則 f (x) 必能取得其必能取得其在在 a , b 上的最大值和最小值上的最大值和最小值 (2) 介值定理介值定理 設(shè)設(shè) f(x)

7、在在 a , b 上連續(xù)上連續(xù) , 則對(duì)介于則對(duì)介于 f(a) , f(b) 之間的任一值之間的任一值 c , 可找到可找到 a , b 使使cf)(3) 零值定理零值定理 設(shè)設(shè) f(x) 在在 a , b 上連續(xù)上連續(xù) , 若若 f(a) f(b) 0 , 則必則必 存在一存在一 ( a , b ) 使使0)(f例例4 設(shè)設(shè) f (x) 是是 a , b 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) , , bxxxan 21證明證明: 存在存在 ( a , b ) , 使使 nxfxfxffn)()()()( 21 解解 由條件知由條件知 f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 x1 , xn上連續(xù)，據(jù)最值上連續(xù)，據(jù)最值定理定理,

8、 f (x) 在在x1, xn 上必能取得最小值上必能取得最小值 m , 最大值最大值M Mnxfxfxfmn )()()( 21據(jù)介值定理，存在據(jù)介值定理，存在 (x1, xn) (a , b) ,使使nxfxfxffn)()()()( 21 例例5設(shè)設(shè) f (x) 是是 0 , 1 上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù) , 且且f(0) = f(1) =0 , 求證求證 : 對(duì)任意的實(shí)數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù) r ( 0 r 1) ,必存必存在在 x0 0 , 1 , 使得使得 x0 +r 0 , 1 且且)()(00rxfxf解解)()()(rxfxfxF 對(duì)任意的實(shí)數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù) r ( 0 r 1

9、) ,設(shè)設(shè)則則 F (x) 在在0,1 r上連續(xù)，且上連續(xù)，且000 )()()()(rfrffF01111 )()()()(rffrfrF若若 f (r)=0 , 則則 x0= 0 ,若若 f (1 r)=0 , 則則 x0= 1 r 即可即可若若 ，則根據(jù)零值，則根據(jù)零值01100 )()( , )()(rfrFrfF定理，存在定理，存在 x0 (0,1 r) 使使0000 )()()(rxfxfxF5 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)1導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念(1) 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義:xxfxxfxfx)()(lim)( 0000若極限若極限00)()(lim0 xxxfxfxx存在存在 , 則稱則稱 f(x

10、) 在在 x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo) , 極限值稱為極限值稱為 f(x) 在在x0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) ,記為記為 ( 或或 ) )( 0 xf0),( 0 xxdxdy xy(2) 左、右導(dǎo)數(shù)的定義左、右導(dǎo)數(shù)的定義:左導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)：xxfxxfxfx)()(lim)(0000類似可定義右導(dǎo)數(shù)：類似可定義右導(dǎo)數(shù)：(3) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義)( 0 xf表示曲線在點(diǎn)表示曲線在點(diǎn) （x0 , f(x0) 處的切線斜率處的切線斜率(4) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)若極限若極限xxfxxfnnx)()(lim0) 1(0) 1(0存在存在 ，則稱，則稱 f(x) 在在 x0 處處 n 階可導(dǎo)階可導(dǎo) , 此極限值

11、稱為此極限值稱為f(x) 在在 x0 處的處的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) , 記為記為 ( 或或 ) )(0)(xfn0 xxnndxyd即即) 1(0)(0)()(xxnnxfxf(5) 微分微分若函數(shù)增量可表示為若函數(shù)增量可表示為)()()(00 xoxAxfxxfy其中其中 A 與與 無關(guān)無關(guān) , 則稱則稱 f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處可微處可微 ,xxA稱為稱為 f(x) 在在 x0 處的微分處的微分 , 記為記為 xAdy此時(shí)必有此時(shí)必有, dxx , xfA)( 0所以有所以有dxxfdy)( 0(1) 可導(dǎo)與可微的關(guān)系可導(dǎo)與可微的關(guān)系f (x) 在在 x 處可微處可微 f (x) 在在

12、x 處可導(dǎo)處可導(dǎo)2重要關(guān)系和結(jié)論重要關(guān)系和結(jié)論(2) 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若若 f(x) 在在 x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo) ，則在，則在x0處必連續(xù)，反之不然處必連續(xù)，反之不然(3) 可導(dǎo)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可導(dǎo)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系000()()()fxAfxfxA 3舉例舉例例例699-3 其中其中g(shù)(x) 是有界函數(shù)是有界函數(shù) , 則則f(x) 在在x=0處處21cos , 0( )( ) , 0 xxf xxx g xx 設(shè)設(shè)(A)極限不存在；極限不存在；（B）極限存在，但不連續(xù)；）極限存在，但不連續(xù)；（C）連續(xù)，但不可導(dǎo)；）連續(xù)，但不可導(dǎo)；（D）可導(dǎo)。）可導(dǎo)。 0012xxgxxxxx

13、f , )( , cos)(求求 f)0( 解解xfxffx )()(lim)(0000 xxgxx )()(lim2000 )(limxxgxxfxffx )()(lim)(00000112300 )(coslimcoslimxxxxxxx000 )()(ff00 )( f例例7 05-4解解3( )lim 1,( )(,)nnnf xxf x 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)則則在在內(nèi)內(nèi)（A）處處可導(dǎo)；）處處可導(dǎo)；（B）恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)；）恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)；（C）恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)；）恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)；（D）至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。）至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。31( )lim 11nnnxf xx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，1( )lim

14、 111nnxf x當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，33311( )lim1nnnxf xxxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，331( )= 1111xxf xxxx ，( )1f xx 在在時(shí)時(shí)，不不可可導(dǎo)導(dǎo)。C例例8求求 的導(dǎo)數(shù)，并說明的導(dǎo)數(shù)，并說明 f (x) 在在21 xxf arcsin)( 1, 1) 中是否處處可導(dǎo)？中是否處處可導(dǎo)？解解當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 011 xx),()()()( 2221111xxxf 21 xxx 對(duì)于對(duì)于 ，0 xxxxfxffxx21000200 arcsinlim)()(lim)(11120 xxxxlimxxxfxffxx21000200 arcsinlim)()(lim)(11120 xx

15、xx)(lim)()(00 ff由由 知知 f (x) 在在 x = 0 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)所以所以 01101122xxxxxf , , )( 例例9 設(shè)設(shè) f(x) 在在 x= 0 的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , 并且并且, xxfcos1)(則則 f(x) 在在 x = 0 處處(A) 極限不存在極限不存在(B) 極限存在但不連續(xù)極限存在但不連續(xù)(C) 連續(xù)但不可導(dǎo)連續(xù)但不可導(dǎo)(D) 可導(dǎo)可導(dǎo) 解解 由不等式知由不等式知 f (0) = 0，利用夾逼定理得利用夾逼定理得)()(lim000fxfx 所以所以 f (x) 在在 x = 0 處連續(xù)處連續(xù)( )(0)1 cos0,0f x

16、fxxxx 再由再由利用夾逼定理利用夾逼定理000 xfxfx)()(lim0000 xfxffx)()(lim)( 選選 ( D )例例10 07-40( )Alim0 =0 xf xfx（ ）若若存存在在，則則（ ） ；設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是（處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是（ ）0( )+ ()Blim0 =0 xf xfxfx （ ）若若存存在在，則則（ ） ；0( )Clim0 xf xfx （ ）若若存存在在，則則 （ ）存存在在；0( )()Dlim0 xf xfxfx （ ）若若存存在在，則則 （ ）存存在在. .D00( )A limlim( )0,0

17、 =0 xxf xf xfx（ ）存存在在則則（ ） ；0000( )+ ()Blimlim ( )+ ()0lim( )=lim()0 =0 xxxxf xfxf xfxxf xfxf （ ），則則（ ） ；000( )( )( )0Climlimlim0 xxxf xf xf xfxxxf （ ）（ ）存存在在，, ,則則 （ ）存存在在；00( )()( )(0)()(0)Dlim=lim.xxf xfxf xffxfxxxf xx （ ） 上上述述兩兩部部分分均均為為導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義，但但二二者者有有可可能能不不存存在在。反反例例（ ）= =例例11 01-3201Alim(1cos

18、)hfhh （ ）存存在在；設(shè)設(shè)f(0)=0, 則則f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=0可導(dǎo)的充要條件為（可導(dǎo)的充要條件為（ ）01Blim(1)hhfeh （ ）存存在在；B201lim(sin )hf hhh （C C）存存在在；01lim (2 )( )hfhf hh （D D）存存在在. .1=001( )lim(1)=limln(1)hexhhxf xxfehxx 201Alim(1cos )hfhh （ ）存存在在；反例反例201lim(sin )hf hhh （C C）存存在在；01lim (2 )( )hfhf hh （D D）存存在在. .( )f xx 22001cos11lim(1co

19、s )=lim=2hhhfhhh 223000sinsin1lim(sin )=lim=lim0hhhhhhhf hhhhhh10,( )00 xf xx 在在x=0處不可導(dǎo)，但上式極限存在。處不可導(dǎo)，但上式極限存在。例例12 2( )lim ()( )sin,xxF xtf xf xtt 設(shè)設(shè)f(x)可導(dǎo)，求可導(dǎo)，求F(x)。解解00()( )sinlim,0txxf xf xttxxxtt ，00( ) 1,0 xfxxx ，( )( ).F x x fx )(xF6 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法1求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則(1) 求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則 設(shè)設(shè) f(x) , g(x)

20、在在 x 處可導(dǎo)處可導(dǎo) , c 為常數(shù)為常數(shù), 則則 )( )( )()(xgxfxgxf)( )()()( )()(xgxfxgxfxgxf)()()( )()()( )()(02xg xgxgxfxgxfxgxf(2) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè)設(shè) y=f(u) 在在 u 處可導(dǎo)處可導(dǎo) , u = g(x) 在在 x 處可導(dǎo)處可導(dǎo) , 則則 f(g(x) 在在 x 處可導(dǎo)處可導(dǎo) , 且有且有)( )( )(xgxgfxgf(3) 反函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè)設(shè) y = f(x) 在在 x 處可導(dǎo)且處可導(dǎo)且 , 則存在反函數(shù)則存在反函數(shù) 0)( xfx= (y) , 且有且有d

21、xdydydx1即即)( )( xfy1例例13 設(shè)設(shè) , 求求 32 )(tan xydxdy例例14 eefy xfx)()( )( xy設(shè)設(shè) , f 為可導(dǎo)函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù) , 求求 解解2)( )()( )()()(xfxfxxxxfexfeefeefey)()( )()( xfxxxexfefeef解解xv , vu , uy xy 2233tan)(tandxdvdvdududydxdy 2322vusecxx22622sectan例例15 設(shè)設(shè) , 求求 xxysin)(tan dxdy解解)()ln(tansinxxey )ln(tan(sin)ln(tansinxxexx )t

22、ansecsintanln(cos)(tansinxxxxxxx2 )costanln(cos)(tansinxxxxx1 例例16 設(shè)設(shè) , 求求 )(0 aaaxyxaaaxadxdy解解)()()(xaaaxaaaxy )(ln)(lnxaaxaaaaaxaaxaxaa 1aaaaaxaaxaxaaxaaxaalnlnln 11aaaxaxaxaaxaaxaa2111lnln 例例17)(uf)(xyy 設(shè)設(shè) 由由 所確定，所確定， 可微，可微，yyxf )(22求求 dxdy解解將方程兩邊對(duì)將方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo))( 2222yxyxfy ) )( yyxyxf2222 解得解得)

23、( )( 2222212yxfyxxfy (4) 求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式1) 參數(shù)方程求導(dǎo)公式參數(shù)方程求導(dǎo)公式:1) x=x(t) 嚴(yán)格單調(diào)嚴(yán)格單調(diào) , 連續(xù)且有導(dǎo)數(shù)連續(xù)且有導(dǎo)數(shù), tx 0)( 2) y=y(t) 可導(dǎo)可導(dǎo) , 則有則有)( )( txtydtdxdtdydxdy設(shè)設(shè) , 滿足滿足)()(tyytxx2) 變限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式變限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式:設(shè)設(shè) f (t) 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù) , 1(x) , 2(x) 可導(dǎo)可導(dǎo) , 則則)()()()()()()(.xxfxxfdttf xx1122213) n 階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式:)()()(nnnvuvu)()(n

24、ncucu設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u(x) , v(x) n 階可導(dǎo)階可導(dǎo) , 則有則有 )()()(kknnknvuknuv0( 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 )例例18 求求022xdttx dxdcos解解)cos( )cos(22 0202xxdttxdxddttxdxd)cos(cos22 0202xxdttxdtt)()cos(cos222202xxxdttx 42022xxdttxcoscos2 例例19 設(shè)設(shè) f (x) 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù) , 且且 , f , f0000)( )(, dttftxxFx)()()(022當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) , 與與 是同階無窮小是同階無窮小 , 問問 k

25、 = ?)(xFkx解解kxxkxxdtftxxxF)()(lim)(lim 02200kxxxxdttftdttfx 02020)()(lim122002 kxxkxxfxxfxdttfx)()()(lim2002 kxxxdttfk)(lim3022 kxxkxfk)()(lim00000 xxfxfxffxx)(lim)()(lim)( 又由又由00 xxfxf, )( )( 300022 kxkxxxfkkxxF)( lim)()(lim所以所以0120240 kxxkkflim)()( 4 k例例20 求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) xey xcos)(123223xxxy )(解解 (1) xexeyxxsincos )cos(42 xex)sin()cos( 442 xexeyxx)cos()(4222 xex歸納法可得歸納法可得)cos()()(42 nxeyxnn(2) )(21673