關(guān)于小波分析理論的讀書(shū)報(bào)告

1、小波分析理論與方法一 傅里葉分析：法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉于1822年提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉分析的理論基礎(chǔ)。通常傅里葉分析是指積分傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)，傳統(tǒng)信號(hào)分析以經(jīng)典傅里葉變換為基礎(chǔ)。傅里葉分析通過(guò)將信號(hào)正交分解到一族三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)上,揭示信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系,從而可導(dǎo)出信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。1.1 連續(xù)傅里葉變換對(duì)于函數(shù)f(t)L1(R),其連續(xù)傅里葉變換為：其中,i是虛數(shù)單位，是頻率變量。F()的連續(xù)傅里葉逆變換為傅里葉變換存在的條件是f(x)在R上絕對(duì)可積，傅里葉變換把信號(hào)完全轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行

2、分析，不但為了某一點(diǎn)頻率的頻譜需要計(jì)算過(guò)去和未來(lái)所有時(shí)間的信號(hào)，而且丟失了時(shí)域的所有信息。 平穩(wěn)信號(hào)與非平穩(wěn)信號(hào)1，通俗講：因?yàn)槎叨际请S機(jī)信號(hào)，所以要采用統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)他們進(jìn)行最初的處理。通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)特征的對(duì)比，非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性（均值、方差等）隨著時(shí)間變化而變化，而平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化。  2，略帶理論講：平穩(wěn)信號(hào)是指分布參數(shù)或者分布律隨時(shí)間不發(fā)生變化的信號(hào)，也就是統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化而變化。 假設(shè)信號(hào)表示為X(n),則當(dāng)其滿(mǎn)足： 1. EX(n)= 2.E|X(n)|2< 3.r(n1,n2)=E

3、x(n)x(n+m)=r(m) 則稱(chēng)信號(hào)x(n)為寬平穩(wěn)（或者廣義平穩(wěn)）信號(hào)。 注意：上述三個(gè)公式分別表示： 1）平穩(wěn)信號(hào)的均值和時(shí)間無(wú)關(guān)，為常數(shù)； 2）自相關(guān)函數(shù)（方差）和時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只和兩點(diǎn)的時(shí)間差有關(guān)。 3）互協(xié)方差函數(shù)也和時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。 4）一階矩為常數(shù)，二階矩與信號(hào)時(shí)間的起始點(diǎn)無(wú)關(guān)，只和起始時(shí)間差有關(guān)。  3，非平穩(wěn)信號(hào)：不屬于平穩(wěn)信號(hào)范疇的就是了一個(gè)平穩(wěn)信號(hào)有如下形式另一個(gè)信號(hào)：在0到300ms之間為100Hz的正弦信號(hào)，在300到600ms之間為50Hz的信號(hào)，在600到800ms之間為25Hz

4、的信號(hào)，在800到1000ms之間為10Hz的信號(hào)，其原始信號(hào)和傅立葉變換如下圖比較兩幅圖可以看出，兩個(gè)信號(hào)的功率頻譜圖基本相同第三個(gè)信號(hào)是由半年周期信號(hào)，月周期信號(hào)，以及365-730的年周期信號(hào)組成。原信號(hào)圖如下，其功率譜如下：對(duì)圖進(jìn)行分析，傅里葉分析能夠識(shí)別出信號(hào)中存在月周期和半年周期的信號(hào)，但是月周期和半年周期信號(hào)的幅值和初始相位等時(shí)域信息無(wú)從得知。傅里葉譜是對(duì)整個(gè)時(shí)間軸的積分，為了獲取信號(hào)某一特定頻率分量信息，必須知道信號(hào)在整個(gè)事件過(guò)程中的變化信息，因此傅里葉變換代表信號(hào)的整體頻譜信息，不具備時(shí)頻分析局部化能力，這是傅里葉分析對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)分析的局限性。為了提取信號(hào)的局部特征,例如變形

5、信號(hào)在某一時(shí)刻的頻率、形變突發(fā)位置等1946年Gabor提出了短時(shí)傅里葉變換，即Gabor 變換，也稱(chēng)加窗傅里葉變換。Gabor變換的基本思想為：取時(shí)間函數(shù)作為窗口函數(shù)，用同待分析函數(shù)相乘，是時(shí)間延遲，然后再進(jìn)行傅里葉變換，即，其中為窗口函數(shù)g(t)的窗口傅里葉變換或Gabor變換。窗口函數(shù)g(t)起著時(shí)限作用，e-it起著頻限作用。該變化具有不變化寬度2g（由時(shí)間寬度決定）和不變的窗口面積4gg，這樣信號(hào)在窗函數(shù)上的展開(kāi)就可以表示為、這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱(chēng)為窗口，和分別稱(chēng)為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高，局部時(shí)頻分析效果越好。下圖是短時(shí)傅里葉變換的

6、圖解過(guò)程，在變換過(guò)程中，把整個(gè)時(shí)域過(guò)程分解成無(wú)數(shù)個(gè)等長(zhǎng)的小過(guò)程，每個(gè)小過(guò)程近似平穩(wěn)，再傅里葉變換，就知道在哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)上出現(xiàn)了什么頻率了。下面是短時(shí)傅里葉變換的例子：非平穩(wěn)信號(hào)：傅里葉頻譜圖：短時(shí)傅里葉：由上圖可發(fā)現(xiàn)，傅里葉轉(zhuǎn)換只提供了有哪些頻率成份的信息，卻沒(méi)有提供時(shí)間信息；而短時(shí)傅里葉轉(zhuǎn)換則清楚的提供這兩種信息。這種時(shí)頻分析的方法有利于頻率會(huì)隨著時(shí)間改變的信號(hào)，如音樂(lè)信號(hào)和語(yǔ)音信號(hào)等分析。短時(shí)傅里葉變換是在傅里葉分析基礎(chǔ)上引入時(shí)域信息的最初嘗試，其基本信息假定在于在一定的時(shí)間內(nèi)窗口信號(hào)是平穩(wěn)的，那么通過(guò)分割時(shí)間窗，在每個(gè)時(shí)間窗內(nèi)把信號(hào)展開(kāi)到頻域就可以局部的頻域信息，但是它的時(shí)域區(qū)分度只能依賴(lài)

7、于大小不變的時(shí)間窗，對(duì)某些瞬態(tài)信號(hào)來(lái)說(shuō)粒度太大。換言之。短時(shí)傅里葉分析只能在一個(gè)分辨率上進(jìn)行。所以對(duì)很多應(yīng)用來(lái)說(shuō)不夠精確，時(shí)頻局部化并不徹底，存在很大的缺陷。二 小波變換小波變換法由法國(guó)科學(xué)家MORLET于1980年在進(jìn)行地震數(shù)據(jù)分析時(shí)提出，可解決時(shí)頻局部化問(wèn)題小波分析是近20年來(lái)迅猛發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興的交叉性學(xué)科，已廣泛應(yīng)用于數(shù)值分析、信號(hào)處理、圖像處理、量子理論、地震勘探、語(yǔ)音識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、CT成像、機(jī)械故障等領(lǐng)域，小波理論被認(rèn)為是對(duì)傅里葉分析的重大突破。1. 連續(xù)型小波變換小波變換是一個(gè)平方可積分函數(shù)（此處解釋什么是平方可積函數(shù)）f(t)與一個(gè)在時(shí)頻域上均具有良好局部性質(zhì)的小波函數(shù)(

8、t)的內(nèi)積：Wfa,b=<f,a,b>=1a-+ft*(t-ba)dt式中，<* ,*>表示內(nèi)積（解釋什么是內(nèi)積），a>0 ,為尺度因子，b為位移因子，*表示復(fù)數(shù)共軛，a,b(t)稱(chēng)為小波a,bt=1at-ba(t)稱(chēng)為母小波，(t)必須滿(mǎn)足容許性條件：-+tdt=0或-+|2|d=C< 其中是(t)的傅里葉變換。連續(xù)小波變換尺度因子a決定了時(shí)域和頻域觀(guān)測(cè)窗大小，位移因子b決定了觀(guān)測(cè)窗的位置。尺度因子a越大，時(shí)窗越寬，頻窗越窄，且頻窗中心向低頻方向移動(dòng)；a越小，則時(shí)窗越窄，頻窗越寬，且頻窗中心向高頻方向移動(dòng)。小波函數(shù)的時(shí)間頻率窗小波函數(shù)a,b(t)的作用于短

9、時(shí)傅里葉變換中的函數(shù)g(t-)e-it相似，前者的位移因子b與后者的參數(shù)都起著平移作用。但在本質(zhì)上不同的是，短時(shí)傅里葉中的參數(shù)的變化不改變窗口g(t)的大小和形狀，在時(shí)頻平面上各處的分辨率均相同，而小波變換中的尺度因子a的變換不僅改變小波的頻譜結(jié)構(gòu)，而且改變其窗口的大小和形狀，尺度因子a大時(shí)，對(duì)應(yīng)于低頻端，頻率分辨率高。時(shí)間分辨率低；反之，尺度因子a小時(shí)對(duì)應(yīng)于高頻端，頻率分辨率低，時(shí)間分辨率高，這種特性被稱(chēng)為數(shù)學(xué)顯微鏡。小波函數(shù)中的尺度因子和平移因子決定了小波變換可以獲得函數(shù)或信號(hào)點(diǎn)處的精細(xì)結(jié)構(gòu)，也決定了小波變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)具有時(shí)頻局部化分析能力。下圖為部分小波母函數(shù)圖像。結(jié)合容許性條件和上圖

10、可以得出，(t)的時(shí)域波形具有衰減性和波動(dòng)性，其在原點(diǎn)附近波動(dòng)明顯，則其遠(yuǎn)離原點(diǎn)將迅速衰減為零，整個(gè)波動(dòng)趨于平靜，即其振幅具有正負(fù)相間的震蕩。小波分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)支撐長(zhǎng)度：即當(dāng)時(shí)間或頻率趨向于無(wú)窮大時(shí)，它們從一個(gè)有限值收斂到0，長(zhǎng)度越小，對(duì)奇異點(diǎn)的區(qū)分效果越好。 對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)性越好，越能保證信號(hào)不失真（不產(chǎn)生畸變），越能提高信號(hào)的重構(gòu)精度。 正則性：它在對(duì)信號(hào)或圖像的重構(gòu)獲得較好的平滑效果作用上是非常有用的。小波基數(shù)的選擇尚沒(méi)有固定的選擇標(biāo)準(zhǔn)，一般根據(jù)信號(hào)特征和實(shí)實(shí)際應(yīng)用效果而定，目前主要是通過(guò)比較不同小波基的分析結(jié)果與理論分析 結(jié)果的偏差大小來(lái)判定小波基的好壞，并由此選定小波基。下圖為一維連續(xù)小波

11、變換示意圖下圖是x(t)的小波時(shí)頻圖2 離散小波變換在實(shí)際應(yīng)用中，需要對(duì)尺度因子a和位移因子b進(jìn)行離散化處理，可以取：a=a0m,b=nb0a0m,其中，m,n為整數(shù)，a0為大于1的常數(shù)，b0為大于0的常數(shù)，a和b的選取與小波(t)的具體形式有關(guān)。離散小波函數(shù)表示為：m,nt=1a0mt-nb0a0ma0m=1a0m(a0-mt-nb0)相應(yīng)的離散小波按可以表示為：Wfm,n=<f,m,n>=-+f(t)·m,n*tdt當(dāng)a0=2，b0=1時(shí)，離散小波變換稱(chēng)為二進(jìn)離散小波變換，這樣便于分析，并且適合于在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行高效的運(yùn)算。2.1 一階濾波：近似與細(xì)節(jié)對(duì)于大多數(shù)信號(hào)來(lái)說(shuō)

12、，低頻部分往往是最重要的，往往給出了信號(hào)的特征。而高頻部分則與噪聲以及擾動(dòng)聯(lián)系在一起。將信號(hào)的高頻部分去掉，信號(hào)的基本特征仍然可以保留。正因?yàn)檫@個(gè)原因，我們?cè)诤竺嫘盘?hào)的分析中，經(jīng)常會(huì)提到對(duì)信號(hào)的近似于細(xì)節(jié)。近似主要是系統(tǒng)大的、低頻部分，而細(xì)節(jié)往往是信號(hào)局部、高頻成分。下面根據(jù)一階離散小波變換系數(shù)重建的信號(hào)：2.2 多尺度分解：對(duì)信號(hào)的高頻分量不再分解，而將信號(hào)的低頻部分繼續(xù)分解.實(shí)際中， 分解的級(jí)數(shù)取決于要分析的信號(hào)數(shù)據(jù)特征及用戶(hù)的具體需要，例如長(zhǎng)度為N的信號(hào)，最多能分成log2N層。在實(shí)際中，可以選擇合適的分解層數(shù)。下圖為三層多尺度分解樹(shù)結(jié)構(gòu)，原始信號(hào)S的多尺度分解為：S=cA3+Cd3+c

13、D2+Cd12.3 小波包分析：小波包不僅對(duì)低頻部分進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻部分也做了二次分解。小波包的主要優(yōu)點(diǎn)是小波包可以對(duì)信號(hào)的高頻部分做更加細(xì)致的刻畫(huà)，對(duì)信號(hào)的分析能力更強(qiáng)，當(dāng)然其代價(jià)是信號(hào)分析的計(jì)算量將顯著上升。三非線(xiàn)性大地測(cè)量信號(hào)小波包估計(jì)在大地測(cè)量系統(tǒng)中,由于受觀(guān)測(cè)條件、觀(guān)測(cè)儀器等諸多因素的影響,所獲取的觀(guān)測(cè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)中包含了信號(hào)和誤差(噪聲)兩部分,對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,有效地消除誤差,并估計(jì)特征值,分析其規(guī)律是大地測(cè)量數(shù)據(jù)分析研究的主要內(nèi)容之一。利用小波估計(jì)信號(hào)時(shí),由于僅對(duì)低頻部分進(jìn)行分解,高頻部分被舍棄。而大地測(cè)量信號(hào)大多是非線(xiàn)性的,其內(nèi)涵的信息比較復(fù)雜性,許多有用信息可能隱藏于高

14、頻部分,若按經(jīng)典二進(jìn)小波分解與重構(gòu),會(huì)造成高頻部分中的有用信號(hào)丟失,從而降低信號(hào)估計(jì)的精度。而小波包則對(duì)低頻和高頻部分同時(shí)進(jìn)行分解與重構(gòu),可以充分利用信號(hào)內(nèi)涵的信息。3.1小波去噪3.1.1 隨機(jī)噪聲小波包變換特征加噪信號(hào)數(shù)學(xué)模型為f(t)=s(t)+n(t)，s(t)是原信號(hào)，n(t)是隨機(jī)白噪聲，滿(mǎn)足En(t)=0和Dn(t)=2。設(shè)(t)為小波函數(shù)，n(t)的小波包變換為Wn(j,t)=n(t)·j(t)=Rntjt-udun(t)的小波包系數(shù)的期望和方差分別為E(|Wn(j,t)|2)=0D(|Wn(j,t)|2)=|t|2j由上式可以看出，經(jīng)小波包變換后，白噪聲的小波包系數(shù)

15、的均值仍為零，但方差為t2j，且其隨著尺度j的增加，系數(shù)幅值逐漸減小。3.1.2 信號(hào)小波包去噪的原理和步驟原信號(hào)和隨機(jī)噪聲在小波包變換中具有不同的表現(xiàn)性態(tài),即它們的小波包系數(shù)幅值隨尺度變化的趨勢(shì)不同,尺度j增加,噪聲系數(shù)的幅值快速衰減,而原信號(hào)的系數(shù)幅值基本保持不變。根據(jù)這一特征,可將信號(hào)先進(jìn)行小波包分解,再設(shè)計(jì)一門(mén)限,將低于該門(mén)限的小波包系數(shù)置為零,然后將處理后的小波包系數(shù)重構(gòu)回原始信號(hào),從而使信號(hào)中的隨機(jī)噪聲得到有效抑制，達(dá)到信號(hào)小波包估計(jì)的目的。步驟如下：(l)選擇小波基并確定最佳分解的層次,對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包分解;(2)對(duì)步驟(1)獲得的小波包樹(shù),選擇一定的嫡標(biāo)準(zhǔn),計(jì)算最優(yōu)樹(shù);(3)估

16、計(jì)閥值,并應(yīng)用該閥值對(duì)最優(yōu)樹(shù)的小波包系數(shù)進(jìn)行閥值量化;(4)將經(jīng)量化處理的小波包系數(shù),重構(gòu)回原始信號(hào)。小波包閥值消噪有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1、如何估計(jì)閥值；2 如何利用閥值量化小波包系數(shù)。選擇小波基的標(biāo)準(zhǔn)有：正交性，消失矩，正則行，緊支性和對(duì)稱(chēng)性。常用的小波函數(shù)主要有：haar小波，daubechies小波,symlets小波,meyer小波,morlet小波,和墨西哥草帽小波。這些經(jīng)典的小波在對(duì)稱(chēng)性，緊支性，消失矩，正則行等方面均具有不同的特點(diǎn)。小波基的選擇，尚沒(méi)有固定的選擇標(biāo)準(zhǔn)，一般根據(jù)信號(hào)特征和實(shí)際應(yīng)用效果而定。目前主要是通過(guò)比較不同的小波基的分析結(jié)果與理論分析結(jié)果的偏差的大小來(lái)判定小波基的好壞

17、，并由此選定小波基。最佳分解層次J的確定分解層次越大，被濾掉的噪聲越多，同時(shí)信號(hào)的失真也越大，所以必須選擇一個(gè)最佳的分解層次J，在保證信號(hào)不失真的前提下，最大程度地濾掉噪聲。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，J一般取3-5即可。最優(yōu)小波包樹(shù)的確定熵：用來(lái)確定最優(yōu)樹(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，熵值越小，對(duì)應(yīng)的小波包基越好。1）：香農(nóng)熵：約定0log(0)=0，則香農(nóng)熵定義為：Es=-si2log(si2)2）P范數(shù)熵：若P1，在lp范數(shù)意義上定義E(s)=siP,則E(s)=isiP=|s|PP3)對(duì)數(shù)能量熵：E(si)=log(si2)， 0log(0)=0,則有E(s)=ilog(si2) 4）閥值熵 E(s)=1 si>1 s

18、i式中，是閥值，且>0.5)sure (stein unbiased risk estimate)熵Esi2=-n+A2+P2+B式中，n為待求熵值序列的長(zhǎng)度；P為閥值，且P>0;A為序列si2中大于P2的元素的數(shù)量；B為序列si2中不大于P2的元素之和。閥值選擇準(zhǔn)則閥值太小，去噪后的信號(hào)仍然有噪聲存在；相反，閥值太大，重要的信號(hào)特征又將被濾掉，引起偏差。從直觀(guān)上看，對(duì)于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閥值就越大。幾種經(jīng)典的閥值估計(jì)準(zhǔn)則如下：1） 通用閥值T1(sqtwolog準(zhǔn)則)T1=2log(n) 是附加噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差，在假設(shè)噪聲為高斯白噪聲的情況下取其為1，或者用原信號(hào)的小波分

19、解的各層系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量。n是含噪信號(hào)f(t)在尺度1-m（m>J）上通過(guò)分解得到小波系數(shù)的個(gè)數(shù)總和，J為二進(jìn)制尺度參數(shù)。2） stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閥值T2（Rigrsure準(zhǔn)則）設(shè)W為一向量，其元素為小波系數(shù)的平方，并按由小到大的順序排列，W=w1,w2,wn，且w1w2wn，再設(shè)一向量R，其元素為：ri= n-2i-(n-i)w+k=1iwk/n (i=1,2,.,n)以R元素中的最小值rb為風(fēng)險(xiǎn)值，由rb的下標(biāo)變量b求出對(duì)應(yīng)的wb，則閥值T2為： T2=wb3） 啟發(fā)式的stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閥值T3（Heursure）準(zhǔn)則啟發(fā)式的stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閥值是前兩種閥值的綜合，是一種良好的

20、預(yù)測(cè)變量閥值選擇方法。當(dāng)滿(mǎn)足某一條件時(shí)，選取閥值用通用閥值準(zhǔn)則，否則，取無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)準(zhǔn)則與通用閥值準(zhǔn)則的較小者作為本準(zhǔn)則的閥值。設(shè)為n個(gè)小波系數(shù)的平方和，令=-nn，=(log2n)32n，則T3=T1 minT1,T2 >4) 最大最小準(zhǔn)則閥值T4（Minimax準(zhǔn)則）該準(zhǔn)則采用的也是一種固定閥值，它產(chǎn)生一個(gè)最小均方誤差的極值。具體的閥值選取規(guī)則為： T4=0.3936+0.1829log2n n>32 0 n 32 閥值量化函數(shù)的選取閥值量化是應(yīng)用所估計(jì)的閥值T，對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行的處理。目前，閥值量化函數(shù)主要采用兩種方法。一種是硬閥值法，當(dāng)小波系數(shù)大于該閥值時(shí)，保留原值，否則置零

21、，其公式為：yi=yiyi>T0 yiT另一種是軟閥值法，當(dāng)小波包系數(shù)大于該閥值時(shí)，向著減小系數(shù)幅值的方向作一個(gè)收縮，否則置零，其公式為：yi=sgnyiyi-yi>T0 yiT式中，sgn（）為符號(hào)函數(shù)。硬閥值法和軟閥值法本質(zhì)區(qū)別在于選取的閥值量化函數(shù)不同，體現(xiàn)了對(duì)小波包系數(shù)的不同處理策略。他們基本的思想都是去除小的系數(shù)，對(duì)大的系數(shù)進(jìn)行收縮或保留。硬閥值法往往使濾波結(jié)果具有較大的方差，而軟閥值法使得濾波結(jié)果有較大的偏差，主要因?yàn)槠鋵?duì)所有大于閥值的系數(shù)共同作了收縮。軟閥值法和硬閥值法在應(yīng)用時(shí)要根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行選擇。小波包分析去噪實(shí)例各種閥值估計(jì)準(zhǔn)則的SNR和RMSE閥值準(zhǔn)則heur

22、suresqtwologrigrsuremininmaxSNR11.006228.714311.006221.9542rmse1.79760.74161.79761.0398閥值量化函數(shù)硬閥值法軟閥值法SNR13.939128.7143RMSE1.55240.7416均方根誤差公式：RMSE=1Ni=0N(sdi-si)2信噪比公式：SNR=-10logi=1N(si-sdi)2i=1Ns2(i)s和sd分別為原始信號(hào)和消噪后的信號(hào)最優(yōu)小波包樹(shù)系統(tǒng)性干擾信號(hào)小波包估計(jì)小波包閥值估計(jì)抑制了信號(hào)中隨機(jī)噪聲，但是觀(guān)測(cè)序列中有時(shí)可能存在一定的系統(tǒng)性的干擾，系統(tǒng)性干擾或作用于整個(gè)觀(guān)測(cè)期間，或作用于某一時(shí)

23、段，作用的頻率也可能發(fā)生變化。本文借助小波包變換將信號(hào)投影到不同頻帶，來(lái)探測(cè)，抑制系統(tǒng)性干擾。下圖為小波包分解的第4層上各頻帶的信號(hào)，從圖中可以看出，L1頻帶顯示了信號(hào)的形狀，L2，L3，L4，L7頻帶存在系統(tǒng)性干擾信號(hào)，且干擾信號(hào)的頻率與所疊加的干擾信號(hào)一致，幅值比疊加的干擾信號(hào)小，這是因?yàn)樾〔òy值信號(hào)估計(jì)損失了一定的系統(tǒng)性干擾信號(hào)，這說(shuō)明小波包變換能夠準(zhǔn)確地時(shí)序數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)性干擾，也能夠較準(zhǔn)確地反映干擾的特征。將所提取的系統(tǒng)性干擾信號(hào)消除，以達(dá)到消除或減弱信號(hào)系統(tǒng)干擾的目的。下圖為消除隨機(jī)噪聲和系統(tǒng)干擾后的信號(hào)：閥值量化函數(shù)噪聲消除和系統(tǒng)干擾處理小波包閥值消噪SNR43.413528.7143RMSE0.35560.7416隨機(jī)噪聲消噪和系統(tǒng)性干擾預(yù)處理后的仿真數(shù)據(jù)的信噪比和均方根誤差分別為43.4135和0.3556，而只進(jìn)行小波包閥值消噪的仿真數(shù)據(jù)的信噪比為28.7143，均方根誤差為0.7416。在原始數(shù)據(jù)中用突變點(diǎn)前后的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值或擬合計(jì)算突變點(diǎn)的數(shù)據(jù)，即可