泰勒公式及其在極限運(yùn)算中的運(yùn)用

1、摘要11引言32泰勒公式42. 1斤次泰勒多項(xiàng)式42. 2泰勒公式52.3泰勒公式的種類52. 31含有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式52. 32含有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式62. 33特殊的泰勒公式63利用泰勒公式求極限及其應(yīng)用73.1 一些常見的麥克勞林公式73.2 一些實(shí)例分析84結(jié)論16參考文獻(xiàn)17在初等函數(shù)中，多項(xiàng)式是最簡單的函數(shù)，因?yàn)槎囗?xiàng)式函數(shù)的運(yùn)算只有加、減、乘三種 運(yùn)算.如果能將有理分式函數(shù)，特別是無理函數(shù)和初等超越函數(shù)用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替， 而又滿足要求，顯然，這對(duì)函數(shù)性態(tài)的研究和函數(shù)值的近似計(jì)算都有重要意義.而泰勒公 式就起了很好的橋梁作用，本文將系統(tǒng)地闡述對(duì)一個(gè)函數(shù)具有什么條件才能用

2、此多項(xiàng)式近 似代替；這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)與這個(gè)函數(shù)有什么樣的關(guān)系；用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替 這個(gè)函數(shù)的誤差又怎樣；重點(diǎn)是怎樣利用泰勒公式計(jì)算極限以及其在極限計(jì)算中的應(yīng)用， 對(duì)比分析出泰勒公式的優(yōu)越性.關(guān)鍵詞：泰勒公式；近似代替；極限運(yùn)算abstractpolynomial in elementary function is the most simple function, because the polynomial function is used only three kinds of add, subtract, multiply computing. if can the ratio

3、nal fractional function, especially the irrational function and elementary transcendental function approximation using polynomial function, and meet the requirements, obviously, the study of functional state and function value approximate calculation has important significance. and there was a very

4、good role of bridge and taylor formula, this article will systematically expounded is what condition for a function to substitute the polynomial approximation; the polynomial function coefficient and the function of what kind of relationship; using polynomial function approximation instead of what t

5、he function of the error; focuses on how to use taylor formula calculation, the application limit and the limit analysis of the superiority of the taylor formula.key words： taylor formula;and approximate replace;limit operation1引言在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是在級(jí)數(shù)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它是用函數(shù)在某點(diǎn)的 信息描述其附近取值的公式在近似計(jì)算、極限計(jì)算、函數(shù)凹凸性判斷、斂散 性的判斷

6、、等式與不等式的證明、中值問題以及行列式的計(jì)算等方面有重要 的應(yīng)用泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，不僅在理論上占有重要 的地位通過泰勒公式和極限運(yùn)算的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握初等函數(shù)在某一點(diǎn)的泰勒 展式，對(duì)于一些高階的極限運(yùn)算，直接求極限不好求，利用泰勒公式能很快 地求出所以對(duì)泰勒公式的進(jìn)一步研究是非常重要的.泰勒公式的證明與應(yīng)用方面的研究對(duì)于科研者來說一直具有強(qiáng)大的吸引 力，許多研究者已在此領(lǐng)域獲得許多研究成果例如，劉玉璉、傅沛仁、林 jt等人重點(diǎn)談了無理函數(shù)和初等函數(shù)用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替，而這時(shí)誤差又 能滿足要求，也即是把函數(shù)寫成次泰勒多項(xiàng)式張筑生體統(tǒng)地談了用次多 項(xiàng)式來研究可導(dǎo)料次的函數(shù)，

7、也就是帶小。余項(xiàng)的泰勒公式是無窮小增量公式 的推廣.沈燮昌、邵品琮等人主要是從逼近角度對(duì)它進(jìn)行介紹，并說明泰勒 公式的一些應(yīng)用其中用泰勒公式來求極限就是一個(gè)應(yīng)用.對(duì)于一些高階的極限運(yùn)算，要求得其極限是非常困難的對(duì)泰勒公式的研 究就是為了解決上述問題的.通過對(duì)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，我感覺到泰勒公式是高 等數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容，在各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如在函數(shù)值估測及 近似運(yùn)算，用多項(xiàng)式逼近函數(shù)，求函數(shù)的極限和定積分不等式、等式的證明, 求函數(shù)在某點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)值等方面除此之外，泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用， 往往能峰回路轉(zhuǎn)，使問題變得簡單易解下面主要針對(duì)泰勒公式在極限中的應(yīng) 用，在一些題目當(dāng)中，為解題帶來

8、了很多的便捷，這同時(shí)也為求極限提供了 一種很好的方法.2泰勒公式泰勒公式是微積分學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它用次多項(xiàng)式來研究可導(dǎo)“次 函數(shù)，這種帶。余項(xiàng)的泰勒公式是無窮小增量公式的推廣因此，泰勒公式是 求極限的重要方法對(duì)泰勒公式及其種類的認(rèn)識(shí)是很有必要的.2. 1 n次泰勒多項(xiàng)式工首先來討論斤次多項(xiàng)式函數(shù)aa= a()+ %無 + a2xr + a3x df ahxn總能將它按著xtd的幕表示為（或者展開為）:p(x) =b() + (x-6z)+ b2(x of h仇(x_a)"其中bk = , k = 0,1,n.p° (a) = p(a) knp(x) = p(a) + (

9、x a) + (x一a)2 + o 丫)(兀_可"由此可見，將次多項(xiàng)式函數(shù)（兀）按著xa的幕展開，它每項(xiàng)的系數(shù)久由多項(xiàng)式函數(shù)（兀）唯一確定，即b嚴(yán)中.k若任意一個(gè)函數(shù).f（x）（不一定是多項(xiàng)式函數(shù)），只要函數(shù)/（x）在a存在階導(dǎo)數(shù)，總能形式地寫出一個(gè)相應(yīng)的斤次多項(xiàng)式tn (x) = / + 牛(兀d) + 號(hào)2(x - d)2+皿(7nl稱為函數(shù)/（兀）在d的斤次泰勒公式.將函數(shù)/（x）與它的次泰勒多項(xiàng)式7；的差，表示為r“ （兀）=/（兀）一 tn （x） f（x） = rn （x） + tn （x）心稱為函數(shù)/（兀）在。的次泰勒余項(xiàng)，簡稱泰勒余項(xiàng)這就是滿足以上的關(guān) 系的函數(shù)就可以

10、用泰勒公式近似代替，也就是說存在階導(dǎo)數(shù)這個(gè)多項(xiàng)式的 各項(xiàng)系數(shù)與這個(gè)函數(shù)的關(guān)系就是用這個(gè)來表b嚴(yán)勢.k.2.2泰勒公式若函數(shù)/o）在g存在斤階導(dǎo)數(shù)，則vxg u（a）,有 /（x） = 7；+o（x 洲其中，ttl(x) = f(a)-hk3 =。（切%70）,即r,©）是比的高階無窮小，即式稱為函數(shù)/（兀）在q （展開）的泰勒公式.2. 3泰勒公式的種類根據(jù)余項(xiàng)的不同，可以對(duì)泰勒公式進(jìn)行分類，最基本的就是三類：含有 佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式；含有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式；特殊的泰勒公式（麥 克勞林公式）.2. 31含有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式若函數(shù).f（x）在a存在并階導(dǎo)數(shù)，則vxe 1/（a

11、），有fm = tn +。（兀-刑其中,17；(x)= /(d) + (x_g)+(x_g)2 +. + (x_g)"心力妝-切70）,這個(gè)余項(xiàng)就稱為佩亞諾余項(xiàng)，在佩亞諾余項(xiàng)。（兀-洲只 是給出余項(xiàng)（或誤差）的定性描述，它不能估算余項(xiàng)（或誤差）心（兀）的數(shù)值.因此還要進(jìn)一步給出余項(xiàng)心的定量公式，這有助于對(duì)一些問題進(jìn)行誤差估 計(jì)，看是否在誤差以內(nèi)，是否符合標(biāo)準(zhǔn).2. 32含有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式經(jīng)過實(shí)際情況的需求，以及多方面的探討，要進(jìn)一步給出余項(xiàng)心（兀）的定 量公式，需要滿足一些條件.若函數(shù)/在（兀）存在s + 1）階導(dǎo)數(shù)，vxu（a）的領(lǐng)域,函數(shù)gco在以 a與兀為端點(diǎn)的閉區(qū)間/

12、連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)，且g（/）ho,則a與兀之間至少 存在一點(diǎn)c,使得/（x）= /（6z）+ （x-6z）+ （x-6z）2 +1!2!n!（x- c）"g（x）- g（g）h! g （c）其中，rfl （x） =（x - d" g（x）- git. g （c）也即是用多項(xiàng)式近似代替函數(shù)的誤差值算法，稱作拉格朗日余項(xiàng).2. 33特殊的泰勒公式泰勒公式，特別是在° = 0時(shí)，（函數(shù)/（兀）在0存在階導(dǎo)數(shù)），上述的（1） 式就可以改寫成：畑 "0） +如+型宀如川1!2!n這就稱為麥克勞林公式由于其是在一個(gè)特殊點(diǎn)，也即是0 = 0時(shí)，所以其 具有很大的特

13、殊性，在極限的運(yùn)算中有很大的作用，考慮特殊點(diǎn)，總是比一 般情況要容易很多，研究也會(huì)很方便.3利用泰勒公式求極限及其應(yīng)用要求出一個(gè)數(shù)列、函數(shù)等的極限，可以用的方法是很多的，用數(shù)列極限 的定義和運(yùn)算法則求極限、對(duì)數(shù)列通項(xiàng)求和變形后求極限、利用重要極限求 函數(shù)極限、利用定積分求函數(shù)極限、利用夾逼法則求函數(shù)極限、利用洛必達(dá) 法則求函數(shù)的極限、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求函數(shù)的極限、利用泰勒公式 求函數(shù)極限等，但是針對(duì)不同的情況，我們要作出有效的判斷，并選擇比較 適合的一種方法進(jìn)行解題特別是對(duì)于待定型的極限問題，一般可以采用洛比 達(dá)法則來求，但是，對(duì)于一些求導(dǎo)比較繁瑣，特別是要多次使用洛比達(dá)法則 的情況，泰

14、勒公式往往是比洛比達(dá)法則更為有效的求極限工具利用泰勒公式 求極限，一般用麥克勞林公式形式，并釆用佩亞諾型余項(xiàng).當(dāng)極限式為分式時(shí), 一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式，通過比較求出極限.3.1 一些常見的麥克勞林公式1在利用泰勒公式進(jìn)行解答的時(shí)候，通常是比較特殊的，也即是像麥克勞 林公式一樣，這就需要熟練的掌握一些公式，這可以有效的促進(jìn)我們的解題 靈感.x2?！?1>v = l + x + + + +2!nlr32”-1(2) sinx = x+ + (-1)/? io(x2,l),x >03!(2n-l)!r22“(3) cosx = x + (- l)wo(x2n+l),x

15、 > 02!(2«)!/xn(4) ln(l + x) = x+ + (-l)z/ 1o(xn).x 02n(=、( n 1/?(/? l) ?1)(/? 2) (/? z: 1) n h(5) (1 + x)= 1 + /1¥ + jt + + x +o(x )，xto2!nl這些都是一些很常見的公式，這對(duì)于我們解題是有很大幫助，其有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，特別是對(duì)泰勒公式思想的培養(yǎng).3.2 一些實(shí)例分析例i求宀蘭 解：分析此題，滿足用洛比達(dá)法則的條件，就先用洛比達(dá)法則來做.cosx-e 2limd%4-sinx x e 2=limxto4x3cosx +幺 2 -xe

16、2 =lim12?vsin x- xe 2< 工2xe 2 - x3e 2.r->0lim2424xxxxxx. cosx-e 2+ x2e 2-2e 2+ 2x2e 2+3xw 2- x4e 2=lima->()12此題分母為如果用洛比達(dá)法則，需連用4次，從上面的計(jì)算過程可以清楚的看出，這種方法比較麻煩，這樣就很大程度的加大了我們的工作量,特別是在求導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，很容易出錯(cuò)，越往下，計(jì)算量就不斷增大，那有沒有一種比這種方法更加優(yōu)化的方法呢？用泰勒公式來解答是一個(gè)很好方法, 而無to,這明顯的可以用泰勒公式的特殊形式，也即是麥克勞林來進(jìn)行求解."2又因?yàn)榉帜傅拇螖?shù)為4

17、,所以只要把cosx ,展開到x的4次無即可.解：由上述的(3)與(1)，分別有941 廠 乂/ 5、cosx = 1+ + o(x )224-ve 2 = 1-2帶入極限之中，有x'cosx-e 2lim:心0x4=lim 丄x->0 x=lim 一a->012例2求極限lim 1x->02 + 小2解：分析此極限，它是由很多個(gè)和的形式組成，那么可以用極限的運(yùn)算法則來解決這個(gè)問題，只是初步的估計(jì)，不妨來試一試.lim 1 +xto11(2 + 兀)r injt x 2-x)=lim 1 + lim 丄-lim 丄 lim in _ 十“ xto x->()兀。

18、 xt()x->02 x=1 + lim-7- - limr- - limin + ax->()兀 a->0xt() 2 x做到這里，就無法進(jìn)行下去了，這樣的極限可見這樣做是不行的這時(shí),我們要嘗試用其他的辦法去解決.先作如下的變換.2 + xin2-x1 +-in = in1-蘭2(x、-inz、 x1 + -1l 2丿< 2丿由展開公式，有(2 + xin2 x2 1+ -312、3x3<3>=x + x3 + o(x4)12 ' 7t 11 . 2 + x1 +-rlnxx3 2-x= 1+"713x +x12丿x3limf 1+ 11

19、 .2 + 兀lim 1xto1 112例3求血八譏-如+兀）xtox3解：很顯然，這也是滿足洛比達(dá)法則的，首先，就用洛比達(dá)法則來解這一個(gè)極限問題.ex sin x - x(l + x) lima->()e smx + e cosx-2x-l limzxt()6xe sinx + e cosjc + e cosx- sin x - 2 limxtoyx xx -e cosx-e sin x + e cosx-e sinx =limx->0用洛比達(dá)法則也能很準(zhǔn)確的算出此極限，但是過程過于復(fù)雜，而在數(shù)學(xué)解決問題的過程當(dāng)中，我們希望能夠快速、準(zhǔn)確的得到答案，體會(huì)它的數(shù)學(xué)思想。于是，認(rèn)為這

20、種方法在這里很復(fù)雜，那肯定還有其他的方法觀察題目,有很多的函數(shù)是有麥克勞林展式，也即是泰勒展式用泰勒展式做如下：limex sin x - x(l + x)無3xo3!7?(x4) - x(l + x)1 + x + 4- o(x3 r l 2! ' lim-a->0_丄 3對(duì)比兩種方法，這樣的題目還是很適合用泰勒公式來做，這不僅提高了解決此類題目的速度，同時(shí)也準(zhǔn)確率也提高了很多.例 4 求 lim - tanx解：分析上述極限，解決如下:1 ( ) limtanx e兀i %11<1x3xx345丄 + o(x2=limvto=limi)l3 ' i+ o(x4)

21、 3綜上所述，可見泰勒公式對(duì)于極限求解還是有很大的作用.由此可見，對(duì)于一些比較特定的極限，泰勒公式是一個(gè)非常有力的工具,運(yùn)用得當(dāng)會(huì)使得求函數(shù)的極限，非常的方便快捷.未定式是指呈9,竺等形式的極限，一般是用洛比達(dá)法則求解，當(dāng)分子分0 00母的階數(shù)都是較高階的無窮小的話，必須進(jìn)行多次洛比達(dá)法則，或是分子分母都是帶根號(hào)項(xiàng)的話，越微分會(huì)越復(fù)雜，此時(shí)若使用泰勒公式解決，會(huì)更簡單，明了.例5求下面極限lim"叫3 /to rx-arcsinx解：根據(jù)題意，分析可以得到：lim兀一>0sin x-arctgxzgx-arcsinx=lima*0x -專 + o(x") + -專 +

22、 °x)x + 專 + o(x") - x + 命 + o(x"+ ox4limxt()+ ox41例 6 求極限lim x-x2n 1 + xt()lv x解：limx-x2 in.r>0o<兀丿lim1(1 m+ ox->oo22此題就是泰勒公式中一個(gè)很重要的運(yùn)用，充分地體現(xiàn)了其特點(diǎn)，如果我 們用其他的方法，來比較一下，是不是能那么簡便地算出極限.若直接用洛必達(dá)法則:此時(shí)，我們不妨把丄設(shè)為兀，進(jìn)行替換之后代入得到 兀l-ln(l + r)= limz->0t巳伸n(l + » 一牯limfto-ln(l + r)-1r+7做到

23、目前為止，還是可以看出，要想用洛必達(dá)法則求出這種題目的極限,是很麻煩的，不是我們想象的那么簡單，似乎難度加大了很多.例7求極限limvm+vr-2分析：此式分子含有根號(hào)項(xiàng)，用洛比達(dá)法則也可以求解，不過比較 繁瑣若使用泰勒公式可以將問題大大簡化.解：將vm、vr刁在x=o點(diǎn)的麥克勞林公式展開到*項(xiàng)得："=1+寸-送-專+ ox3)- jl + x + j1 x - 2 limxt0x=lim(±zzi)±ezzato=lim112 ( 3、112 ,( 3、x + ox 1+l2 8' l 28'丿x212 12xx8 8+ o(x3)=lim大一o

24、2用泰勒公式方法計(jì)算極限的實(shí)質(zhì)是一種利用等價(jià)無窮小的替代來計(jì)算極限的方法。我們知道當(dāng)兀to時(shí)，sinxx, tanx兀等.這種等價(jià)無窮小其實(shí)就是 將函數(shù)用泰勒公式展至一次項(xiàng)有些問題用泰勒公式方法和我們已熟知的等 價(jià)無窮小方法相結(jié)合，問題又能進(jìn)一步簡化.例8求極限limxto1(sin x)2解:lim1(sinx)2“ x1 - (sin xt=limzxto x (sinxt又(sin打=i"竺，將cos2兀用泰勒公式展開:limxtocos2x =116x4"7tx2 - (sin 兀)2x2(sinx)2八)xto 亍假如細(xì)心思考，這一題目的結(jié)果可以引起我們的興趣.當(dāng)

25、兀to時(shí),sinx兀，易知vn g n , (sin x)2f ,兩個(gè)互為等價(jià)無窮小的函數(shù)，它們倒數(shù)之差 的極限為牛為什么是存到底是什么因素造吩這-結(jié)果？假如是，情況會(huì)怎么樣?對(duì)其進(jìn)行討論有，當(dāng)x-q, nen+ ,時(shí)，有:(1)當(dāng) n 3時(shí)，7-厶是關(guān)于x的(斤-2)階無窮大; (sin x) x當(dāng) =2時(shí),111(sin x)2x23，當(dāng)” =1時(shí)，11是關(guān)于兀的一階無窮小;sin x x證明：（2）在上題已經(jīng)證明了，（4）是顯然成立的，這里只證明（1）、（3）.先證明（3）：當(dāng)m = 1時(shí),limx->0<_1_<sin x x)1 x - sin xx - sin x

26、=lim= limx 心° sin x >o x'在這里,利用洛必達(dá)法則可以解出這個(gè)極限，但用泰勒公式則更便捷.因?yàn)槲覀冎?sinx_m +尤-+ (-1尸丄匕+。(亡3!5!(2k 1)!'limx->0(11y1<sin x x) x在證明（1）：當(dāng)n>3時(shí)，有l(wèi)imxto1 1(sin x)n xn命題得證.= 1.mr-(sinxr 人一>0 x"(sinx)hlim討=limx->0x - sin x + x/l2 sin x + + (sin-x-sin 兀limd x31= xn6_ nlim 1 +x-&

27、gt;0sin 兀(sinx),_l11:xx,_1從以上定理可以看到，當(dāng)xto時(shí)，互為等價(jià)無窮小的函數(shù)的倒數(shù)之差（或更一般的說法，這些函數(shù)的乘方之差）的趨向情況，無窮大或無窮小的階數(shù) 以及相關(guān)的極限的特點(diǎn)，由函數(shù)本身在xto處的泰勒展開式?jīng)Q定。同時(shí)容易 推得，在以上結(jié)論中“兀to”的條件還可以推廣為“兀這時(shí)相關(guān)特 點(diǎn)將由函數(shù)本身在兀處的泰勒展開式?jīng)Q定.綜上所述，在求未定式極限時(shí)，要靈活運(yùn)用等價(jià)無窮小與泰勒公式，并 將函數(shù)展開至分子分母分別經(jīng)過簡化后系數(shù)不為零的階即可對(duì)于泰勒余項(xiàng) 形式的選擇，要根據(jù)具體題目而定，它不僅可以很方便的算出所要求的極限, 而且在一些極限式的證明中，也起著非常重要的作用.4結(jié)論泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，不僅在理論上占有重要的 地位，它不僅僅是在極限的計(jì)算中，有著至關(guān)重要的作用，在近似計(jì)算、函 數(shù)凹凸性判斷、斂散性的判斷、等式與不等式的證明、中值問題以及行列式