三角恒等變換知識(shí)總結(jié)

1、三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)總結(jié)sin cos32014/10/24一、基本內(nèi)容用講1 .兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下:sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos msin sintan(tan tan1 mtan tana tan B ),有時(shí)應(yīng)用該公式比較方便。sin 2tan2要熟悉余弦(1)基本恒等式：sin1 2 * 4對(duì)其變形：tan a+tan B =tan( a + p )(1- tan2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：2.222sin cos . cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin2 tan(2)三角形中的角:(3)向量的

2、數(shù)量積:r rrag) XiX2 y1y2, aABC,sinA sin(B C),cosAr r agor b.r r.cos(a,b),r rX1X2 y1y20 a/bX1 y2X2y1cos(B C)；0；、考點(diǎn)闡述考點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一一 一4 一2、右 tan 3, tan -,則 tan（ ）等于（）3、若 二，則（1 tan ）（1 tan ）的值是. 44、（1 tanl ）（1 tan 2 ）（1 tan3 ）L （1 tan 44 ）（1 tan 45 ） .考點(diǎn)2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos cos 2-的值等于（）（提示：構(gòu)造分子分母）55

3、6、cos200 cos400 cos600 cos80o（）337、已知3_ a 2，且cosA 3,那么sin2A等于（）25考點(diǎn)3運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換218、已知 tan（ ） 一,tan（）一，則 tan（一）的值等于（）54441 1 -9、已知 sin sin -, cos cos 一，貝Ucos（）值等于（）2 310、函數(shù) f（x） cos2（x 一） sin2（x 一） 1是（）1212（A）周期為2的奇函數(shù)（B）周期為2的偶函數(shù)（C）周期為 的奇函數(shù)（D）周期為的偶函數(shù)4、常見題型及解題技巧（另外總結(jié)）（一）關(guān)于輔助角公式：asinx bcosxa2 b2 s

4、in x .其中cos . a ,sin , b （可以通過 JOb來(lái)判斷最大最小值 ） .a2 b2,a2 b2如：1.若方程sin x T3cosx c有實(shí)數(shù)解，則c的取值范圍是2. y 2cosx 3sin x 2的最大值與最小值之和為 .r H2i7-右 tan（一） 一，則 tan45（二）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值小cos150 sin15000、例 1 1.00 ;2.sin50 （1 V3tan10 ）；cos150 sin1503.求 tan70o tan50o J3tan70° tan50o值；4公ABC 不是直角三角形，求證：tanA tanB tanC tan A

5、?tanB ?tanC（三）三角函數(shù)給值求值問題1 .已知 cos( a 6) + sin a= 573,則 sin( ，的值是2.已知cos(54.）產(chǎn)5,均為銳角，sin 的值。03.3,cos 一443 .3,sin -545_13 ,求 sin的值.（四）三角函數(shù)給值求角問題1.若 sinA=,sinB= 110,且A,B均為鈍角，求A+B的值.102.已知一，一），且 tan , tan2 22是方程x20的兩個(gè)根,3.已知均為銳角，且tanA.-67t1 , tan 2TTC .一3tan1 皿 一，則 +85冗D. 4的值（）4.已知tan的值.綜合問題（求周期，最值,對(duì)稱軸，增

6、減區(qū)間等）1.(2010 北京)已知函數(shù) f(x) 2cos 2x sin2x.（1）求f （）的值；（2）求f （x）的最大值和最小值. 32 .已知函數(shù) f(x) 2sin( x)cos x .（3）求函數(shù)在（求f （x）的最小正周期；（2）求f （x）在區(qū)間,一上的最大值和最小值;6 2的單調(diào)區(qū)間。三、解題方法分析1 .熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)中出現(xiàn)的公式較多，要從角名稱、結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正的理解、記熟、用活。解決問題時(shí)究竟使用哪個(gè)公式，要抓住問題的實(shí)質(zhì)，善于聯(lián)想，靈活運(yùn)用。1o - 3 ocos6 sin 6 , b222t

7、an13osin 50o二:c :1 tan213 2cos 25則有（本題屬于“理解”層次，要能善于正用、逆用、變用公式例如:=1sin 2 , cos = sin2- , cos2 sin2 cos 2 22sin,ga? tan2 1-tan21 2 sin cos (sin、22cos ),1 cos2 2cos2,1 cos22 sin21 cos2cos 22sin1 cos2t tan a + tan B =tan( a + p )(1- tana tan B )等。另外，三角函數(shù)式asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角，將它化為bva2 b2 sin(x )即

8、asinx+bcosx= va2 b2 sin(x )(其中 tan )是常用轉(zhuǎn)化手段。 a特別是與特殊角有關(guān)的sin ±cosx, ± sinx ±V3cosx,要熟練掌握其變形結(jié)論。2 .明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口(1)運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)三角包等變換'【方法點(diǎn)撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及二倍角公式的推導(dǎo)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想, 應(yīng)用該思想能有效解決三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值、證明中角、名稱、形式的變換問題。例 2.已知< B < a < 三，cos ( a B ) =12 , sin ( a + B

9、 )=-,求 sin2 a 的 2413556652a=(a 3) + (" + §)(本題屬于“理解”層次，解答的關(guān)鍵在于分析角的特點(diǎn), 例2解答:例 3.化簡(jiǎn)：2sin50° +sin100 (1+T3tan10° ) - Jsin280【解析】：原式=【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于“理解”層次 ，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用“化切為弦”的方法，再利用兩角和與 差的三角函數(shù)關(guān)系式整理化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)時(shí)要求使三角函數(shù)式成為最簡(jiǎn)：項(xiàng)數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù) 盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號(hào)內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的盡量求出值來(lái)。(2)運(yùn)用函數(shù)方程思想，實(shí)現(xiàn)三角包等變換【方

10、法點(diǎn)撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的變換。因此，有時(shí)在三角恒等變換中，可以把某個(gè)三角函數(shù)式看作未知數(shù)，利用條件或公式列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解。例 4： 已知 sin ( a + B ) =2 , sin ( a 0 ) =3 , 求 色n(2-)-tantan 的值.34tan tan( )【解析】tan( ) tan tan _tan( ) tan( )(1 tan tan ) _ tan _2； zx； 2； zx-；17tan tan( )tan tan( )tan【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于“理解”層次，考查學(xué)生對(duì)所學(xué)過的內(nèi)容能進(jìn)行理性分析，善于利用題中的條件運(yùn)用方程思想達(dá)到

11、求值的目的。(3)運(yùn)用換元思想，實(shí)現(xiàn)三角包等變換【方法點(diǎn)撥】換元的目的就是為了化繁為簡(jiǎn)，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，可以利用特定的關(guān)系，把某個(gè)式子用新元表示，實(shí)行變量替換，從而順利求解，解題時(shí)要特別注意新元的范圍。2例5:右sin sin ，求cos cos的取值沱圍。 21【斛析】：令 cos cos t ,則(sin sin ) (cos cos ) t -,【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于“理解”層次，解題的關(guān)鍵是將要求的式子cos cos 看作一個(gè)整體，通過 代數(shù)、三角變換等手段求出取值范圍。3.關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合，從知識(shí)聯(lián)系上尋找結(jié)合點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛，主要體現(xiàn)在與函數(shù)、

12、平面向量、解析幾何等知識(shí)的聯(lián)系與綜合，特別是與平面向量的綜合，要適當(dāng)注意知識(shí)間的聯(lián)系與整合。r例6:已知：向量a(石 1) , b(sin 2x, cos2x),函數(shù) f (x)(1)若 f(x) 0且 0 xr r(2)求函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)，向量a與b的夾角.r r【解析】：: f (x) a b二, 3sin 2x cos2x7(2)2sin(2 x當(dāng) f (x)2時(shí),由 a b |a|b| cosr ra, b/日 r r行 cos a, br ra b-r j|a| |b|1, Q0 a,ba,b 0【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于“理解”中綜合應(yīng)用層次，主要考查應(yīng)用平面向量、三角函數(shù)知識(shí) 的

13、分析和計(jì)算能力.四、課堂練習(xí)1. sin165o = () A2.sin140cos16o+sin760cos74o 的值是(3 .已知 x ( ,0) , cosx24 .化簡(jiǎn) 2sin ( ：-x) -sin,則 tan2x(產(chǎn)),其結(jié)果是724247247A. sin2xB . cos2x一cos2xD . 一 sin2x5. sin "v'3 cos 的是A. 0 B2 sin512/ x 2 rLtan756. 1 tan 75的值為 (2.37.若 cos-2sin 2則角的終邊一定落在直線)上。A. 7x 24y7x24y 024x 7y 08. coscoss

14、insin9.1 tan151 tan15一o10 . tan20o tan40o 褥tan 20 tan40o 的值是 .11 .求證： cos 1sin2 .12.已知 tan2-,求 tan 的值.4cot tan32213. 已知 0 x ,sin( x)勺-,求cos2x的值4413c叫 x)75sin A 4 cos A14 .右 A 0,，且 sin A cos A ,求的值1315sin A 7cosAC15 .在 ABC中，若 sin Asin B=cos2y ,則ABC!()A.等邊三角形C不等邊三角形B .等腰三角形D .直角三角形16.化簡(jiǎn)方!cos2cos 217.求證:1 tan1 tan1 2sin cos22cos sin a18. 已知 sin a = , sin ( a + p ) =- , a 與 B 均為銳角,求 cos .1351 tan2“倍角”與“二次”的關(guān)系(升角一降次，降角一升次).特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形，cos21 cos2 , sin21 cos2這兩個(gè)形式常用。223.輔助角公式：sin x cosx T2sin x ; J3sin x cosx 2sin