立體幾何的展開問題

1、例3如圖，在正三棱錐p-abc中，明=2, zy4pb=30°,經過點a的平面與側棱pb、pc交于e、f兩點，貝ijaaef周長的最小值為分析：將正三棱錐p-abc的側面沿側棱彷剪開后，鋪成平面圖形pabca1 （五邊形）,如右圖所示，然后利用定理“兩點z間，線段最短”可以得出：aef周長的最小值就是解答：將正三棱錐p-abc的側面展開得到五邊形pabca則aef周長=ae+ef+far >aa當且僅當a、e、f、af四點共線時，aef的周長取得最小值，即線段aa'的 反度，因為在正三棱錐pmbc小，zapb=zbpc=zapc=30°,所以在五邊形pabca

2、'中,zapaf =90°,又par =pa=2 ,所以a4' =22 ,即aaef周長的最小值為2血例 4 如圖，在長方體 abcd-aibicidi 中，ab=a, bc二b, a4）=c,且 a>b>c,動點 p 在長方體的表面上從點4出發(fā)運動到g，求動點p的最短路程.分析：此題需要“展開”長方體中含有點a和點g的相鄰兩個面，其展開方法有三種 （如圖1、2、3所示），分別在每個展開圖中，連結aq,即可得岀點4與g之間的最短路 程，然后利用勾股定理求出各自結果，再通過比較大小確定最后答案.在圖 1 中，acl = + 疔 +（? = la2 +b2 +

3、c2 +2ab :在圖2中，ac】=折 +（卄門2 =如+臚+疋+2加；在圖 3 111 > acj = j(a + c) + b j+ c" + 2ac ； a > b > c > 0, ab > ac> be ja? +b? +c? +2ab > ja? +b? +c? + 2bc > 如+戻+<?+2oc所以圖2中的路程最短，最短路程為+疋+2bc .【反思】“展開問題”是指將立體圖形的表血（或部分表面）按一定的要求鋪成平面圖 形，再利用平面圖形的性質解決立體問題的一類題型.解決展開問題的關鍵是：確定需要展 開立體圖形中的哪

4、幾個面（有時需要分類討論），以及利用什么平而定理來解決對應的立體問題.1. 下圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，給出以下四個命題：cn與be是異面直線；cn與bm所成的角是60° ；mb與de平行；dm與bn垂直.其中正確命題的序號為（）a.b.c.d.ndc m/e ab（第1題圖）1 解析：首先將正方體的平面展開圖還原成正方體，然后利用正方體中的線面關系即 可判斷四個命題中、正確，選d.2. 正方形abcd的邊長為2, e、f分別是和cd的屮點，將正方形沿ef折成直 二面角（如圖所示），m為矩形aefd內一點，如果zmbe=zmbc.且mb和平面bcf所 成角的正切值為

5、丄，那么點m到直線ef的距離為（）2v2v31a b 1c. d2222.解析：過點m作連結則mn丄平面bcfe,二zmbe二zmbc,:.bn為zebc為角平分線，:zebn=45° , bn=j1,又竺. =從而mn二迄，選abn 223. 設正三棱柱abc-ac,的底面邊長為1,高為3, 質點自a點出發(fā)，沿著三棱 柱的側而繞行西囲到達a點，則質點運動的最短路線長為3.解析：將正三棱柱abc-ac,的側面展開兩次，得到一個長為6、寬為3的矩形,此矩形的對角線就是所求的最短路線，其長度等于j&+32 =3運.答案：3a/5 .5如圖，在直三棱柱 4bc4|b|c中，ab=b

6、c=邁,bb、=2, zabc = 90°, e、f 分別為aa】、05的中點，沿棱柱的表面從e到f兩點的最短路徑的長度為5.解析：將三棱柱abc-ac.中含有點e和點f的相鄰兩個面展開（注意分類： 如圖1-4所示），分別求出各不同的展開圖中線段ef的長度，其中最小的數是班.故答案為:羋.例3.如圖5,設正三棱錐sabc的底面邊長為a,側棱長為2a,過a作與側棱sb、sc 都相交的截血aef,求這個截面周長的最小值。分析：沿側棱sa將三棱錐的側面展開如圖6,求aaef周長最小值問題就轉化成了求a、a，兩點間的最短距離。圖6；、c為其上的三個點，則在正解析：b如圖a7 7 設zasb

7、= e,則由余弦定理得cos& = ,所以cos3& = 4cos3& cos& = 8 128可求得aa'=a,即所求截而周長的最小值為耳。4418.如圖，是一個無蓋正方體盒子的表ifi 方體盒子中，zabc等于( )a. 45°b. 60°c. 90°d. 120°右圖是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：ab與cd所在直線垂直；cd與ef所在直線平行ab與mn所在直線成60°角；mn與ef所在直線異面其中正確命題的序a-b.c.d解析：d如右圖是一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，a、b、c是展開圖上的三點, zabc的值為.a. 180°c. 45°則在正方體盒子屮,b.