例談測量問題中的數(shù)學(xué)模型

1、例談測量問題中的數(shù)學(xué)模型初中幾何里面所涉及的測量問題比較多，如測量學(xué)校旗桿高度、河的寬度等，但因其涉及全等三角形、相似三角形、解直角三角形等內(nèi)容且又分布在不同的學(xué)段（八年級、九年級），如果教師在教學(xué)過程中不加以整合，則難免給人以“零散、不具有系統(tǒng)性”之嫌.鑒于此，筆者特將初中階段出現(xiàn)過的基本類型進(jìn)行歸類整理，建立如下模型.模型一、測量地面上兩點之間的距離當(dāng)兩點之間因存在一些障礙，或某一點無法到達(dá)，難以直接測量它們之間的距離時，常構(gòu)造全等三角形進(jìn)行間接測量. 例1 如圖1所示，在湖泊的岸邊有A、B兩點（A、B兩點均可到達(dá)），但難以直接測量出A、B兩點間的距離.請設(shè)計一種測量出A、B兩點之間距離的

2、方案.并簡要說明你設(shè)計的理由.解：測量方案：在岸上取一點C，連接AC，延長AC到點E，使CEAC；連接BC，延長BC到點D，使CDBC.量出DE的長度.理由如下：由于ABC與EDC兩邊及夾角相等，所以這兩個三角形全等，故DEAB. 例2 如圖2所示，A、B兩點表示我軍與敵軍陣地所在位置，現(xiàn)我軍欲動用炮兵部隊進(jìn)行進(jìn)攻，但炮手因不知A、B兩地之間的距離而發(fā)愁.親愛的同學(xué)，假若你是陣地的指戰(zhàn)員，你能為炮手提供測量A、B兩地之間距離的方案嗎？解：測量方案：指戰(zhàn)員站在C點，運用測角器測出點B的俯角（設(shè)為）.再轉(zhuǎn)身，在保持俯角不變的前提下，選擇我后方的某個參照物D.量出AD的長度.理由如下：在ABC與AD

3、C中，DB，DACCAB90°，ACAC，所以ABCADC，故ADAB.模型二、測量平面上某點到某直線的距離例3 如圖3所示，有一條東西方向的鐵路，在鐵路的北邊有一村莊A（村莊與鐵路被一座小山隔開），為改善A村的交通狀況，決定從A村修建一條公路與鐵路相連，請你設(shè)計一種方案，測量這條公路的最短長度.解：（1）測量工具：測角器、尺子.（2）測量步驟：在鐵路上選定B、C兩點（要求能測出村莊A的方位角）；分別測出A的方位角；測量B、C兩點之間的距離.（3）測得數(shù)據(jù)：BCm米，ABC，ACD.（4）求解過程：過A點作ADBC于D點，設(shè)ADx米. 模型三、測量底部能夠到達(dá)的建筑物的高度例4 請設(shè)

4、計一個測量方案，能在太陽光下測量學(xué)校旗桿的高度（測量工具不限）.解：方案一：利用平面鏡、尺子測量旗桿高度.（1）測量步驟：如圖4所示，在直線BE上的C點放置一面平面鏡（或一盆水），操作人員在射線CE上移動，直到能在平面鏡中看到旗桿的頂部.（2）需測數(shù)據(jù)：BC、CE的長度及操作人員的身高DE.（3）測得數(shù)據(jù)：BCm，CEn，DEk.（4）求解過程：根據(jù)平面鏡反射原理有ACBDCE.圖 4又ABCDEC90°，所以ABCDEC，則有AB:DE=BC:EC，即AB:k=m:n，解得AB=mk/n.（注：此方案在沒有太陽光的情況下同樣有效）方案二：利用尺子測量旗桿高度.（1）測量步驟：如圖5

5、所示，在太陽光下同一時刻分別測出旗桿BC、操作人員的影長EF及操作人員的身高DF.（2）測得數(shù)據(jù)：BCm，EFn，操作人員身高DFk.（3）求解過程：因為太陽光線可近似看成是一束平行光線，因此ACBDEF.而ABCDFE90°，所ABCDFE，則有AB:DF=BC:EF，即AB:k=m:n，得AB=mkn.方案三：利用小測桿、尺子測量旗桿高度.（1）測量步驟：如圖6所示，操作人員手持小測桿DF站在B點，操作人員眼睛所在位置E點、小測桿的頂端D與旗桿的頂端C恰好在同一條直線上；操作人員眼睛所在位置E點、小測桿的底部F與旗桿的底部A恰好在同一條直線上（要求：小測桿DF與手臂EG垂直，手臂

6、EG與軀干EB垂直）.（2）需測數(shù)據(jù)：操作人員與旗桿之間的距離AB、小測桿的長度DF、操作人員的手臂的長度EG.（3）測得數(shù)據(jù)：ABm，DFn，EGk.（4）求解過程：因BEDFAC，故AECFED.根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上的高線之比等于相似比得AC:DF=AB:EG，即AC:n=m：k解得AC=mn/k方案四：利用測角器、尺子測量旗桿高度.（1）測量步驟：如圖7所示，在地面上的B點用測角儀分別測出點C的仰角、點A的俯角，并測出A、B兩點之間的距離.（2）測得數(shù)據(jù)：ABm，CDE，ADE.（3）求解過程：在RtCDE中，CE=DE·tan=m·tan；同理AE=DE·

7、;tanm·tan.故AC=m（tan+tan）.說明：利用測角儀、尺子測量旗桿高度還可采用圖8所示的測量方案，在B點用測角儀測出點C的仰角（設(shè)為），用尺子測出測角儀的高度（設(shè)為m），A、B之間的距離（設(shè)為n），則旗桿高度AC=m+n·tan.模型四、測量底部不能到達(dá)的建筑物的高度例5 試設(shè)計一個方案，測出如圖9所示的古塔的高度.解：方案一：（1）測量工具：測角器、尺子.（2）測量步驟：如圖9所示，在地面上選C、D兩點，使C、D兩點與塔底在同一直線上；在C、D兩點分別用測角儀測出A點的仰角；用尺子測出C、D點之間的距離及測角儀的高度ED.（3）測得數(shù)據(jù)：CDm，CFn，AF

8、H，AEH.（4）求解過程：設(shè)AHx. 在RtAFH中，HF=AH/tan=x/tan.同理HE=AHtan=xtan.根據(jù)EFEHFH，列方程xtanxtan=m，解得AHm·tan·tantantan.故塔高AB=n+m·tan·tantantan.方案二：（1）測量工具：測桿，尺子.（2）測量步驟：如圖10所示，在地面上選定C、D兩點，使C、D兩點與塔底在同一直線上，并經(jīng)過C、D兩點作射線CM；將測桿豎直地置于C地，操作員在射線CM上運動至H點，使塔頂A、測桿頂部F、眼睛的位置P點在同一直線上；在射線CM上向后移動測桿至D點，操作員移動至K點，使塔頂A、測桿頂部E、眼睛的位置N點在同一直線上；分別測量測桿高度，操作員的身高，線段CH、DK、CK的長度.（3）測得數(shù)據(jù)：DEm，NKn，CHp，DKk，CKq.（4）求解過程：根據(jù)上述操作易知PFOPAG，NEQNAG，則有FO:AG