高中數(shù)學(xué)不等式知識歸納及?？碱}型

1、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不等式一、不等式的性質(zhì)及均值不等式1. 實(shí)數(shù)的三岐性：設(shè)r,那么 d>bu>d-bo； a = b a-b = q ； a<b<> a-b<0；2. 不等式的性質(zhì)：對稱性> b 0 b < a,(2)傳遞性:q > b,b > c => a > c;(3) 加法原理:a> b> a±c> b±c(4) 乘法原理 a > h,cac> be, >a > h,c <0 ac < he, < ;c cc c(5) 可加性:f>&qu

2、ot;=>a + c>b + d，(減法可以轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行)c> da> b< d -c > -d d ci c > b d ;c<d(6) 可乘性:a > b > 0,c > d > 0 n ac > bd ;(除法可轉(zhuǎn)化為乘法來進(jìn)行)(7) 乘方原理:a > b>0=> a" > bn (n e n, n > 1);(8) 開方原理> ft > 0 => a >n ,n> 1);(9) 三角不等式|a|-|b|u0±b|s|a| +

3、 |b|，(其中左等號成立的充要條件是"50;右等號成立的 充要條件是>0;3. 均值不等式2 ,2(1) " +" >ab(a,be r當(dāng)且僅當(dāng)a = b時”才成立)2纟衛(wèi)n 亦(a > 0" > o當(dāng)且僅當(dāng)a二b時成立)2(應(yīng)用于求最值要注意三個條件:一正，二定，三相等缺一不可.(3)均值不等式的拓展：- <v<- < 尸+% > 0" > 0)j_ +£2 v 2a b4 典型例題例 1 .已知 a > b > 0, c v d v 0 求證:纟 v °

4、 v 0; cl c例2.若-<a<0比較1 + /與丄的大小;q + 1例3設(shè)/(x) = log v 3x + l,g(x) = 21ogv2 + h其中兀>0且"1,試比較/(勸和竝無)的大小.例4.設(shè)x > 0,y > 0,兀+ y = 1求丄+丄的最小值.* y例 6.已矢口 a > 0,b > o,a + b = 1 求證：(1 +)(1 + 丄)> 9 ； a b5. 鞏固訓(xùn)練a組1. 下列推理正確的是()(a) ac > be a > b (b) a2 > b2 => a > b (c)丄

5、> 丄 a <b (d) yla < 4b =>«</? a b2. 已知a,b,c滿足c<h< a且ac vo,那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()(a) ab > ac(b) c(b 一 a) v 0(c) cb2 < ah2(d) ac(a 一 c) > 03. 若兀w (訂,l),a = nx,b = 21nx,c = in3兀則()(a)« <b < c(b) c < a<b(c)b < a <c44. 已知兀>1,貝ijf+4+ _ 的最小值為()jr -1(d)b

6、<c <a(a)2(b)6(c)8(d)95. 設(shè)a,bw r,己知命題p : a = b;命題今：s °,則#是q成立的()(a)必要不充分條件(b)充分不必要條件(c)充分必要條件(dm、充分也不必要條件6. 若d =也2, b = , c =也，則a, b, c三個數(shù)按從小到大排列為；2351 q7. 若% > 0, y > 0，且一+ = 1,貝i兀+ y的最小值為;8. 某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬元/次.一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則兀二噸.b組1 .已矢口 0 v a v b v

7、 1,貝u log b,ah,logh a 的大小關(guān)系是;a2已知點(diǎn)(x, y)在直線兀+ 2y = 1上，則2 v + 4v的最小值是；3 .如果土 +纟> 2,則ab > 0且;b a4. 已知不等式a+y)(l + -)>9對任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值 兀 y為;5. 設(shè)數(shù)列仏中,=門2)= 2"若®比較/(嚀')與/*)+ /(心 的大小;二不等式的證明及含絕對值的不等式1不等式的證明是不等式的難點(diǎn)z,證明的主要方法有:比較法，分析法和綜合法.(1) 比較法:是證明不等式的最基本的方法，可分為作差比較法，作商比較法分析法:指

8、從證明的不等式出發(fā)r執(zhí)果索因3從結(jié)論出發(fā)找命題成立的充分條件，育到找到明顯 成立的不等式或己經(jīng)證明的不等式為止,這種方法叫分析法.(3)綜合法:從一個正確的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)及均值不等式對該不等式變形，直到得出 所求證的不等式為止，即''執(zhí)因索果”注:除了以上方法外還有反證法,放縮法，數(shù)學(xué)歸納法，換元法，函數(shù)法與數(shù)形結(jié)合法等2. 含絕對值的不等式a (a > 0)(1)實(shí)數(shù)的絕對值的定義p/| = < 0(d = 0)；-a (a < 0)(2) 對a,berab = ub, f =其 h 0) b b對 xw r,ciw 疋有卜| v a o x，

9、< a2 -a < x < ar > d o x? > a2 o x > q或r < -a(4)含絕對值的不等式的定理的推廣% +°2 + + % § g + 勺 + + an (hg n*)3. 典型例題例 1.已知r卜，且a + b = l,求證:處？ +b)“ >(ax + by)2例2.已知實(shí)數(shù)a,b,m,n其中m與n為正數(shù)+ >+ ”); m n m + n例 3.已知a,b,cw r，求證:jd，+/? + yh2 +c2 + 7c2 +a2 > 4(ci + b + c);例 4:若 p3 +q3 =

10、 2，求證:p + q 5 2例 5證明:+ £ + + *<；例 6(1)己知問 < 1,|/?| < 1 求證;| | > 1;(2) 求實(shí)數(shù)久的取值范圍，使不等式匕嘗 > 1對滿足問< l,|b| < 1的一切實(shí)數(shù)a力恒成立;aa-b4. 鞏固訓(xùn)練a組1. 不等式a>b,->同時成立的充要條件是()a b(a)a>b>0 (b)a>o>b(c)丄 v丄 vo(d)丄->0b aa b2. 設(shè)a > l,b > 1 且ab-(a + /?) = 1，那么()(a) a-b有最小值2(血

11、+ i)(b) a + b有最大值(血+1)2(c) ab有最小值(血+1)(d) ab有最小值2(v2 +1)3. 若 a",c > 0 且 a(a + b + c) + = 4 23，貝!j 2。+ 方 + c 的最小值為()(a)v3-1(b)v3+1(c) 23 + 2(d)2v3-24設(shè)實(shí)數(shù)兀,y滿足x2+(y-l)2=l.若對滿足條件的 m+y + ch0恒成立，則c的取值范圍是()(a) v2 一 l,+oo) (b) (-oo,v2-1(c)v2 + l,+oo) (d) (-oo,v2 +15. 設(shè) f(x) = lgx0<a<b< c 且

12、f(a) > /(c) > /(b),則下列結(jié)論中正確的是()(a) (a 一 l)(c-l)>0(b) de > 1(c) ac = 1(d) ac <16. 已知f +y2 =a,m2 + n，= b,其中為常數(shù)，則tnx + ny的最大值為；7. 設(shè)加w /?+且2 v " + "7，則a與b的大小關(guān)系為;a a + mb組1. 在(1) y = 2x ；(2) y = log2 x ;(3) y = x ;(4) y = cosx ,這四個函數(shù)中，當(dāng) 0 v 兀< x2 < 1 吋，使于(匕2)> /3)7(勺)恒成立

13、的函數(shù)有;2. 設(shè)x > 0, y > 0,兀+ y = 1,則仮+ j7 5 a恒成立的a的最小值是;3. 設(shè)兀1,° =長一qx-,b二j兀+ 1 -仮,貝ij。與z?的大小關(guān)系是;4. 已知 a>0,b>0 且 a + b = l,x, yw /?,求證:(ax + by)(ay + bx) > xy5. 已知1 5兀2 +y2 52,證明：*</ +與+于5 3；? 2 16己矢口 a> h> c.a + b + c = ,a2 +/?2 +c2 = 3,求證:</? +(?< 337.已知 /(x) = x2 一2

14、兀 + 7 且卜v 3,求iie:|/(x)-/(m)| < 6制 + 158已知數(shù)列色中,色=2門,求證:去+玉+ +竺仝-丄(ne tv*)。3。"+12 3三、不等式的解法及不等式的綜合應(yīng)用1. 解不等式的過程實(shí)質(zhì)上是一個等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程，最終都要轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次不等式, 要掌握以下幾類不等式解法(1) 一元一次不等式的解法；(2) 元二次不等式的解法；(3) 簡單的高次不等式的解法；(4) 分式不等式解法；(5) 含絕對值不等式的解法；(6) 了解指、對數(shù)不等式的解法；(7) 了解無理不等式的解法；2. 不等式的綜合應(yīng)用(1) 不等式知識貫穿于高屮數(shù)學(xué)的始終，是構(gòu)

15、建高中數(shù)學(xué)知識交匯點(diǎn)的一個典型平臺。(2) 考查學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，思想和方法解決實(shí)際問題的能力，需要依賴于不等式知 識。(3) 不等式的應(yīng)用問題的常見形式：利用不等式知識求最值；不等式在方程函數(shù)中應(yīng)用；不等式在幾何問題中的應(yīng)用；利用不等式知識解決實(shí)際問題；3. 典型例題例1若不等式x2 + ox +1 > 0對于一-切xw(o,丄成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是()(a)0(b)-2(c)|(d)-3例2.解不等式4/ 一20兀+ 1.3x -5x + 4例3.解關(guān)和的不等式彰>1例4.若不等式4x-x2 > cue的解集為x|0 <x<4求實(shí)數(shù)a的取值范圍例5

16、.關(guān)于兀的不等式|log, x| < 1在（丄,3）上恒成立，求實(shí)數(shù)d的取值范圍例6解不等式卜一3| |x + l|vl例7坷,兀2，丁1，歹2是互不相等的實(shí)數(shù)，設(shè)j（"i +兀2）2 +（x +匕）2，b二jx： + j%； + y；,試比較q與b的大小例8.已知集合p =»,函數(shù)y = log2（a _2兀+2）的定義域?yàn)閝（1）若p“qh0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍（2）若方程log2 s? - 2兀+ 2） = 2在*,2內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍4. 鞏固訓(xùn)練1. 若不等式ax2hx + 2> （）的解集是11x<x<->123ja組則q

17、+ /?的值為（）(a)-14(c)10(d)142. 函數(shù)/(x) = = + lg(3x+l)的定義域是(a/1 x(a) (-1，+oo)(c)(-是)(b)(-*1)則(l-|x|)(1 + x) > 0的充要條件是(a)|x|<l(c)|x|>l(d)x v -1或一1 < x< 14. 若不等式卜-4|-卜-3|"對一切xg 7?!h成立，那么實(shí)數(shù)°的取值范圍是()(a)d > 1(b)o v 1(c)o 5 1(d)d > 15. 設(shè)a = 兀一卜+1|52);b二仙兀彳+5% + 6no,則a與3的關(guān)系是；6. 方程

18、伙+ 1)，+2(2-幻兀+ 2£-4 = 0的一根大于3,另一根小于3,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是;7. 不等式乂乜2 0的解集是;x 38. 不等式(x2-2x- 3)(/ +心+ 4) v 0的解集是:b組1. 已知f(x) = ?u-°,貝懷等式xf(x) + x<2的解集是;-1(x< 0)2. 集合a = 彳蘭呂<(), b = x|x-b|<a,若"a = l"是"af)bh0 "的充分條件，則q的取值范圍可以是;3. 不等式|3x + 2|>|2x + 6/|對xw/?恒成立，則實(shí)數(shù)°的值為；4. 已知函數(shù)y = log2(/-2)的值域?yàn)閘,log214,則函數(shù)的定義域?yàn)?5. 解關(guān)于兀的不等式lg2處-lg(d + q v 1 ；1 ?6. 已知函數(shù)f(x) = 一一 + -(x>0)a x判斷/在(0,+oo)上的增減性，并證明你的結(jié)論；解關(guān)于兀的不等式f(x) > 0 ；若/(x) + 2x>0在(0,+oo)上恒成立，求a的取值范圍羅疣他d