冪等矩陣的性質(zhì)研究

1、濱州學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 題 目冪等矩陣的性質(zhì)研究系 （院）數(shù)學(xué)系專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級(jí)2010級(jí)1班學(xué)生姓名崔世玉學(xué) 號(hào)1014070124指導(dǎo)教師田學(xué)剛職 稱 講師 二一四年六月十日獨(dú) 創(chuàng) 聲 明本人鄭重聲明：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)，是本人在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果，成果不存在知識(shí)產(chǎn)權(quán)爭議。盡我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本設(shè)計(jì)（論文）不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體均已在文中以明確方式標(biāo)明。本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。  作者簽名： 二一四年 月 日  畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）使用授權(quán)聲明

2、本人完全了解濱州學(xué)院關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定。本人愿意按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版，同意學(xué)校保存學(xué)位論文的印刷本和電子版，或采用影印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存設(shè)計(jì)（論文）；同意學(xué)校在不以營利為目的的前提下，建立目錄檢索與閱覽服務(wù)系統(tǒng)，公布設(shè)計(jì)（論文）的部分或全部內(nèi)容，允許他人依法合理使用。（保密論文在解密后遵守此規(guī)定） 作者簽名： 二一四年 月 日冪等矩陣的性質(zhì)研究摘要冪等矩陣是一類非常特殊的矩陣，不僅在矩陣論中有著重要的應(yīng)用，而且在其它許多領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用.本文的主要內(nèi)容是探討冪等矩陣性質(zhì)及其應(yīng)用，首先對冪等矩陣性質(zhì)進(jìn)行分析整理并作簡單的推廣；然后利

3、用分類討論的思想研究冪等矩陣線性組合的冪等性，在一定條件下給出3個(gè)冪等矩陣的線性組合冪等的充要條件；最后研究冪等矩陣的線性組合的可逆性，給出其可逆的具體刻畫.本文研究內(nèi)容能夠豐富冪等矩陣的相關(guān)結(jié)論，有利于矩陣在其它領(lǐng)域的應(yīng)用。關(guān)鍵詞: 冪等矩陣；線性組合；可逆矩陣；矩陣的秩Research on the properties of idempotent matrix AbstractIdempotent matrix is a very special class of matrices, which having important applications not only in matr

4、ix theory, but also in many other fields .The main content of the paper is to investigate the properties of idempotent matrix and its application.Firstly, the properties of idempotent matrix are analyzed and promoted.By using the category talk and the idempotent matrix idempotency of linear combinat

5、ions.In some conditions three idempotent matrices the necessary and sufficient conditions in which the linear combination is also idempotent are given.The last research idempotent matrix of the linear combination of reversibility, gives its reversible specific features.In this paper, the research co

6、ntent to enrich the idempotent matrix related conclusions, which is helpful for the application of matrix in other areas.Key words: idempotent matrix; linear combination; invertible matrix;rank matrix I濱州學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 目 錄第一章 冪等矩陣的概述11.1研究背景11.2基本概念介紹2第二章 冪等矩陣的性質(zhì)42.1冪等矩陣的主要性質(zhì)42.2冪等矩陣的等價(jià)命題7第三章 冪等矩陣線性組合

7、的冪等性123.1 3個(gè)冪等矩陣線性組合的冪等性123.2 3個(gè)立方冪等矩陣的線性組合的冪等性14第四章 冪等矩陣線性組合的可逆性164.1 冪等矩陣線性組合的可逆性164.2 三個(gè)三次冪等矩陣的線性組合的可逆性問題18小結(jié)20參考文獻(xiàn)21謝辭22 濱州學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）第一章 冪等矩陣的概述1.1研究背景 冪等矩陣是矩陣中非常特殊的一類矩陣，也是非常重要且非常常見的一類矩陣，很多其他特殊矩陣都與冪等矩陣有著密切的聯(lián)系，如對合矩陣及投影矩陣.冪等矩陣在數(shù)學(xué)領(lǐng)域及其他許多領(lǐng)域的應(yīng)用都非常廣泛，冪等矩陣更是矩陣論中的一個(gè)基礎(chǔ)部分，冪等矩陣在可對角化矩陣的分解中具有重要作用.近年來有關(guān)此問題的

8、研究吸引了國內(nèi)外許多研究學(xué)者的關(guān)注，關(guān)于冪等矩陣的研究已經(jīng)成為矩陣論中的活躍的研究領(lǐng)域.冪等矩陣在研究廣義逆矩陣中占有非常重要的位，研究冪等矩陣的性質(zhì)是研究其他特殊矩陣的基礎(chǔ).廣義逆的思想可追溯到1903年(E.) i. Fred Holm的工作，他討論了關(guān)于積分算子的一種廣義逆(他稱之為偽逆)。1904年，D. Hilbert broadly在廣義格林函數(shù)的討論中，含蓄地提出了微分算子的廣義逆。而任意矩陣的廣義逆定義最早是由E.H. Moore在1920年提出的，他以抽象的形式發(fā)表在美國數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)刊上.當(dāng)時(shí)人們對此似乎很少注意。這一概念在以后30年中沒有多大發(fā)展.曾遠(yuǎn)榮在1933年，F(xiàn).J.

9、Murray 和J. von Neumann在1936年對希爾伯特空間中線性算子的廣義逆作過討論。T.N.E. Greville, C.R. Rao和其他人也作出了重要的貢獻(xiàn).1955年，Penrose證明了存在唯一的滿足前述性質(zhì)，并以此作為的定義.1956年，R. Colorado證明了彭羅斯定義的廣義逆與穆爾定義的廣義逆是等價(jià)的，因此通稱為穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣。冪等矩陣是國內(nèi)外學(xué)者都非常感興趣的一類矩陣，如文1中研究了冪等矩陣的可對角化性質(zhì)，證明了冪等矩陣是可對角化的；文2研究了冪等矩陣的伴隨矩陣的冪等性等等。本文在接下來的章節(jié)中，我們將先給出冪等矩陣的定義及幾個(gè)簡單命題，并證明.然后給

10、出冪等矩陣的一系列性質(zhì)，在前人的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)以及推廣，并進(jìn)行證明。再給出冪等矩陣的等價(jià)命題，并給出證明。然后討論冪等矩陣的線性組合的相關(guān)性質(zhì)并對冪等矩陣進(jìn)行深入研究。1.2 冪等矩陣的概念 定義1.1 若有性質(zhì), 則稱為冪等矩陣. 為了更好地了解冪等矩陣, 現(xiàn)在來看以下幾個(gè)命題: 引理1.1 若階方陣是冪等矩陣, 則與相似的任意n階方陣是冪等矩陣. 證明 設(shè)(即矩陣與矩陣相似),則使得且 , 又 ,所以 ，所以是冪等矩陣. 定理1.1也可以表述為: 若是冪等矩陣, 則對于任意可逆陣, 也 為冪等矩陣. 引理1.2 若階方陣是冪等矩陣, 則的轉(zhuǎn)置, 的伴隨矩陣及 都是冪等矩陣. 證明 , 即為

11、冪等矩陣;對, 先證明對任意兩個(gè)冪等矩陣, 有關(guān)系式. 由公式有: 矩陣的第行第列的代數(shù)余子式 所以, ，對, 有 . 引理1.3 若是冪等矩陣, 的次冪仍是冪等矩陣.證明 可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)時(shí), 顯然成立.假設(shè)當(dāng)時(shí), 命題成立, 現(xiàn)考慮情形: ，即當(dāng)時(shí)命題仍成立, 由數(shù)學(xué)歸納法知, 對任意命題都成立.第二章 冪等矩陣的性質(zhì)2.1 冪等矩陣的主要性質(zhì)性質(zhì)2.1 矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣. 證明 由和的定義可知命題成立. 性質(zhì)2.2 冪等矩陣滿足: . 證明 , . 性質(zhì)2.3 若矩陣均為冪等矩陣, 且, 則與也是冪等矩陣. 證明 ,同理, 也是冪等矩陣. 性質(zhì)2.4 若冪等矩陣可逆,

12、則.證明 因?yàn)?所以. 性質(zhì)2.5 冪等矩陣的特征值只能為0或1. 證明 設(shè)是冪等矩陣, 即, 再設(shè)的特征值為, 則(由特征值的性質(zhì)), 故. 由這個(gè)性質(zhì)可以知道冪等矩陣是半正定矩陣. 性質(zhì)2.6 冪等矩陣可對角化. 證明 設(shè)是冪等矩陣, 為的最小多項(xiàng)式, 由性質(zhì)2.5知:或或,最小多項(xiàng)式是互素的一次因式的乘積, 從而可對角化.另證明 當(dāng)(即)時(shí), 顯然成立.當(dāng)時(shí), 的特征值全為0, 1. 的屬于1的特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組的解空間的維數(shù). 屬于0的特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組的解空間的維數(shù).由冪等矩陣的性質(zhì)有 故可對角化, 設(shè), 則由冪等矩陣的性質(zhì)得, 因此的相似標(biāo)準(zhǔn)型為.

13、性質(zhì)2.7 若是冪等矩陣, 則, 是可逆矩陣.證明 因?yàn)?，所?又因?yàn)? 所以,故可逆, 且. 性質(zhì)2.8 冪等矩陣的跡等于冪等矩陣的秩, 即.證明 設(shè)分別為A 的特征值及其相應(yīng)的特征向量, 于是有: ,從而有. 由此可推得結(jié)果. 性質(zhì)2.9 若滿足, 則是冪等矩陣. 證明 設(shè)的基礎(chǔ)解系為(其實(shí)它們都是特征值0的特征向量), 再設(shè)的基礎(chǔ)解系為(它們都是特征值為1的特征向量), 且, 設(shè)矩陣(可逆)滿足, 而是冪等矩陣, 故也是冪等矩陣. 例2.1 設(shè)都是冪等矩陣, 且, 證明是冪等矩陣. 證明 由題意可知, 且, 于是: . 例2.2 設(shè)為階冪等矩陣, 且, .證明 (1) 若則或. (2)

14、若則或.證明 (1) , 由題設(shè)知, 則有 . 對上式兩邊同乘于得.移項(xiàng)得 .從而有, 即或.同理可證. 例2.3 設(shè)是階實(shí)對稱陣, 且, 證明正交矩陣,使得. 證明 設(shè)是屬于的特征向量, 那么,，又, 從而,但，所以，故或0，(由冪等矩陣的性質(zhì)也可以得知), 故的特征值不是0就是1. 故正交矩陣,使得(可由特征向量構(gòu)造, 將轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型即為所求).2.2 冪等矩陣的等價(jià)命題冪等矩陣的等價(jià)命題在實(shí)數(shù)域內(nèi)與復(fù)數(shù)域內(nèi)基本是一致的, 故在此只考慮冪等矩陣在實(shí)數(shù)域內(nèi)的等價(jià)命題.定理2.1 以下命題等價(jià):（1） ; （2） , ;（3） ; （4） ;（5） , ; （6） , ;（7） , ;（8）

15、;（9） 非奇異矩陣, , 其中. 證明 （1）、（2）、（3）的等價(jià)性是易證的.（1）（4）因?yàn)? 由性質(zhì)5知, 的特征值只能為0或1,即為對應(yīng)特征值1的特征子空間.所以. （1）（5） “” 因?yàn)?，所?故的列向量都滿足.從而,又, 有 .由的任意性可知.綜上, . “” 對有,即.于是有.由的任意性得. 同理可證. （1）（6） 若, 即對某兩個(gè)成立, 則, 故.同理可證后面一個(gè)式子，從而（4）成立. 反之, 若（6）成立, 則對任一, 有 是的唯一分解. 但又有唯一分解 ,又，于是對任何成立著, 從而. （6）（7） 注意到對任何成立, 故總有, 故(vi)與(vii)等價(jià). （7）（

16、8） 總是成立的. 由維數(shù)公式知 .由性質(zhì)2.8可知, 若, 則. 另外, 利用矩陣的滿秩分解, 我們可以具體的找出(ix)中的變換陣. 設(shè),均為滿秩分解, 則有,且均為方陣. 從而，由此可知, , , .于是可證明. 從此式還可以看出, 與的列向量分別是的屬于特征值1與0的特征向量. 最后,矩陣的滿秩分解可用來判定冪等性: 若是滿秩分解, 則當(dāng)且僅當(dāng). 另一方面, 常用此特殊性來構(gòu)造冪等矩陣. 下面給出幾個(gè)構(gòu)造冪等矩陣的定理: 定理2.2 設(shè)非零列向量, 則階矩陣為冪等矩陣.證明 “”因?yàn)?所以,即,從而,因?yàn)? ,因此, .“”因?yàn)? 所以 .推論2.1 令, 其中: 為非零列向量. 若,

17、 則階方陣不可逆.證明 設(shè)可逆, 則由冪等矩陣的性質(zhì)可知, 當(dāng)時(shí), 由定理2.2可知為冪等矩陣,即,但, 所以, 得,與矛盾, 所以不可逆. 定理2.3 若和是同階冪等矩陣, 則為冪等矩陣.證明 因?yàn)?所以 . 定理2.4 若和是同階冪等矩陣, 且,則為冪等矩陣. 證明 由題意可得 , 即為冪等矩陣. 定理2.5 若為冪等矩陣, 且, 則不可逆.證明 設(shè),則有. 若可逆, 則,在的兩邊同時(shí)乘以, 得,即.與題設(shè)矛盾, 故不可逆. 定理2.6 若是冪等矩陣, 且, 則矩陣方程有非零解.證明 由定理2.5可知, 不可逆, 即.故矩陣方程有非零解. 定理2.7 若和是同階冪等矩陣, 則是冪等矩陣.證

18、明 “”因?yàn)槭莾绲染仃? 所以 ,將兩邊分別左乘和右乘得: , 即. （2.1） , 即. （2.2） 兩式相減可得, 從而. “” .第三章 冪等矩陣線性組合的冪等性3.1 3個(gè)冪等矩陣線性組合的冪等性 設(shè)，是3個(gè)不同的非零的兩兩相互可交換的冪等矩陣，對于非零復(fù)數(shù)，我們將討論 （3.1）是冪等矩陣的一些充分條件.首先，我將給出以下2個(gè)引理。引理3.1 設(shè)，是3個(gè)不同的非零的兩兩相互可交換的冪等矩陣并且，是非零復(fù)數(shù)，那么（3.1）是冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng) （3.2）我們定義矩陣如下：= .引理3.2 設(shè)，是3個(gè)不同的非零的兩兩相互可交換的冪等矩陣并且，是非零復(fù)數(shù)，那么（3.1）是冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其中

19、分別是，的特征值.下面給出（3.1）是冪等矩陣的一些充分條件.定理3.1 設(shè)，是3個(gè)不同的非零的兩兩相互可交換的冪等矩陣并且，是非零復(fù)數(shù).如果下列情形之一成立，則（3.1）是冪等矩陣.（1）并且，；（2），并且，；（3），并且（4），并且；（5），并且；（6）并且.證明 通過引理1知道（3.1）是冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng)=0. 如果（1）成立，我們有 = =+ =0.所以在（1）成立下，是冪等矩陣. 如果（2）成立，我們有 = =+ =0.同理，.所以在（2）成立下，是冪等矩陣. 如果（3）成立，我們有 =0.同理，=0，=0.所以在（3）成立下，是冪等矩陣. 如果（4）成立，我們有 = =.同理，.

20、所以在（4）成立下，是冪等矩陣. 如果（5）成立，我們有 = =0.同理，.所以在（5）成立下，是冪等矩陣. 如果（6）成立，我們有 =0，所以在（6）成立下，是冪等矩陣.證明完畢.3.2 3個(gè)立方冪等矩陣的線性組合的冪等性 定義3.1 任意矩陣，如果，則稱為立方冪等矩陣. 定理3.2 設(shè)非零矩陣，滿足，且，令是 的線性組合，即，且矩陣是立方冪等矩陣的充要條件是（1）（）=（）（2）（）=（）證明 （1）必要性因?yàn)榫仃囀橇⒎絻绲染仃?，所?（3.3）又，所以（3.3）等價(jià)于 =0 （3.4）由可得 +=0.因?yàn)槭欠橇憔仃?，是非零?fù)數(shù)，所以（）=（）或（）=（）. （2）充分性因?yàn)椋ǎ?（），所

21、以 = =+, +=0當(dāng)，時(shí)， =.同理可證（2）的充分性.第4章 冪等矩陣線性組合的可逆性4.1 冪等矩陣線性組合的可逆性 在本節(jié)中, 我們討論兩冪等矩陣線性組合的可逆性. 引理4.1 設(shè)矩陣是階方陣, 則可逆.定理4.1 設(shè)矩陣均是冪等矩陣, 即. 若存在兩個(gè)非零復(fù)數(shù), 且使得可逆, 則對所有的復(fù)數(shù), 滿足, 則線性組合都是可逆的. 證明 設(shè).對 , 有.于是 . （4.1） 將上式兩邊依次左乘, 可得: . (4.2)由(4.1)、(4.2)可得 . (4.3)又,所以.將代入上式可得 所以 .由于可逆,將上式兩邊同時(shí)左乘得 . (4.4)再左乘得: .即. 代入可得.注意到(4.3)式

22、有, 因此由(4.4)式可得.因此. 由引理1知是可逆的.在定理4.1中令, 立即可以得到: 推論4.1設(shè)矩陣均是冪等矩陣, 即. 若可逆,則, 滿足, 線性組合都是可逆的. 定理4.2設(shè)矩陣均是冪等矩陣, , 下列命題等價(jià): （1） 可逆. （2）及是可逆的. 證明 (1)(2) 對由定理4.1的證明過程知.從而又 可逆, 所以. 即. 由引理4.1知 可逆. 同樣地, 對 .兩邊同時(shí)左乘, 得.所以 .又 可逆, 所以. 所以.由引理4.1知可逆. （2）（1） 對, 有從而有 .所以 .推出.又及是可逆的. 知.由引理4.1知可逆. 定理證畢.在定理4.2中令, 立即可以得到: 推論4.

23、2設(shè)矩陣均是冪等矩陣, 下列兩個(gè)命題等價(jià): （1）可逆. （2）及可逆. 4.2 三個(gè)三次冪等矩陣的線性組合的可逆性問題 引理4.2 設(shè)，滿足,則相似于的充要條件為等價(jià)于. 引理4.3 設(shè)是一可對角化的矩陣族.則是可換族等價(jià)于是同時(shí)可對角化族. 定理4 設(shè),為非零數(shù)，則當(dāng)可逆時(shí)，在下述幾種情況下，線性組合是可逆的：（1） ，且為任意非零復(fù)數(shù)；（2） ,且；（3） ,且,；（4） ,且；（5） ,且；（6） ,且；（7） ,且；證明 對于冪等可換的矩陣,存在可逆矩陣,使得同時(shí)可對角化：,且的對角元分別為的特征值，其重?cái)?shù)計(jì)算在內(nèi)，從而可得到, （4.5）進(jìn)而.于是當(dāng)矩陣可逆時(shí)，既有=，其中分別為矩

24、陣的對角元.另一方面三次冪等矩陣的特征值只有.因此(1) 當(dāng)時(shí)，由等式(4.5)可知，,于 是每行對應(yīng)的數(shù)對只可能為(O，0，1)，(O，1，O)，(1，0，O)，(O，0，一 1)，(O，一 1，O)， (一 1，0，O)所以對任意非零數(shù)，矩陣 都是可逆的 ；(2) 當(dāng)，時(shí)，即,對應(yīng)的數(shù)對最多有以下可能:(0，0，一 1)，(O，一 1，O)，(一 1，0，O)，(0，0，1)，(O，1，O)，(1，0，O)，(0，1，1)，(O，一 1，一 1).此時(shí)只要非零數(shù)滿足，矩陣即是可逆的；同理可證(3)(4)(5)(6)(7).證畢.小結(jié)冪等矩陣是一種特殊的矩陣，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及其他許多領(lǐng)域應(yīng)用

25、都非常廣泛，且具有較好的性質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用，冪等矩陣在可對角化矩陣的分解中具有重要的作用；在代數(shù)學(xué)中，線性變換的許多問題都可以轉(zhuǎn)化為冪等矩陣來解決.本文主要是對冪等矩陣的一些性質(zhì)和結(jié)論進(jìn)行歸納總結(jié)并對相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推廣.本文首先對冪等矩陣的一些基本概念的介紹，接著對冪等矩陣的相關(guān)性質(zhì)和等價(jià)命題進(jìn)行歸納總結(jié)并做簡單的推廣.最后本文研究了冪等矩陣的冪等性和線性組合的可逆性有關(guān)的性質(zhì).方法的運(yùn)用在于靈活，很多方法都是相通的.一種方法本身的價(jià)值是有限的，更有意義的是講方法進(jìn)行推廣，以解決更多的問題.通過研究冪等矩陣，不僅是我掌握了很多方法，更重要的是培養(yǎng)了我的數(shù)學(xué)思維，讓我對冪等矩陣有了更深刻的認(rèn)識(shí).我認(rèn)為

26、這是最寶貴的收獲. 參考文獻(xiàn)1 張凱院, 徐仲, 陸全. 矩陣論典型題解及自測題M. 西北工業(yè)大學(xué)出版社, 2003.2 T. Akasaki, idempotent ideals of integral group ringsJ. Algebra, 1972,23:343-346.3 朱軍輝，程春蕊.冪等矩陣的性質(zhì)J.宜賓學(xué)院學(xué)報(bào),2008（6）：26-27.4 王世恒.冪等矩陣的廣義逆J.南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012,11（12）：20-22.5 Baksalary O M. Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices,two of which are disjointJ. Linear Algebra Appl.,2004,388:67-78.6 王月清，王愛麗. 3個(gè)冪等矩陣線性組合的冪等性J.寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào),2005，25（3）：167-168.7 J