小波分析理論簡介

1、小波分析理論簡介 （一） 傅立葉變換偉大的歷史貢獻(xiàn)及其局限性1 Fourier 變換 1807年，由當(dāng)年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及的法國數(shù)學(xué)、物理學(xué)家傅立葉（JeanBaptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一個(gè)周期為T (=)的函數(shù)，都可以用三角級數(shù)表示： = = + + (1) = = (2) (3)對于離散的時(shí)程 ，即 N 個(gè)離散的測點(diǎn)值 ，0,1，2，,N-1, 為測量時(shí)間：=+= （4） 其中 ，0，1，2，, (5) , 1,2, -1 (6) ，0，1，2，,N-1 (7) ， (8) 當(dāng)T 時(shí)，化為傅立葉積分（即 Fourier 變換）： = （9

2、） (10)傅立葉變換的理論是人類數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，從1807 年開始，直到1966年(1807年傅立葉提出任意一個(gè)周期函數(shù)都可以表示為傅立葉級數(shù)的結(jié)論是有誤的，直到1966年才證明了可積的周期函數(shù)才能表示為傅立葉級數(shù))，整整用了一個(gè)半世紀(jì)多，才發(fā)展成熟。她在各個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生了深刻的影響，得到了廣泛的應(yīng)用，推動(dòng)了人類文明的發(fā)展。其原因是，傅立葉理論不僅僅在數(shù)學(xué)上有很大的理論價(jià)值，更重要的是傅立葉變換或傅立葉積分得到的頻譜信息具有物理意義。所以說，傅立葉理論是萬古流芳的。數(shù)學(xué)上的插值方法。除傅立葉級數(shù)外，還有拉格朗日插值，有限元插值，勒讓德多項(xiàng)式插值即高斯積分使用的插值方法。遺憾的是，這種理

3、論具有一定的局限性：（1） 傅立葉變換的三種形式中的傅立葉系數(shù)都是常數(shù)，不隨時(shí)間 t 變化，因而只能處理頻譜成分不變的平穩(wěn)信號，相反的，在處理非平穩(wěn)信號時(shí)會(huì)帶來很大誤差，甚至與實(shí)際情況大相徑庭。（舉例：無阻尼與有阻尼的單自由度的自由振動(dòng)、打秋千、座鐘、討論會(huì)與大合唱等）。在實(shí)際信號中，若高頻與低頻差別很大，在相同的時(shí)間間隔內(nèi)，高頻信號衰減了而低頻信號尚未衰減，所以，在不同時(shí)刻，信號的頻譜成分是不同的。硬要用傅立葉變換找出所有時(shí)刻的頻譜成分，硬要把幅值的變化用頻率的變化來補(bǔ)償，不僅高頻的傅立葉系數(shù)有誤差，低頻的傅立葉系數(shù)也有很大誤差，包括求出的頻率當(dāng)然也有誤差。 （2） 求傅立葉系數(shù)是全時(shí)間域上

4、的加權(quán)平均，這從上面的（5）、（6）、（7）公式可以清楚看到。局部突變信息被平均掉了，局部突變信息的作用很難反映出來（好比吃大鍋飯，平均主義）。差別很大的信號，如方波、三角波、正弦波，都可以得到相同的頻率，所以，處理、捕捉突變信號如故障信號，靈敏度很差。處理、捕捉突變信號應(yīng)使用能反映局部信息的變換。 為了克服以上兩點(diǎn)局限性，這就要求：（1） 將變換系數(shù)視為隨時(shí)間變化的，級數(shù)求和由一重變?yōu)閮芍?。?） 使用能反映局部信息的變換，則函數(shù)組不能使用全域上的函數(shù)，只能使用有所謂緊支撐的函數(shù)，即“小波函數(shù)”或 加窗傅立葉變換的窗函數(shù)。2 Garbor 變換窗口 Fourier 變換 在時(shí)間頻率分析中，

5、Fourier 變換公式的不足已經(jīng)被 D. Garbor 注意到了，在 1946 年的論文中，為了提取信號的Fourier 變換的局部信息，引入了一個(gè)時(shí)間局部化的 Gaussian 函數(shù)作為“窗函數(shù)” g(t-b),其中參數(shù) b 用于平移動(dòng)窗以便覆蓋整個(gè)時(shí)間域。因?yàn)橐粋€(gè) Gaussian 函數(shù)的Fourier 變換還是Gaussian 函數(shù)，所以Fourier 逆變換即頻率也是局部的。窗口 Fourier 變換簡介。對于時(shí)間局部化的“最優(yōu)”窗，用任一Gaussian 函數(shù) （11）“Garbor 變換”的定義為 （12）由于 1 （13）所以 = （14）令 = （15）利用 Parseval

6、 恒等式， = = = （16）這個(gè)等式說明，除去乘數(shù)項(xiàng) 之外，在 具有窗函數(shù)的的“窗口 Fourier 變換”，與在 具有窗函數(shù)的的“窗口 Fourier 逆變換”一致，根據(jù)窗函數(shù) 的寬度是 2 的 結(jié)論，這兩個(gè)窗的寬度分別是2 和 這兩個(gè)窗的笛卡兒積是 加窗傅立葉變換的“時(shí)間頻率窗”的寬度對于觀察所有的頻率是不變的。在較長的時(shí)間窗內(nèi)，對于高頻信號，可能經(jīng)過了很多周期，因而求出的Fourier 變換系數(shù)是很多周期的平均值，局部化性能不能得到體現(xiàn)。若減小時(shí)間窗（減?。?，高頻信號局部化性能得到體現(xiàn)，但對于很低的頻率信號來講，檢測不到?？偵纤?，加窗傅立葉變換對于高頻與低頻差別很大的信號仍不是很有

7、效的。3 窗口 Fourier 變換的測不準(zhǔn)原理對于一個(gè)非平凡函數(shù) ，若滿足 （A）條件，則可作為短時(shí)窗口 Fourier 變換的窗函數(shù)，若其Fourier 變換也滿足上述條件，那么 （B）而且，等號成立，如且僅如 （C）其中 。小結(jié)：（1） 傅立葉級數(shù)的正弦與余弦系數(shù)為常數(shù)，不能反映振幅變化的情況；（2） 求傅立葉系數(shù)需要所考慮的時(shí)間域上所有信息，不能反映局部信息的特征；（3） 加窗傅立葉變換時(shí)間窗是固定不變的，高頻與低頻的時(shí)間局部化不能同時(shí)滿足。由于上述原因，必須進(jìn)一步改進(jìn)，克服上述不足，這就導(dǎo)致了小波分析。（二） 小波分析 將時(shí)程函數(shù)表示為下面的小波級數(shù)： = （17） （18）其中，

8、是小波函數(shù)， 是小波系數(shù)，且 = ( 19） 由公式（17）到（19） 可以看到，小波級數(shù)是兩重求和，小波系數(shù)的指標(biāo)不僅有頻率的指標(biāo)，而且還有時(shí)間的指標(biāo) 。也就是說，小波系數(shù)不僅像傅立葉系數(shù)那樣，是隨頻率不同而變化的，而且對于同一個(gè)頻率指標(biāo) ，在不同時(shí)刻 ，小波系數(shù)也是不同的。這樣就克服了上面所述的第一個(gè)不足。由于小波函數(shù)具有緊支撐的性質(zhì)，即某一區(qū)間外為零。這樣在求各頻率水平不同時(shí)刻的小波系數(shù)時(shí)，只用到該時(shí)刻附近的局部信息，從而克服了上面所述的第二個(gè)不足。與有限元比較。在這一點(diǎn)，小波插值要比有限元高明。有限元雖然是局部的“單元插值”，但單元之間的公共節(jié)點(diǎn)上，只能保證階連續(xù)，而導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。小波插

9、值可保證二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，只要選三次樣條小波就能做到。第三個(gè)不足，小波分析是如何克服的呢？通過與加窗傅立葉變換的“時(shí)間頻率窗”的相似分析，可得到小波變換的“時(shí)間頻率窗”的笛卡兒積是 （20）其中，時(shí)間窗的寬度為 ，隨著頻率的增大（即 的增大）而變窄，隨著頻率的減?。?的減小）而變寬，之所以有這樣的結(jié)果，關(guān)鍵在于公式（18）中，時(shí)間變量 前面乘了個(gè)“膨脹系數(shù)” 。小波變換的“時(shí)間頻率窗”的寬度，檢測高頻信號時(shí)變窄，檢測低頻信號時(shí)變寬，這正是時(shí)間頻率分析所希望的。根據(jù)小波變換的“時(shí)間頻率窗”的寬度可變的特點(diǎn)，為了克服上面所述的第三個(gè)不足，只要不同時(shí)檢測高頻與低頻信息，問題就迎刃而解了。如，選擇從高頻

10、到低頻的檢測次序，首先選擇最窄的時(shí)間窗，檢測到最高頻率信息，并將其分離。然后，適當(dāng)放寬時(shí)間窗，再檢測剩余信息中的次高頻信息。再分離，再放寬時(shí)間窗，再檢測次次高頻信息，依次類推。為了檢測到不同頻率水平信息，即求出不同頻率水平下不同時(shí)刻的小波系數(shù)，首先要選好小波函數(shù)。選擇小波函數(shù)的“四項(xiàng)原則”。在求小波系數(shù)公式（19）中，如果 是 空間的正交基，則的為的復(fù)共軛。小波分析的最重要的應(yīng)用是濾波，為了保證濾波不失真，小波函數(shù)必須具有線性相位，至少具有廣義線性相位。小波分析的另一重要應(yīng)用是捕捉、分析突變信號，這就要使用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，小波函數(shù)至少是連續(xù)。由前面分析可知，小波函數(shù)必須具有緊支撐的性質(zhì)。所以，正交

11、、線性相位、連續(xù)、緊支撐是選擇小波函數(shù)的“四項(xiàng)原則”。如果選擇某個(gè)小波函數(shù)，同時(shí)滿足四項(xiàng)指標(biāo)，那真是人類的福氣。遺憾的是，上帝像是有意考驗(yàn)我們的數(shù)學(xué)家，沒有將“四合一”的小波函數(shù)“直接”恩賜給人類。數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明，具有正交、線性相位、緊支撐的小波函數(shù)只有 Harr函數(shù)，而Harr函數(shù)是間斷函數(shù)，對于工程應(yīng)用來說，是不理想的。目前，一種傾向是堅(jiān)持正交性。另一種傾向是放棄正交性，另辟途徑，進(jìn)行艱辛的長征，前仆后繼，花費(fèi)了將近半個(gè)世紀(jì)的探索，才使小波分析理論成熟起來，得以在工程中應(yīng)用。作為后人，我們要忠心地感謝他們。為了進(jìn)行小波分解與重構(gòu)，“四合一”的小波函數(shù)不存在，數(shù)學(xué)家們“一分為四”，選擇了四

12、個(gè)函數(shù)，巧妙地解決了這些問題。這四個(gè)函數(shù)是：尺度函數(shù) ，小波函數(shù) ，對偶尺度函數(shù) ，對偶小波函數(shù) 。為什么要選擇四個(gè)函數(shù)呢？由前面小波變換的“時(shí)間頻率窗”分析可知，小波變換的“時(shí)間頻率窗”的寬度，當(dāng)檢測高頻信號時(shí)變窄，檢測低頻信號時(shí)變寬。為了檢測到所有頻率信號，“時(shí)間頻率窗”的寬度必須按一定的次序變化，不失一般性，從窄到寬，檢測頻率信號從高頻到低頻的次序進(jìn)行實(shí)際上也正是這樣的次序。在最高頻率水平 （即根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)的時(shí)間測量間隔 ，最高能檢測到的頻率為 Nyquist 頻率 ），選擇最窄的“時(shí)頻窗”寬度，檢測到原始信號中的最高頻率信號，并將這些信號從原始信號中剝離，存放在空間，而將剝離后的剩余低

13、頻信號的總合，存放在另一空間。然后，增大“時(shí)頻窗”的寬度，再檢測空間中的高頻信息，將這些信號從空間中剝離，存放在空間，而將剝離后的剩余低頻信號的總合，存放在另一空間。依次類推。這就要求有兩個(gè)互相有聯(lián)系的空間： = = , 子空間性質(zhì)簡介：（1） （2） clos () = （3） , 即 （21）（4）（5） （6） 這樣，對于參考子空間，需要單個(gè)函數(shù)在意義 = （22） 上生成，其中， (23）對于參考子空間，需要單個(gè)函數(shù)在意義= clos （24）上生成，其中， （25）首先，這就要求有兩個(gè)函數(shù)： 和 ，前者稱為尺度函數(shù)，后者稱為小波函數(shù)。并且，它們肯定是有關(guān)系的。由（21）中的（1）式可

14、知，由（4）式可知，而：是 的一個(gè)基，所以存在唯一的序列、 （26） （27）并引入記號 = （28） = （29）（26）稱為尺度函數(shù)的“兩尺度關(guān)系”，（27）稱為小波函數(shù)的“兩尺度關(guān)系”，稱為尺度函數(shù)的“兩尺度符號”，稱為小波函數(shù)的“兩尺度符號”。為了由高頻到低頻逐次檢測到不同頻率水平的信息，僅有上述兩個(gè)函數(shù)是不夠的。由前面分析可知，公式（17）中的小波函數(shù)與求小波系數(shù)使用的與作內(nèi)積的函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，除非使用正交的小波函數(shù)。這就要求尋找尺度函數(shù)與小波函數(shù)的對偶函數(shù)：對偶尺度函數(shù) 、對偶小波函數(shù) ，以便分解原始信號時(shí)能求出小波系數(shù)來。對偶關(guān)系簡介與（26）（29）相對應(yīng)，有 （30） （

15、31） = （32） = （33）為了滿足對偶關(guān)系，必須滿足以下對偶條件： = (34) = (35)與（34）、（35）等價(jià)的條件是 ， （36） ， （37） = det ， (38) = det ， (39)其中 ，G(z)為的共軛，為的共軛， = (40) = (41)由（36）和 （38）便可以得到 的基 到 和 中的基分解關(guān)系： （42）由（42）式便可得到頻率水平子空間和中向量坐標(biāo)的分解算法 （43） （44）其中 = （45） （46）根據(jù)兩尺度關(guān)系，便可得到頻率水平子空間 中向量坐標(biāo)的重構(gòu)算法： （47）有了上述的系數(shù)，就可以使用多分辨分析的金字塔算法，快速求出小波系數(shù)。以三

16、次樣條函數(shù)尺度函數(shù) 為例，說明其步驟。1 將投影到上 = （48）2 小波分解算法使用多分辨分析的金字塔算法 / / / （49） （50） = （51） （52） （53）而、是符號多項(xiàng)式、的系數(shù)：= （54）= (55）= （56）3 小波重構(gòu)算法 / / / 在我們研制的小波分析軟件 “XIAOBO ”中，使用的是三次樣條函數(shù)尺度函數(shù)及三次樣條小波（B-小波）。三次樣條小波 = （57）其中 = ，（）（58）階樣條函數(shù)的定義是 ， （59）是區(qū)間0，1的特征函數(shù)。 （60）三次樣條小波具有連續(xù)、緊支撐、廣義線性相位和半正交的性質(zhì)。三次樣條小波是階連續(xù)，用它模擬一個(gè)信號，二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)

17、的,精度極高。三次樣條小波支撐區(qū)間為0，7，三次樣條尺度函數(shù)支撐區(qū)間為0，4。三次樣條小波是對稱函數(shù)，因而具有廣義線性相位，濾波不會(huì)失真。唯一不足的是三次樣條小波不是正交的，只是半正交的，在小波分解中，求小波系數(shù)必須使用其對偶小波 ，對偶小波 的傅立葉變換為 （61） （62）小波分類簡介1 正交小波正交小波的兩個(gè)族與滿足：（1） <> =（2） <> = 0（3） <> = （4） 用振動(dòng)的語言形象的比喻：是 子空間的低階振型，是 子空間的高階振型， ，。2 半正交小波 半正交小波的四個(gè)族、與滿足：(1) <> = (2) <> =

18、 (3) <> = 0, <> = 0，；j,l,k,m 。(4) 是 子空間的低階振型的線性組合，即低階剩余模態(tài)。(5) 是 子空間的高階振型的線性組合，即高階剩余模態(tài)。(6) ， ，(7) 3 小波 小波的與滿足：(1) <> = (2) 正交性都是相對于對偶來說的，本身都不是正交族，只是線性無關(guān)族。神奇的小波分析為了檢驗(yàn)小波分析的能力，在實(shí)測數(shù)據(jù)中疊加上一個(gè)低頻、幅值為原始最大幅值的十分之一的正弦拍波，經(jīng)過小波分解，在和兩個(gè)分辨率水平下都檢測到了這個(gè)波，尤其是 檢測到的正弦拍波曲線，如荷花“出污泥而不染”?。ㄈ?正交小波包與雙正交小波包分析從上面介紹

19、的多分辨分析的金字塔算法進(jìn)行小波分解可以看到，每次分解，都是對進(jìn)行的 ：對 進(jìn)行小波分解，將 分解為 和 ；再 對 進(jìn)行小波分解，將 分解為 和 ，依次類推。而各子空間 不再分解，也就是說，每次都是對低頻進(jìn)行再分解，而高頻不再分解！究其原因，便是 的基向量到 和 基、有分解關(guān)系（42），而的基向量 沒有相應(yīng)的分解關(guān)系。事實(shí)上，與、是線性無關(guān)的 ！顯然，高頻的時(shí)間頻率局部化不是最優(yōu)的。為了克復(fù)這個(gè)缺點(diǎn)，必須使用小波包的分解方法。 無論正交小波包還是雙正交小波包，與小波的最基本的區(qū)別在于它們具有 （63）的關(guān)系。根據(jù)這個(gè)特殊的正交的兩尺度關(guān)系，可以定義關(guān)于尺度函數(shù)的“小波包”： （64）并且，小波

20、包族 具有下屬正交性： < > = (65) < > = 0 (66)因此有分解關(guān)系： ， （67）小波分解中的關(guān)系 （68）現(xiàn)在可以改寫作 （69）并且，（69）式可以由 推廣到任意一 ： （70） = （71）這樣，對于正交小波的小波分解得到的 （72）對于每個(gè)1，2，3，,可以用小波包再分解： （73）雙正交小波包與正交小波包類似，略去。（四） 向量分解小波包簡介 上面介紹了正交小波包與雙正交小波包分解，與小波分解的最基本的區(qū)別在于它們具有（63）式 因而導(dǎo)出了正交小波包和雙正交小波包的分解。正如前面提到的，小波分解與小波包分解的共同點(diǎn)，都是高頻空間的基向量能向低

21、頻空間的基向量分解，若不能分解，便進(jìn)行不下去。如小波分解中，的基向量 沒有相應(yīng)的分解關(guān)系，所以不能再分解。小波包克服了這種弊病，得到了各子空間都能適用的基向量分解關(guān)系式（71），才解決了這個(gè)問題。我們能不能跳出基向量能分解才能分解的框框呢？即，基向量不能分解時(shí)也能分解？答案是肯定的。這就是向量分解小波包的理論?，F(xiàn)在，讓我們從小波重構(gòu)關(guān)系式（47），k=1,2,3,M出發(fā)，導(dǎo)出向量分解小波包的理論。首先，將（47）改寫為矩陣的形式 ： = + （74）其中，矩陣、 由兩尺度序列、中的數(shù)組成。我們把矩陣、的每一列，看成向量空間的一個(gè)向量，把也看成向量空間的一個(gè)向量，那么，就是這些矩陣、的列向量的一

22、個(gè)線性組合： = + （75）問題是，這些矩陣、的列向量是否線性無關(guān)？由分解等式（43）和（44）可知，當(dāng)為零向量時(shí)，k=1,2,3,，這就得出了矩陣、的列向量是線性無關(guān)的結(jié)論。因此，可以把矩陣中的 M 個(gè)列向量看成 M 維向量空間的一組基。找到了M 維向量空間的一組基，就可以對任一M 維向量進(jìn)行分解，找出在這組基下的坐標(biāo)。只要認(rèn)準(zhǔn)被分解的對象是M 維向量空間的一個(gè)向量，而不是再看做 或 中向量的坐標(biāo)。這樣，在小波分解中，不僅得到各頻率水平的坐標(biāo) 可按原來的步驟和方法進(jìn)行分解，而且得到的各頻率水平的坐標(biāo) 也可按向量分解的理論進(jìn)行再分解，并且分解的步驟和方法可以和對坐標(biāo) 進(jìn)行再分解的完全一樣?？?/p>

23、能有人會(huì)產(chǎn)生疑問：前面講到， = ，現(xiàn)在 中的向量怎么又變成 中的向量呢 ？其實(shí)，這里使用了“移花接木”的技巧。我們現(xiàn)在是對 中的向量分解，這是千真萬確的。但，是通過對其坐標(biāo) 的分解來實(shí)現(xiàn)的。也就是說，要求的是等于什么 ？ 而不是 中的向量 等于什么 ？ 中的向量 等于= （76）既然要求的是等于什么，而不是 等于什么，不妨“移花接木”一下，把拿來，虛構(gòu) 中一向量 ， = （77）不就可以對進(jìn)行分解了嗎？反正在分解過程中，使用的是、 ，求的是新的和，而根本就不出現(xiàn)，管它是什么樣子呢！只要保證分解后低頻與高頻分離即可。既然分解，低頻與高頻能分離，那么，分解，同樣低頻與高頻可以分離的。其實(shí)從（74

24、）式中兩個(gè)矩陣、的組成，都是兩尺度序列、中的數(shù)，仔細(xì)分析一下，不難看出，中的列相當(dāng)于低階振型，中的列相當(dāng)于高階振型。以后的工作和小波包的分解類似，只不過這里是直和分解，不是正交分解罷了。前面曾提到，小波分解的第一步，將投影到上（見公式（48）。由于投影到上求小波系數(shù)要解方程，很費(fèi)時(shí)間，所以，好多書上都說，可以近似地把原始數(shù)據(jù)作為小波系數(shù)，誤差不大。用向量分解小波包的理論來看，這并非是近似的，而是精確的！事實(shí)上，使用上面“移花接木”的技巧，虛構(gòu) 中一向量 = （78） 是原始數(shù)據(jù)組成的向量。那末，不就是中的向量的坐標(biāo)嗎？只要對它進(jìn)行分解與重構(gòu)就得了，而且，重構(gòu)后，也用不著通過（78）式求，重構(gòu)得

25、到的，就是原始數(shù)據(jù)組成的向量，兩頭??！ 當(dāng)然，我并非反對投影，而且在捕捉突變奇異信號時(shí)，最靈敏的方法是利用導(dǎo)數(shù)確定，投影到上先求出作為的中的向量的坐標(biāo)，能得到快速的求導(dǎo)方法。但這是另外的問題了。有了向量分解小波包新理論，可以在分解過程中，把各種小波組合到一起，例如，求 時(shí)，可以用三次樣條小波，這樣確保濾波重構(gòu)不失真、求導(dǎo)精度高的長處，在分解的時(shí)候，可使用正交分解的分解序列系數(shù)，以提高分解效率。這樣，上帝雖然沒有將“四合一”的小波函數(shù)“直接”恩賜給人類，但還是間接地恩賜給人類了。我們研制的小波包信號處理軟件，具有三種小波包分解、分解后各頻率水平的分析、64 種濾波重構(gòu)功能及重構(gòu)后的傅立葉變換和奇異信號大小分析功能。三種小波包分別是“向量分解小波包”、“雙正交小波包”和“Daubechies正交小波包”。通過實(shí)例對比，向量分解小波包分析效果遠(yuǎn)比后者好，而且分解速度相當(dāng)快，4096個(gè)點(diǎn)，分解所花 CPU 為0.027 秒。具體實(shí)例見后。圖 一 原始實(shí)測數(shù)據(jù)（4