擴(kuò)充復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)性質(zhì)探討(常超)v

1、樂(lè)山師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）（院）數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 論文題目擴(kuò)充復(fù)平面上的點(diǎn)性質(zhì)探討學(xué)生姓名 常超 指導(dǎo)教師 羅世堯（副教授）班 級(jí) 07級(jí)數(shù)應(yīng)2班 學(xué) 號(hào) 07128037 完成日期：二0一一 年 四 月擴(kuò)充復(fù)平面上的點(diǎn)性質(zhì)探討常 超數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 07128037【摘 要】復(fù)平面中引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)后就是擴(kuò)充復(fù)平面，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)它既具有點(diǎn)的一般性質(zhì)，更具有其獨(dú)特的性質(zhì)，為了更好的研究無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)我們引入了復(fù)球面。本文主要是研究無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)，并且對(duì)這些性質(zhì)作出具體的說(shuō)明，然后總結(jié)了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的三種性質(zhì)并加以推廣?！娟P(guān)鍵詞】無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

2、 幾何性質(zhì) 拓?fù)湫再|(zhì) 極限1 復(fù)球面的兩種引入模型1： 在復(fù)球面）取定球面上一點(diǎn)，稱為北極。作連接與平面上任一點(diǎn)的直線，并且設(shè)這條直線與球面的交點(diǎn)是，這樣就建立起球面上的點(diǎn)（不包括北極點(diǎn)）與復(fù)平面上的點(diǎn)間的一一對(duì)應(yīng)。考慮平面上一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓周，在球面上對(duì)應(yīng)的也是一個(gè)圓周（即是緯線）。當(dāng)圓周的半徑越大時(shí)，圓周就越趨近于北極。所以，北極可以看成是與平面上的一個(gè)模為無(wú)窮大的假想點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)，而這個(gè)假想點(diǎn)我們就稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，記為。復(fù)平面上加上點(diǎn)后稱為擴(kuò)充復(fù)平面，常記作，.與它對(duì)應(yīng)的就是整個(gè)球面，稱為復(fù)球面。復(fù)球面是研究無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的模型。模型2：無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的引入，拓寬了復(fù)平面的范圍，從而拓寬了后續(xù)知識(shí)

3、在復(fù)平面上的討論范圍。無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的引入除了引言中的方法外還有常見的半球面引入，以下作出簡(jiǎn)要說(shuō)明。在復(fù)球面）取定球面上一點(diǎn)，稱為北極。做連接與平面上任一點(diǎn)的直線，并且設(shè)這直線與球面的交點(diǎn)是，這樣就建立起球面上的點(diǎn)（不包括北極點(diǎn)）與復(fù)平面上的點(diǎn)間的一一對(duì)應(yīng)。如果一點(diǎn)的模愈大，那么它的球極射影就愈接近于球極。由于在球上只有一個(gè)球極，我們約定復(fù)平面上有一個(gè)理想的點(diǎn)，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，記為。復(fù)平面上加上點(diǎn)后稱為擴(kuò)充復(fù)平面，常記作，.與它對(duì)應(yīng)的就是整個(gè)半球面，稱為復(fù)球面。復(fù)球面是研究無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的模型。2 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)21 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的運(yùn)算規(guī)定及幾何性質(zhì)文獻(xiàn)1對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的數(shù)值運(yùn)算做出了以下規(guī)定：加減法：乘法： 除法

4、：在此定義下，沒有意義。的實(shí)部、虛部及幅角都沒有意義，。在擴(kuò)充復(fù)平面上，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是一個(gè)很抽象的點(diǎn)。我們?yōu)榱烁忧逦姆治鰺o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)所以建立了復(fù)球面模型。有了復(fù)球面，我們可以更加直觀的了解無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的來(lái)歷，把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)具體化。對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和復(fù)平面上的某個(gè)點(diǎn)之間的運(yùn)算是可以像如上那樣運(yùn)算的。無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)假想的點(diǎn)，但是這個(gè)點(diǎn)卻非常特殊，它不可能具體刻畫出它的具體位置，所以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的實(shí)部、虛部、以及幅角均是沒有意義的。實(shí)際上就是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的實(shí)部、虛部、以及幅角都存在但是無(wú)法確定。無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)除了以上規(guī)定的幾何運(yùn)算性質(zhì)外，在實(shí)際應(yīng)用中它還有其他非常重要的幾何性質(zhì)。性質(zhì)2.1 復(fù)平面上每一條直線都通過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

5、（）。直線是由上的一個(gè)點(diǎn)以及直線的方向向量決定的，而且直線具有無(wú)限延伸性。我們可以如圖2所示，建立復(fù)平面上任意一條直線上的點(diǎn)與復(fù)球面之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。直線上的每一點(diǎn)與北極點(diǎn)連接后并與復(fù)球面相交，最后這些連續(xù)的點(diǎn)在復(fù)球面上形成一個(gè)旋轉(zhuǎn)的曲線。 由于直線的無(wú)限延伸性，我們可以把直線看成是過(guò)復(fù)平面上以原點(diǎn)為圓心的圓周的直徑。根據(jù)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的定義，當(dāng)圓周的直徑越大，在球面上所對(duì)應(yīng)的圓周就越趨近于北極。所以，直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)處，必然存在點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)重合，直線經(jīng)過(guò)復(fù)球面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（）。圖2性質(zhì)2.2 在復(fù)平面上，任何半平面不包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（）。文獻(xiàn)2對(duì)半平面做出如下定義：是直線上的任意一點(diǎn)，是直線的方向向量，

6、那么，由于，是實(shí)數(shù)，這就對(duì)于上的有， 即直線可以表示成，那么集合及就表直線的右半平面和左半平面。即在復(fù)平面上一條直線把復(fù)平面劃分成的某個(gè)部分就稱為半平面。 從半平面的定義中可以知道，任何一個(gè)半平面都不包含一條完整的直線。而從性質(zhì)1可以知道任何一條直線都通過(guò)，而半平面上沒有一條直線可以肯定半平面上不包含。圖32.2無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的拓?fù)湫再|(zhì)擴(kuò)充復(fù)平面實(shí)際上是一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，那么無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在擴(kuò)充復(fù)平面上具有特殊的拓?fù)湫再|(zhì)。無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域是指復(fù)球面上以北極為圓心的一個(gè)圓，即滿足的點(diǎn)z（包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)）的集合。引理2.3 若復(fù)平面上一點(diǎn) (不必屬于點(diǎn)集)的任意鄰域都有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則稱為的聚點(diǎn)；若屬于，但非的聚

7、點(diǎn)，則稱是的孤立點(diǎn)；若不屬于又非的聚點(diǎn)，則稱是的外點(diǎn)。引理2.4 若在點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)，同時(shí)有屬于點(diǎn)集和不屬于點(diǎn)集的點(diǎn)，則稱為的邊界點(diǎn)。性質(zhì)2.5復(fù)平面上以為其唯一的邊界點(diǎn)；擴(kuò)充復(fù)平面上以為內(nèi)點(diǎn)，且它是唯一的無(wú)邊界區(qū)域。證明： 復(fù)平面不包含，但是的任意鄰域內(nèi)都有復(fù)平面的點(diǎn)和不包含在復(fù)平面上的，所以復(fù)平面上以為邊界點(diǎn)。假設(shè)復(fù)平面上存在點(diǎn)是它的邊界點(diǎn)，根據(jù)邊界點(diǎn)的定義可以知道，點(diǎn)必然不在復(fù)平面上，而這與復(fù)平面定義矛盾。所以是復(fù)平面是唯一邊界點(diǎn)。擴(kuò)充復(fù)平面上包含，即是擴(kuò)充復(fù)平面的內(nèi)點(diǎn)。根據(jù)引理知道是唯一的無(wú)邊界區(qū)域。定義得證。引理2.6 設(shè)為復(fù)平面上的區(qū)域，若在內(nèi)無(wú)論怎樣畫簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部全含于，則

8、稱為單連通區(qū)域。這是復(fù)平面上單連通區(qū)域的定義，它可以一字不差的推廣到擴(kuò)充復(fù)平面上來(lái)：設(shè)為擴(kuò)充復(fù)平面上的區(qū)域，若在內(nèi)無(wú)論怎樣畫簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部全含于，則稱為單連通區(qū)域。然而，由于擴(kuò)充復(fù)平面中的引入，使得許多在復(fù)平面上是多聯(lián)通區(qū)域在擴(kuò)充復(fù)平面上變成了單連通區(qū)域。例如：在復(fù)平面上定義的區(qū)域就是一個(gè)多聯(lián)通區(qū)域；當(dāng)在擴(kuò)充復(fù)平面上定義區(qū)域就是一個(gè)單連通區(qū)域，因?yàn)閷儆跀U(kuò)充復(fù)平面，此時(shí)滿足單連通的定義。所以，在探究一個(gè)無(wú)界區(qū)域是否是單連通時(shí)，需要考慮是否在這個(gè)平面上。波爾查諾·維爾斯特拉斯定理：每一個(gè)有界無(wú)窮點(diǎn)集，至少有一個(gè)聚點(diǎn)。閉集套定理：設(shè)無(wú)窮閉集列。至少一個(gè)為有界且，則必有唯一的一點(diǎn)。海涅&

9、#183;波萊爾覆蓋定理：設(shè)有界閉集的每一點(diǎn)都是圓的圓心,則這些圓中必有有很個(gè)圓把蓋住，即: 的每一點(diǎn)至少屬于這有限個(gè)圓中的一個(gè)。在擴(kuò)充復(fù)平面上，上述四個(gè)定理可以推廣為：命題2.7擴(kuò)充復(fù)平面上每一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)集，至少有一個(gè)聚點(diǎn)。證明：若無(wú)窮點(diǎn)集無(wú)界，則無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)就是其聚點(diǎn)。命題2.8設(shè)擴(kuò)充復(fù)平面上無(wú)窮閉集列，則至少有一點(diǎn)。證明：若每一個(gè)閉集無(wú)界，則無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)屬于每一個(gè)。命題2.9設(shè)擴(kuò)充復(fù)平面上閉集的每一點(diǎn)都是圓的圓心。則這些圓中必有有限個(gè)圓把蓋住。即：的每一點(diǎn)至少屬于這有限個(gè)圓中的一個(gè)。證明：若閉集無(wú)界。則至少有一個(gè)圓的圓心是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) ，設(shè)這個(gè)圓為，因?yàn)閳A是開集。故是有界閉集，由海涅·波菜爾

10、覆蓋定理知命題成立。由點(diǎn)集拓?fù)涞弥鲜鋈齻€(gè)命題成立。事實(shí)上，復(fù)平面不是緊致空間，而擴(kuò)充復(fù)平面(拓?fù)鋵W(xué)上稱為復(fù)平面的一點(diǎn)緊化)是緊致空間。因?yàn)槊恳粋€(gè)緊致空間都是列緊空間，而列緊空間中的每一個(gè)無(wú)限子集都有聚點(diǎn)，故命題l成立；緊致空間上每一個(gè)具有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空交可知，命題2成立，因?yàn)榫o致空間中的每一個(gè)閉子集都是緊致子集。而且緊致子集的任意開覆蓋都有有限子覆蓋，故命題3成立。2.3復(fù)變函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限性質(zhì)引理2.10 (點(diǎn)列的收斂)如果對(duì)于，一個(gè)下標(biāo)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)都有，那么點(diǎn)列向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)收斂，記為。這種說(shuō)法可以理解為，序列的點(diǎn)列在復(fù)球面上的投影點(diǎn)是不斷向球面的北極靠攏的。在復(fù)球面上除去無(wú)

11、窮遠(yuǎn)點(diǎn)外的任意一點(diǎn)都可以找到另外一點(diǎn)比它還要大，直到無(wú)限趨近于北極點(diǎn)，即無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。引理2.11設(shè)函數(shù)于復(fù)平面上的點(diǎn)集上有定義，為的聚點(diǎn)。如果存在一復(fù)數(shù)，使對(duì)任給的，有，只要，就有，則稱函數(shù)沿于有極限，并記為。引理5是定義在復(fù)平面上的，這個(gè)引理可以推廣到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)上來(lái)。引理2.12無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限定義) 設(shè)函數(shù)于擴(kuò)充復(fù)平面上的點(diǎn)集上有定義，為的聚點(diǎn)。如果存在一復(fù)數(shù)，使對(duì)任給的，有，只要，就有，則稱函數(shù)沿于有極限，并記為關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限的幾何意義，可以這樣來(lái)理解。當(dāng)進(jìn)入的充分小的鄰域時(shí)，它們的像點(diǎn)就落入的一個(gè)給定鄰域內(nèi)。根據(jù)引理5，可以知道為的聚點(diǎn)，也就是說(shuō)函數(shù)的定義域既可以包含，也可以不包含。而且

12、，函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限還有以下性質(zhì)。性質(zhì)2.13 (唯一性) 若極限存在，則此極限是唯一的證 設(shè)M、N都是當(dāng)時(shí)的極限，則對(duì)任給的，分別存在正數(shù)與，使得：當(dāng)時(shí)有， (1) 當(dāng)時(shí)有 ， (2) 取，則當(dāng)時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有 由的任意性得M=N，這就證明了極限是唯一的.性質(zhì)2.14 若存在，則在的某去心鄰域內(nèi)有界 證 設(shè)，的去心鄰域?yàn)?取，則存在使得對(duì)一切有 ，這就證明了在U內(nèi)有界 性質(zhì)2.15 在的極限存在，那么其和、差、積、商（分母不為0）在的極限任然存在，而且滿足：（1）（2）（3）若，那么證明：設(shè)（1） 由可知當(dāng)時(shí)有，可知當(dāng)時(shí)有所以即減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，故可以用以上的

13、逆運(yùn)算既可以證明。(2) 由可知當(dāng)時(shí)有，可知當(dāng)時(shí)有所以 即得證，（3）由可知當(dāng)時(shí)有，可知當(dāng)時(shí)有所以3總結(jié) 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是復(fù)數(shù)函數(shù)中的重要概念。引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)拓寬了我們研究復(fù)數(shù)函數(shù)的范圍。本文總結(jié)了常見的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的引入原理以及說(shuō)明了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)歷。討論了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的幾何性質(zhì)、拓?fù)湫再|(zhì)以及極限的性質(zhì)。當(dāng)然，還有許多無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)需要我們?nèi)ヌ接憽！緟⒖嘉墨I(xiàn)】【1】 余家榮.復(fù)變函數(shù)（第四版）M.天津理工學(xué)院學(xué)報(bào),2007，810.【2】 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)M.北京:高等教育出版社,2009,203209，231234.【3】 M.A.拉夫連季耶夫。復(fù)變函數(shù)論方法（第六版）M高等教育出版社，20

14、06,6567【4】鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書M.高等教育出版社1988【5】馬忠軍.復(fù)變函數(shù)中的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)J.桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2007,318320【6】白鴻武.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域問(wèn)題J.咸陽(yáng)師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2001.7374【7】王韶麗.極限過(guò)程的統(tǒng)一J.邢臺(tái)師范高專學(xué)報(bào)，2002.56【8】戴勇.關(guān)于射影直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)J.黔南民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)。2010,47Properties of Infinite Point in Extended Complex PlaneChang Chao【Abstract】The infinite point in the complex plane is the extended complex plane, infinite point, has the common properties of point, and also its distinctive properties. In order to research properties of infinite point, we introduce the complex sphere. The major research of this paper is to study pro