淺談線性代數(shù)與空間解析幾何

1、畢業(yè)論文線性代數(shù)論文題 目 淺談線性代數(shù)與空間解析幾何 班 級(jí) 1401018 學(xué) 生 郭雅楠 學(xué) 號(hào)二一五年七月九日- - 2 - -摘要在我們的學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)和空間解析幾何中有很多相似之處。確切的說(shuō)是線性代數(shù)中的一些理論是從空間解析幾何中發(fā)展和改進(jìn)而來(lái)的。比如說(shuō)通過(guò)空間解析幾何中多元一次方程組的解法線性代數(shù)提出了行列式，使行列式有了幾何意義，同時(shí)是行列式直觀化。也是通過(guò)行列式，多元方程組的解答更便捷、快速。又比如在線性代數(shù)中先后提出來(lái)線性空間、歐氏空間。線性空間也將向量做了推廣，使向量抽象化。歐氏空間也在線性空間的基礎(chǔ)上提出內(nèi)積，使幾何空間中的向量的

2、一些度量性質(zhì)推廣化，等等，這樣的例子很多很多。總體來(lái)說(shuō)線性代數(shù)與空間解析幾何是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的?？梢愿_切一點(diǎn)的說(shuō)是空間解析幾何是線性代數(shù)的基石，而線性代數(shù)是空間解析幾何的推廣和并使之抽象化。 關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 解析幾何 歐氏空間 聯(lián)系 促進(jìn) Abstract In our study process, we can find linear algebra and space analytic geometry have much in common. Exactly linear algebra theory from some of the space analytic geomet

3、ry in development and improvement. For example, by space analytic geometry in a multiple linear algebra equations solution method proposed determinants, make the determinant with geometric meaning, at the same time, is the determinant direct. Also through the determinants, multiple equations solutio

4、n more convenient, fast. For instance in linear algebra and linear space, has brought out the Euclidean space. The linear space will also vector do promotion, make vector abstraction. Euclidean space in linear space is put forward based on the dot product, make the geometry of space vector of the so

5、me measure properties of promotion, and so on.Key words：Linear Algebra; Analytic Geometry; Euclidean Space; Contact; Promotion一.引言在十七世紀(jì), 笛卡爾及費(fèi)馬在幾何空間中引入了坐標(biāo)系, 從而在幾何與代數(shù)間建立了一座橋梁, 用代數(shù)方法解決空間的幾何問題, 產(chǎn)生了解析幾何. 解析幾何的產(chǎn)生, 可以說(shuō)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次飛躍.恩格斯曾經(jīng)這樣評(píng)價(jià)1: 數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù), 有了變數(shù), 運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué), 有了變數(shù), 辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué), 有了變數(shù), 微分和積分也就成了必

6、要的了.從代數(shù)與幾何的發(fā)展歷史來(lái)看，線性代數(shù)與解析幾何從來(lái)就是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的。解析幾何中以代數(shù)為工具，解析幾何中的很多概念、方法都是應(yīng)用線性代數(shù)的知識(shí)來(lái)定義來(lái)刻畫、描述和表達(dá)的。例如，解析幾何中的向量的共線、共面的充分必要條件就是用線性運(yùn)算的線性相關(guān)來(lái)刻畫的，最終轉(zhuǎn)化為用行列式工具來(lái)表述，再如，解析幾何中的向量的外積（向量積）、混合積也是行列式工具來(lái)表示的典型事例。線性代數(shù)中的許多知識(shí)點(diǎn)的引入、敘述和刻畫亦用到解析幾何的概念或定義。例如線性空間的概念表述就是以解析幾何的二維、三維幾何空間為實(shí)例模型。從概念的內(nèi)涵的外延來(lái)看，兩門課之間存在著特殊與一般的關(guān)系，解析幾何的一、二、三維空間是線性

7、代數(shù)n維空間的特例，而線性空間的大量理論又是來(lái)源于一、二、三維幾何空間的推廣（抽象）。平面方程及平面間的位置關(guān)系與線性方程組的理論，二次曲線，二次曲面的化簡(jiǎn)與代數(shù)中的二次型理論，幾何與代數(shù)中歐氏空間的理論等等。因此它們的關(guān)系可以歸納為“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景”。通過(guò)對(duì)線性代數(shù)和解析幾何的學(xué)習(xí)和研究中，我們可以看到解析幾何和線性代數(shù)中有著緊密的聯(lián)系，運(yùn)用解析幾何來(lái)分析線性代數(shù)更直觀。同時(shí)，線性代數(shù)也是解析幾何的一個(gè)發(fā)展、拓寬，比如說(shuō)歐氏空間。運(yùn)用線性代數(shù)的解題方法來(lái)解答解析幾何中的一些問題更加簡(jiǎn)便、快捷，比如說(shuō)運(yùn)用行列式的計(jì)算來(lái)解答多元方程組問題。二正文1 線性代數(shù)中一些

8、概念的幾何直觀解釋：1.1 關(guān)于行列式的幾何背景2設(shè)=(),=(),=();兩個(gè)向量的向量積可以用行列式寫為，它在幾何上表示的是與,向量都垂直且成右手系的向量。三個(gè)向量的混合積可以用行列式（）=（）=表示為圖1平行六面體。此行列式的幾何解釋是它的絕對(duì)值等于以它們3個(gè)向量為相鄰棱所作的平行六面體的體積(如圖1)。圖1平行六面體特別地,當(dāng)(,)=0時(shí),由于平行六面體的體積為零。所以 由此可得:過(guò)平面上兩點(diǎn)(), ()的直線方程為推廣空間中有不在同一直線上的三點(diǎn)(xi,yi,zi)(i=1,2,3)的平面方程為1.2 關(guān)于正交變換的幾何意義 在二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),可以采用可逆變換或正交變換,但由于可

9、逆變換對(duì)應(yīng)于仿射坐標(biāo)系的變換,正交變換則對(duì)應(yīng)于直角坐標(biāo)系的變換,所以區(qū)別比較大。例如: ：通過(guò)可逆線性變換化成,即橢球面變成了球面。通過(guò)線性變換,化成,即橢球面變成了圓柱面。而正交變換保持向量長(zhǎng)度和角度不變,因此幾何圖形不變。所以在討論二次方程決定的圖形時(shí),必須用正交變換;如果只考慮它所屬類型時(shí),可以用可逆變換(當(dāng)然包括正交變換)。還應(yīng)注意正交變換中:當(dāng)正交陣的行列式表示為1時(shí),是旋轉(zhuǎn)變換;當(dāng)正交陣的行列式為-1時(shí),為鏡面反射變換。1.3 關(guān)于正交化的幾何解釋線性無(wú)關(guān)的向量組可以由Schmidt正交化得到與其等價(jià)的正交組,它的幾何解釋為,如果有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量則可以通過(guò)Schmidt正交化得

10、到相應(yīng)的3個(gè)正交向量。這里, , ,其中2為2在1上的投影向量;3為3在1、2所確定的平面上的垂直投影向量。2 向量組線性相關(guān)(無(wú)關(guān))與幾何中向量共面、共線之間的關(guān)系3 若,是三維空間的向量,則:線性相關(guān);,線性相關(guān);,線性相關(guān)分別對(duì)應(yīng)于幾何直觀的為零向量;,共線;,共面。因此,一維空間的基是空間中任意一個(gè)非零向量;二維空間的基是空間中兩個(gè)不共線向量;三維空間的基是空間中3個(gè)不共面的向量組成的。例.1 在三維空間中有向量,OA =(),OB =(),OC =(),那么,A,B,C共線的充分必要條件是什么?解:過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線方程為顯然,當(dāng)且僅當(dāng)C點(diǎn)滿足此方程時(shí),A,B,C共線,即存在t,使得

11、OC =(1-t)OA +tOB ,于是,A,B,C共線.當(dāng)且僅當(dāng)OA ,OB ,OC 中某一向量可以由其余向量線性表示,而且表出系數(shù)之和為1。3 線性方程組與直線、平面的位置關(guān)系 空間直線、平面的位置關(guān)系為線性方程組的結(jié)構(gòu)理論提供了直觀的幾何解釋,同樣線性代數(shù)中的線性方程組的結(jié)構(gòu)理論對(duì)深刻領(lǐng)會(huì)直線、平面的位置關(guān)系起到重要作用。4例.2已知平面上有三條不同的直線，它們的直線方程分別為 ,試證這3條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a+b+c=0。5證明:必要性,設(shè)3條直線l1, l2, l3相交于一點(diǎn). 則線性方程組有唯一解,故系數(shù)矩陣A=與增廣矩陣的秩均為2,于是|=0,由于但是(a-b)2+(b

12、-c)2+(c-a)20,a+b+c=0充分性:由a+b+c=0,則從必要性的證明可知: |=0,故:秩()<3。由于,故: ,于是, 。因此線性方程組有唯一解,即,3條直線l1, l2, l3相交于一點(diǎn)。4 線性代數(shù)中解析幾何的幾種應(yīng)用或原理4.1 行列式幾何意義的應(yīng)用將n元一次線性方程組下面先通過(guò)一個(gè)二維圖形說(shuō)明如何來(lái)確定這些仿射坐標(biāo).從圖2可以看出,以與2為鄰邊組成的平行四邊形有向面積與以x11與2為鄰邊組成的平行四邊形有向面積相等.這是因?yàn)閮蓚€(gè)平行四邊形均是以2為底,h為高.因此,易于看出它們中每一個(gè)的有向面積與以1,2為鄰邊的平行四邊形有向面積之比均為x1.同理,可以看出x2與

13、哪些平行四邊形的有向面積之比相關(guān).因?yàn)檫@些平行四邊形的有向面積可以由行列式給出,所以由以上分析立刻可以“看出”如下結(jié)果推廣到一般n維空間的情況,即有當(dāng)a0時(shí),顯然h(x) >0;當(dāng)0< a <時(shí),由圖2仿射坐標(biāo)4.2 二次型與二次曲面和二次曲線的聯(lián)系 在解析幾何中，我們看到，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與中心重合時(shí)，一個(gè)有心二次曲線的一般方程是a+2bxy+c=f (1) 為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕嵌茸鬓D(zhuǎn)軸（反時(shí)針方向轉(zhuǎn)軸）x=cos-sin;y=sin+cos (2) 把方程（1）化為標(biāo)準(zhǔn)方程。在二次曲面的研究中也有類似情況。從代數(shù)角度看，所謂化標(biāo)準(zhǔn)方程就是用變

14、量的線性代換（2）化簡(jiǎn)一個(gè)二次其次多項(xiàng)式，使它只含有平方項(xiàng)。二次型就是在這個(gè)基礎(chǔ)上提出來(lái)的。就譬如說(shuō)二次曲面吧。研究二次曲面：的形狀,可以利用矩陣運(yùn)算,把方程寫為其中這里, i,j=1,2,3。再利用實(shí)對(duì)稱矩陣可以正交相似對(duì)角化知,有正交變換x=Qy,使得：這樣則 由于正交變換對(duì)應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)不動(dòng)的坐標(biāo)軸的變換,因此,方程中的常數(shù)項(xiàng)不變。于是就可據(jù)此用解析幾何討論圖形的形狀。二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形可以利用解析幾何中二次曲線，二次曲面來(lái)直觀表示；同時(shí)，一些二次曲面，二次曲線的化為標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)可以運(yùn)用線性代數(shù)中的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法來(lái)簡(jiǎn)化，例如配方法、初等變換以及正交變換。例.3 ：化簡(jiǎn)二次曲面2xy+

15、2xz-6yz=0可利用二次型中的初等變換，配方法或正交變換來(lái)化簡(jiǎn)。比如初等變換f(x,y,z)= 2xy+2xz-6yzA=則由=故原二次曲面經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)為2-2+6=0.正交變換也可以。4.3 歐氏空間的幾何理論 在線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算只有加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱為線性運(yùn)算。如果我們以幾何空間中的向量作為線性空間理論的一個(gè)具體模型，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)向量的度量性質(zhì)，如長(zhǎng)度、夾角等。6在解析幾何中我們看到，向量的長(zhǎng)度、夾角等度量性質(zhì)都可以通過(guò)向量的內(nèi)積來(lái)表示，而且向量的內(nèi)積有明顯的代數(shù)性質(zhì)。在這種情況下，歐幾里得空間（即歐氏空間）應(yīng)運(yùn)而生。結(jié)論：線性代數(shù)與解析幾何密不可分。在求解空間解析幾何的問題中，線性代數(shù)發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。二者是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的。三.參考文獻(xiàn)【1】中國(guó)大百科全書數(shù)學(xué)編輯委員會(huì). 中國(guó)大百科全書, 數(shù)學(xué)卷M . 北京: 中國(guó)大百科全書出版社,