第三章中值定理及導數(shù)的應用(中)

1、1第三章第三章中值定理及其應用（中）中值定理及其應用（中）21) lim ( )lim( )0 xaxaf xF x ( )3) lim( )xafxF x 存在存在 (或為或為 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xF x 2)( )( )( ),f xF xa 與與在在內(nèi)內(nèi)可可導導( )0F x 且且定理定理 1.(洛必達法則洛必達法則) 推論推論1. 定理定理 1 中中xa換為換為,xa ,xa ,x x 之一之一,推論推論 2. 若若( )lim( )fxF x 0,( ),( )0fx F x 仍仍屬屬型型 且且滿滿足足定定理理1條件條件, 則則( )( )l

2、imlim( )( )f xfxF xF x ( )lim( )fxFx 條件條件 2) 作相應的修改作相應的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x 二、洛比達法則及其應用二、洛比達法則及其應用31) lim( )lim( )xaxaf xF x ( )3) lim( )xafxF x 存在存在 (或為或為)( )lim( )xaf xF x定理定理 2.( )lim( )xafxF x (洛必達法則洛必達法則)2)( )( )( ),f xF xa 與與在在內(nèi)內(nèi)可可導導( )0F x 且且說明說明: 定理中定理中xa換為換為之一之一,條件條件 2) 作相應的修改作相應的修改 , 定理

3、仍然成立定理仍然成立.,xa ,xa ,x x ,x 4例例130sincos limsinxxxxx 計計算算解解原原式式0 xxxeln1lim xxxelnlim 01.e xxx1lim例例230sincoslim,xxxxx 30(sincos )lim()xxxxx = =20coscossinlim3xxxxxx 2201lim.33xxx 用用羅羅比比達達法法則則1 limxxx 計計算算解解1limxxe lim1nnn 5注意：注意：1)條件充分但不必要條件充分但不必要.洛必達法則的使用條件洛必達法則的使用條件.( )lim(),( )fxF x 若若不不存存在在時時( )

4、( )limlim.( )( )f xfxF xF x 例如例如,sinlimxxxx 1 coslim1xx 極限不存在也極限不存在也不是無窮大不是無窮大sinlim(1)xxx 1 2)對有些極限失效對有些極限失效對對數(shù)列數(shù)列極限極限失效失效.對對( )lim()( )f xg x 不存在不存在時時失失效效.6有時有時出現(xiàn)循環(huán)，出現(xiàn)循環(huán)，這時羅比達法則這時羅比達法則失效失效.如：如： xxxxxeeeelim事實上：事實上： xxxxxeeeelim有時會有時會越用越復雜，越用越復雜，這時這時不必不必用羅比達法則用羅比達法則. xxxxxeeeelimxxxxxeeee lim. 111l

5、im22 xxxee如：如： xxxx3sincos1seclim220 xxxx3sincostanlim220 220)3(coslimxxxx.91cos91lim0 xx73)用洛必達法則之前應先用洛必達法則之前應先(1)檢查極限的類型是否為檢查極限的類型是否為(2)結(jié)合以前的方法化簡函數(shù)，結(jié)合以前的方法化簡函數(shù)，00 型型、 型型注意：注意： 洛必達法則是求未定式的一種有效方法，洛必達法則是求未定式的一種有效方法，它求極限方法結(jié)合使用，效果更好它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. 小代換、重要極限、變量代換，極限的運算法則等小代換、重要極限、變量代換，極限的運算法則等.常用的有等價無窮常

6、用的有等價無窮但與其但與其四則法則、變量代換等四則法則、變量代換等.如等價無窮小代換、如等價無窮小代換、8三、函數(shù)單調(diào)性的判別法三、函數(shù)單調(diào)性的判別法若若),( bax 有有，0 )(xf 若若),( bax 有有，0 )(xf 設函數(shù)設函數(shù))(xfy 在在,ba上上連續(xù)連續(xù)，),(ba內(nèi)內(nèi)可導可導，在在則則)(xf在在上上單調(diào)增加單調(diào)增加. .,ba則則)(xf在在上上單調(diào)減少單調(diào)減少. .,ba注意：判別法的條件是充分條件而非必要條件注意：判別法的條件是充分條件而非必要條件.3(-,)yx 如如: :在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加，而而23yx 0 ，0.y 卻卻不不是是問題：問題：00()0,

7、( )fxfxx 若若必必有有在在的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加？錯！錯！一個點不存在單調(diào)一個點不存在單調(diào)性性.9四、函數(shù)的極值四、函數(shù)的極值，)()(0 xfxf 0 x設函數(shù)設函數(shù))(xf在點在點的某個鄰域內(nèi)有定的某個鄰域內(nèi)有定對于該鄰域內(nèi)異于對于該鄰域內(nèi)異于0 x的點的點，x如果對適合不等式如果對適合不等式則稱函數(shù)在點則稱函數(shù)在點0 x有有),(0 xf如果對適合不等式如果對適合不等式，)()(0 xfxf 函數(shù)在點函數(shù)在點0 x有有),(0 xf0 x將點將點則稱則稱0 x點點義，義，10極值與最值的區(qū)別：極值與最值的區(qū)別：是對整個區(qū)間而言，是對整個區(qū)間而言，絕對的、絕對的、是對某個

8、點的鄰域而言、是對某個點的鄰域而言、相對的、可以不是唯一的相對的、可以不是唯一的. .如何求極值？如何求極值？觀察圖形知：觀察圖形知：是整體的、是整體的、唯一的唯一的. .是局部的、是局部的、110 x)(xf在點在點處處且在點且在點. 0)(0 xf0 x)(xf,3xy , 00 xy0 x0 x0 x0 x,xy 0 x12,31xy 0 x13設設函數(shù)函數(shù))(xf的極值的極值的一個鄰域內(nèi)的一個鄰域內(nèi)在在0 x0(x可除外可除外)可導可導. .到大到大經(jīng)過點經(jīng)過點0 x時，時， 若若(1)(1)在在0 x的兩側(cè)，的兩側(cè)，)(xf ，)(0 xf則則是是(2)(2)在在0 x的兩側(cè)，的兩側(cè)

9、，)(xf )(0 xf則則是是)(xf 在在0 x的兩側(cè)，的兩側(cè)，(3)(3)則則0 xxyoxyo0 x0 x xyo0 x 當當x由小由小，0 x為為xyo0 x 0 x設函數(shù)設函數(shù))(xf在點在點處具有處具有二階導數(shù)，二階導數(shù)，0)(0 xf那么那么0(1,)0( )fx 當當時時0 x函數(shù)函數(shù))(xf在點在點處取得處取得極大值極大值；(2)當當0)(0 xf時，時，0 x函數(shù)函數(shù))(xf在點在點處取得處取得極小值極小值. .，0)(0 xf且且( )f x問題：問題：00()0fxx 的的點點 是是否否為為極極值值點點？不不一一定定14五、函數(shù)的最值五、函數(shù)的最值1.1.閉區(qū)間閉區(qū)間

10、 a,b 上連續(xù)函數(shù)的最值的求法上連續(xù)函數(shù)的最值的求法 (比較法比較法)步驟步驟: :(1)求求駐點駐點和和不可導點不可導點;(2)求區(qū)間求區(qū)間端點端點及及駐點駐點和和不可導點不可導點的的函數(shù)值函數(shù)值, ,就是最小值就是最小值; ;比較大小比較大小,最大的數(shù)就是最大值最大的數(shù)就是最大值, ,最小的數(shù)最小的數(shù)152.)(xf在在 ba,上上連續(xù)，連續(xù)， 在在),( ba內(nèi)可導，內(nèi)可導， 且只有且只有一個駐一個駐點，點， 它是極大它是極大( (小小) )點，點， 則它則它一定是最大一定是最大( (小小) )值點值點. .3.對于實際問題，對于實際問題，且知且知最最若在一定區(qū)間內(nèi)有若在一定區(qū)間內(nèi)有唯

11、一駐點唯一駐點，大大( (小小) )值一定存在，值一定存在， 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得，而且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得， 那么那么可以可以不必討論是否為極值，不必討論是否為極值， 就可就可斷定該點就是斷定該點就是最大最大(小小)值點值點.六、曲線的凹凸性和拐點六、曲線的凹凸性和拐點xyo( )yf x 1x2xxyo1x2x( )yf x 16yox2x1x221xx 1.定義：定義：( )f xI設設函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上連連續(xù)續(xù)，12,xxI ，(1) 若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，( )f x則則稱稱的的圖圖形形是是凹凹的的；(2) 若恒有若恒有1212()()

12、()22xxf xf xf ，( )f x則則稱稱的的圖圖形形是是凸凸的的；yox1x221xx 2x連續(xù)曲線上有切線的連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為凹凸分界點稱為拐點拐點 .yox注意注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.172.凹凸區(qū)間的求法凹凸區(qū)間的求法如果如果)(xf在在),(ba內(nèi)具有二階導數(shù)，內(nèi)具有二階導數(shù)， 若在若在),(ba內(nèi)內(nèi)(1), 0)( xf(2), 0)( xf則曲線則曲線在在),(ba內(nèi)是內(nèi)是凹的凹的. .)(xf)(xf則曲線則曲線在在),(ba內(nèi)是內(nèi)是凸的凸的. .注意：注意： 該定理換成其它區(qū)間仍然成立該定理換成其它區(qū)間仍然成立

13、.3.拐點的求法拐點的求法(第一充分條件第一充分條件)0( ),f xx設設在在處處連連續(xù)續(xù)0,x在在的的左左右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導導0(1)( ),xfx 若若在在兩兩側(cè)側(cè)異異號號 00,()( );xf xf x則則點點為為的的拐拐點點0(2)( ),xfx 若若在在兩兩側(cè)側(cè)同同號號 00,()( ).xf xf x則則點點不不是是的的拐拐點點18拐點的求法拐點的求法(第第2充分條件充分條件)00()0 () 0 fxfx 設設且且 00,()( );xf xf x則則點點為為的的拐拐點點七、曲線的漸近線七、曲線的漸近線1.1.水平漸近線水平漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線平行于平行

14、于 x lim( ),xxxf xb 若若yb 則則為為水水平平漸漸近近線線；2.2.垂直漸近線垂直漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線垂直于垂直于 xlim( ),xaxaxaf x 若若xa 則則為為垂垂直直漸漸近近線線；3.3.斜漸近線斜漸近線( )lim,xf xax 如如果果lim ( ),xf xaxb.yaxb則則為為曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線19曲線彎曲程度的描述曲線彎曲程度的描述曲率曲率;曲率圓曲率圓(弧弧)可以近似代替曲線弧可以近似代替曲線弧.(2)曲率曲率(3)曲率半徑曲率半徑32)1 (yyK K1 2d1 dsyx (1)弧微分弧微分:222(d )(d )(d

15、) .sxy 思考：思考： 曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關系曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關系?答答: 有公切線有公切線 ;凹向一致凹向一致 ;曲率相同曲率相同.TyxO),(DR),(yxMC1MMTR0M0 xxxx xyodydxds八、曲率、曲率半徑八、曲率、曲率半徑20典型例題分析典型例題分析題型一、證明不等式題型一、證明不等式可以利用：可以利用：1)單調(diào)性單調(diào)性2)中值定理中值定理3)泰勒公式泰勒公式4)凹凸性凹凸性5)求最值求最值21例例1310tan.23xxxx 當當時時，證證明明證證31( )tan,3f xxxx 設設( )(0,)2f x 則則在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)

16、可可導導，2222( )sec1tanf xxxxx 且且(tan)(tan)x xx x ( )tan,g xxx 再再構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)2( )sec1g xx 則則2tan x20tan0,2xx 當當時時，( )0,g x ( )0,fx 從從而而(0)0,f 又又( )(0,)2f x 在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加，0,( )(0)0 xf xf 當當時時 有有，31tan0,3xxx 即即31tan.3xxx 所所以以22說明說明1)用單調(diào)性證明不等式的步驟：用單調(diào)性證明不等式的步驟：將不等式變形為一邊為零將不等式變形為一邊為零,另一邊就是要設的輔助函數(shù)另一邊就是要設的輔助函數(shù)( ).f

17、 x判斷判斷 的單調(diào)性的單調(diào)性. ( )f x用單調(diào)性的定義與端點的函數(shù)值比較可得所證的不等式用單調(diào)性的定義與端點的函數(shù)值比較可得所證的不等式.2)為快速的證明為快速的證明,可先對不等式做恒等變形后再設輔助函數(shù)可先對不等式做恒等變形后再設輔助函數(shù).3)為證不等式為證不等式 可用可用 的單調(diào)性的單調(diào)性.( )0fx ( )fx 01x 如如：時時，11xxxeex 思考思考: 證明證明1ln(1)(01)1arcsinxxxxx 時時, 如何設輔助如何設輔助函數(shù)更好函數(shù)更好 ?2( )(1)ln(1)1arcsinxxxxx 提示提示:（提提示示：兩兩邊邊取取對對數(shù)數(shù)）23例例2. 證明證明ar

18、ctanln(1)(0).1xxxx 證證( )(1)ln(1) arctan ,(0)xxxxx 設設(0)0, 21( ) 1 ln(1)1xxx ( )(0,)x 則則在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)可可導導, ,且且22ln(1)1xxx 0 ，(0),x 故故0 x 時時, 單調(diào)增加單調(diào)增加 ,從而從而所以原不等式成立所以原不等式成立.( )x 0( )(0)0,xx 時時, ,24例例3 .ee 證證明明分析分析 取對數(shù)取對數(shù)ln,e ( )ln ,f xxex 設設0,x ( )1efxx 0, ,xe 得得駐駐點點2( )efxx 又又，1( )fee 0, ( ),f xxe 在在處處取取得

19、得極極小小值值( )f x又又可可導導且且只只有有唯唯一一駐駐點點，( )f x的的極極小小值值就就是是最最小小值值，,( )( )xef xf e 對對一一切切有有，()( )0ff e ，ln0,e .ee 即即25(1)設設( )yf x 是方程是方程240yyy 的一個解的一個解,0()0,f x 若0()0,fx 且則則0( )()f xx在在(A) 取得極大值取得極大值 ;(B) 取得極小值取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示提示:( ),f x將將代代入入方方程程00()4 ()0fxf x A0,xx

20、 令例例4題型二、極值和拐點題型二、極值和拐點(2)設設2( )( )lim1,()xaf xf axa 則在點則在點 a 處處( ).( )( )( )0A f xf a 的的導導數(shù)數(shù)存存在在且且；B( )( )B f x 取取得得極極大大值值；( )( )C f x 取取得得極極小小值值；( )( ).D f x 的的導導數(shù)數(shù)不不存存在在( ) ( )f xf a000()2 ()4 ()0,y xy xy x 260(3)( ),f xx如如果果在在 處處連連續(xù)續(xù) 則則00( )limxxf xAxx 0lim( )0 xxf x ，0()0,f x 0();fxA 00( )lim(1

21、)kxxf xA kxx 0lim ( ) 0 xxf x ，0()0,f x 0()=fx 0 027( )0f xx 設設在在的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)三三階階可可導導, ,且且0( )1lim,1 cos2xfxx 則則（ ）( ) (0)( )( ) (0)( )( )(0)( )()(0)( )A ff xB ff xC ffxD ffx 必必是是的的一一個個極極大大值值；必必是是的的一一個個極極小小值值；必必是是的的一一個個極極大大值值；必必是是的的一一個個極極大大值值解解0( )1lim,1 cos2xfxx 0lim( )0,xfx (0)0,f C (3)0( )(0)1lim,1

22、 cos2xfxfx ( )(0)0,fxf ( )0,1 cosf xx ( )(0) 0,1 cosf xfx 即即( )(0)0,f xf 有有(0)f為為極極小小值值，(D)選選D(0)=0f，29000()()=0,()0,( ( )5fxfxfx 設設則則下下列列選選項項正正確確的的是是00000( )()( )( ) ()( )( ),()( )()()( ).xxxxxxA ffB ffxxC ffDff x 是是是是的的極極大大值值；的的極極大大值值；的的極極小小值值；是是線線是是曲曲的的拐拐點點0()0,fx 因因為為000( )-()lim=-xxfx fxx x 則則00( )lim-xxfxx x 0,由由保保號號性性定定理理：0(),xUx 0( )0,-fxx x 有有0,xx 當當時時0,xx 當當時時( )0,fx ( )0;fx 即即曲曲線線是是凹凹的的，00(, ()( ).x f xf x點點是是曲曲線線的的拐拐點點()D選選解解D:注注意意拐拐點點的的橫橫坐坐標標來來自自于于二二階階導導數(shù)數(shù)為為零零的的根根，.或或者者來來自自于于二二階階導導數(shù)數(shù)不不存存在在的的點點30例例532291,