第三章中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(中)

1、1第三章第三章中值定理及其應(yīng)用（中）中值定理及其應(yīng)用（中）21) lim ( )lim( )0 xaxaf xF x ( )3) lim( )xafxF x 存在存在 (或?yàn)榛驗(yàn)?)( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xF x 2)( )( )( ),f xF xa 與與在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)( )0F x 且且定理定理 1.(洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則) 推論推論1. 定理定理 1 中中xa換為換為,xa ,xa ,x x 之一之一,推論推論 2. 若若( )lim( )fxF x 0,( ),( )0fx F x 仍仍屬屬型型 且且滿滿足足定定理理1條件條件, 則則( )( )l

2、imlim( )( )f xfxF xF x ( )lim( )fxFx 條件條件 2) 作相應(yīng)的修改作相應(yīng)的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x 二、洛比達(dá)法則及其應(yīng)用二、洛比達(dá)法則及其應(yīng)用31) lim( )lim( )xaxaf xF x ( )3) lim( )xafxF x 存在存在 (或?yàn)榛驗(yàn)?( )lim( )xaf xF x定理定理 2.( )lim( )xafxF x (洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則)2)( )( )( ),f xF xa 與與在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)( )0F x 且且說明說明: 定理中定理中xa換為換為之一之一,條件條件 2) 作相應(yīng)的修改作相應(yīng)的修改 , 定理

3、仍然成立定理仍然成立.,xa ,xa ,x x ,x 4例例130sincos limsinxxxxx 計(jì)計(jì)算算解解原原式式0 xxxeln1lim xxxelnlim 01.e xxx1lim例例230sincoslim,xxxxx 30(sincos )lim()xxxxx = =20coscossinlim3xxxxxx 2201lim.33xxx 用用羅羅比比達(dá)達(dá)法法則則1 limxxx 計(jì)計(jì)算算解解1limxxe lim1nnn 5注意：注意：1)條件充分但不必要條件充分但不必要.洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件.( )lim(),( )fxF x 若若不不存存在在時(shí)時(shí)( )

4、( )limlim.( )( )f xfxF xF x 例如例如,sinlimxxxx 1 coslim1xx 極限不存在也極限不存在也不是無窮大不是無窮大sinlim(1)xxx 1 2)對(duì)有些極限失效對(duì)有些極限失效對(duì)對(duì)數(shù)列數(shù)列極限極限失效失效.對(duì)對(duì)( )lim()( )f xg x 不存在不存在時(shí)時(shí)失失效效.6有時(shí)有時(shí)出現(xiàn)循環(huán)，出現(xiàn)循環(huán)，這時(shí)羅比達(dá)法則這時(shí)羅比達(dá)法則失效失效.如：如： xxxxxeeeelim事實(shí)上：事實(shí)上： xxxxxeeeelim有時(shí)會(huì)有時(shí)會(huì)越用越復(fù)雜，越用越復(fù)雜，這時(shí)這時(shí)不必不必用羅比達(dá)法則用羅比達(dá)法則. xxxxxeeeelimxxxxxeeee lim. 111l

5、im22 xxxee如：如： xxxx3sincos1seclim220 xxxx3sincostanlim220 220)3(coslimxxxx.91cos91lim0 xx73)用洛必達(dá)法則之前應(yīng)先用洛必達(dá)法則之前應(yīng)先(1)檢查極限的類型是否為檢查極限的類型是否為(2)結(jié)合以前的方法化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合以前的方法化簡(jiǎn)函數(shù)，00 型型、 型型注意：注意： 洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，它求極限方法結(jié)合使用，效果更好它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. 小代換、重要極限、變量代換，極限的運(yùn)算法則等小代換、重要極限、變量代換，極限的運(yùn)算法則等.常用的有等價(jià)無窮常

6、用的有等價(jià)無窮但與其但與其四則法則、變量代換等四則法則、變量代換等.如等價(jià)無窮小代換、如等價(jià)無窮小代換、8三、函數(shù)單調(diào)性的判別法三、函數(shù)單調(diào)性的判別法若若),( bax 有有，0 )(xf 若若),( bax 有有，0 )(xf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在在,ba上上連續(xù)連續(xù)，),(ba內(nèi)內(nèi)可導(dǎo)可導(dǎo)，在在則則)(xf在在上上單調(diào)增加單調(diào)增加. .,ba則則)(xf在在上上單調(diào)減少單調(diào)減少. .,ba注意：判別法的條件是充分條件而非必要條件注意：判別法的條件是充分條件而非必要條件.3(-,)yx 如如: :在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加，而而23yx 0 ，0.y 卻卻不不是是問題：?jiǎn)栴}：00()0,

7、( )fxfxx 若若必必有有在在的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加？錯(cuò)！錯(cuò)！一個(gè)點(diǎn)不存在單調(diào)一個(gè)點(diǎn)不存在單調(diào)性性.9四、函數(shù)的極值四、函數(shù)的極值，)()(0 xfxf 0 x設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定的某個(gè)鄰域內(nèi)有定對(duì)于該鄰域內(nèi)異于對(duì)于該鄰域內(nèi)異于0 x的點(diǎn)的點(diǎn)，x如果對(duì)適合不等式如果對(duì)適合不等式則稱函數(shù)在點(diǎn)則稱函數(shù)在點(diǎn)0 x有有),(0 xf如果對(duì)適合不等式如果對(duì)適合不等式，)()(0 xfxf 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)0 x有有),(0 xf0 x將點(diǎn)將點(diǎn)則稱則稱0 x點(diǎn)點(diǎn)義，義，10極值與最值的區(qū)別：極值與最值的區(qū)別：是對(duì)整個(gè)區(qū)間而言，是對(duì)整個(gè)區(qū)間而言，絕對(duì)的、絕對(duì)的、是對(duì)某個(gè)

8、點(diǎn)的鄰域而言、是對(duì)某個(gè)點(diǎn)的鄰域而言、相對(duì)的、可以不是唯一的相對(duì)的、可以不是唯一的. .如何求極值？如何求極值？觀察圖形知：觀察圖形知：是整體的、是整體的、唯一的唯一的. .是局部的、是局部的、110 x)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)處處且在點(diǎn)且在點(diǎn). 0)(0 xf0 x)(xf,3xy , 00 xy0 x0 x0 x0 x,xy 0 x12,31xy 0 x13設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù))(xf的極值的極值的一個(gè)鄰域內(nèi)的一個(gè)鄰域內(nèi)在在0 x0(x可除外可除外)可導(dǎo)可導(dǎo). .到大到大經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)0 x時(shí)，時(shí)， 若若(1)(1)在在0 x的兩側(cè)，的兩側(cè)，)(xf ，)(0 xf則則是是(2)(2)在在0 x的兩側(cè)，的兩側(cè)

9、，)(xf )(0 xf則則是是)(xf 在在0 x的兩側(cè)，的兩側(cè)，(3)(3)則則0 xxyoxyo0 x0 x xyo0 x 當(dāng)當(dāng)x由小由小，0 x為為xyo0 x 0 x設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)處具有處具有二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)，0)(0 xf那么那么0(1,)0( )fx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0 x函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)處取得處取得極大值極大值；(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)，時(shí)，0 x函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)處取得處取得極小值極小值. .，0)(0 xf且且( )f x問題：?jiǎn)栴}：00()0fxx 的的點(diǎn)點(diǎn) 是是否否為為極極值值點(diǎn)點(diǎn)？不不一一定定14五、函數(shù)的最值五、函數(shù)的最值1.1.閉區(qū)間閉區(qū)間

10、 a,b 上連續(xù)函數(shù)的最值的求法上連續(xù)函數(shù)的最值的求法 (比較法比較法)步驟步驟: :(1)求求駐點(diǎn)駐點(diǎn)和和不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn);(2)求區(qū)間求區(qū)間端點(diǎn)端點(diǎn)及及駐點(diǎn)駐點(diǎn)和和不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)的的函數(shù)值函數(shù)值, ,就是最小值就是最小值; ;比較大小比較大小,最大的數(shù)就是最大值最大的數(shù)就是最大值, ,最小的數(shù)最小的數(shù)152.)(xf在在 ba,上上連續(xù)，連續(xù)， 在在),( ba內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)， 且只有且只有一個(gè)駐一個(gè)駐點(diǎn)，點(diǎn)， 它是極大它是極大( (小小) )點(diǎn)，點(diǎn)， 則它則它一定是最大一定是最大( (小小) )值點(diǎn)值點(diǎn). .3.對(duì)于實(shí)際問題，對(duì)于實(shí)際問題，且知且知最最若在一定區(qū)間內(nèi)有若在一定區(qū)間內(nèi)有唯

11、一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)，大大( (小小) )值一定存在，值一定存在， 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得，而且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得， 那么那么可以可以不必討論是否為極值，不必討論是否為極值， 就可就可斷定該點(diǎn)就是斷定該點(diǎn)就是最大最大(小小)值點(diǎn)值點(diǎn).六、曲線的凹凸性和拐點(diǎn)六、曲線的凹凸性和拐點(diǎn)xyo( )yf x 1x2xxyo1x2x( )yf x 16yox2x1x221xx 1.定義：定義：( )f xI設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上連連續(xù)續(xù)，12,xxI ，(1) 若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，( )f x則則稱稱的的圖圖形形是是凹凹的的；(2) 若恒有若恒有1212()()

12、()22xxf xf xf ，( )f x則則稱稱的的圖圖形形是是凸凸的的；yox1x221xx 2x連續(xù)曲線上有切線的連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn) .yox注意注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.172.凹凸區(qū)間的求法凹凸區(qū)間的求法如果如果)(xf在在),(ba內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)， 若在若在),(ba內(nèi)內(nèi)(1), 0)( xf(2), 0)( xf則曲線則曲線在在),(ba內(nèi)是內(nèi)是凹的凹的. .)(xf)(xf則曲線則曲線在在),(ba內(nèi)是內(nèi)是凸的凸的. .注意：注意： 該定理換成其它區(qū)間仍然成立該定理換成其它區(qū)間仍然成立

13、.3.拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法(第一充分條件第一充分條件)0( ),f xx設(shè)設(shè)在在處處連連續(xù)續(xù)0,x在在的的左左右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)0(1)( ),xfx 若若在在兩兩側(cè)側(cè)異異號(hào)號(hào) 00,()( );xf xf x則則點(diǎn)點(diǎn)為為的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)0(2)( ),xfx 若若在在兩兩側(cè)側(cè)同同號(hào)號(hào) 00,()( ).xf xf x則則點(diǎn)點(diǎn)不不是是的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)18拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法(第第2充分條件充分條件)00()0 () 0 fxfx 設(shè)設(shè)且且 00,()( );xf xf x則則點(diǎn)點(diǎn)為為的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)七、曲線的漸近線七、曲線的漸近線1.1.水平漸近線水平漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線平行于平行

14、于 x lim( ),xxxf xb 若若yb 則則為為水水平平漸漸近近線線；2.2.垂直漸近線垂直漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線垂直于垂直于 xlim( ),xaxaxaf x 若若xa 則則為為垂垂直直漸漸近近線線；3.3.斜漸近線斜漸近線( )lim,xf xax 如如果果lim ( ),xf xaxb.yaxb則則為為曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線19曲線彎曲程度的描述曲線彎曲程度的描述曲率曲率;曲率圓曲率圓(弧弧)可以近似代替曲線弧可以近似代替曲線弧.(2)曲率曲率(3)曲率半徑曲率半徑32)1 (yyK K1 2d1 dsyx (1)弧微分弧微分:222(d )(d )(d

15、) .sxy 思考：思考： 曲線在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系曲線在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?答答: 有公切線有公切線 ;凹向一致凹向一致 ;曲率相同曲率相同.TyxO),(DR),(yxMC1MMTR0M0 xxxx xyodydxds八、曲率、曲率半徑八、曲率、曲率半徑20典型例題分析典型例題分析題型一、證明不等式題型一、證明不等式可以利用：可以利用：1)單調(diào)性單調(diào)性2)中值定理中值定理3)泰勒公式泰勒公式4)凹凸性凹凸性5)求最值求最值21例例1310tan.23xxxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，證證明明證證31( )tan,3f xxxx 設(shè)設(shè)( )(0,)2f x 則則在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)

16、可可導(dǎo)導(dǎo)，2222( )sec1tanf xxxxx 且且(tan)(tan)x xx x ( )tan,g xxx 再再構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)2( )sec1g xx 則則2tan x20tan0,2xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，( )0,g x ( )0,fx 從從而而(0)0,f 又又( )(0,)2f x 在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加，0,( )(0)0 xf xf 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有，31tan0,3xxx 即即31tan.3xxx 所所以以22說明說明1)用單調(diào)性證明不等式的步驟：用單調(diào)性證明不等式的步驟：將不等式變形為一邊為零將不等式變形為一邊為零,另一邊就是要設(shè)的輔助函數(shù)另一邊就是要設(shè)的輔助函數(shù)( ).f

17、 x判斷判斷 的單調(diào)性的單調(diào)性. ( )f x用單調(diào)性的定義與端點(diǎn)的函數(shù)值比較可得所證的不等式用單調(diào)性的定義與端點(diǎn)的函數(shù)值比較可得所證的不等式.2)為快速的證明為快速的證明,可先對(duì)不等式做恒等變形后再設(shè)輔助函數(shù)可先對(duì)不等式做恒等變形后再設(shè)輔助函數(shù).3)為證不等式為證不等式 可用可用 的單調(diào)性的單調(diào)性.( )0fx ( )fx 01x 如如：時(shí)時(shí)，11xxxeex 思考思考: 證明證明1ln(1)(01)1arcsinxxxxx 時(shí)時(shí), 如何設(shè)輔助如何設(shè)輔助函數(shù)更好函數(shù)更好 ?2( )(1)ln(1)1arcsinxxxxx 提示提示:（提提示示：兩兩邊邊取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)）23例例2. 證明證明ar

18、ctanln(1)(0).1xxxx 證證( )(1)ln(1) arctan ,(0)xxxxx 設(shè)設(shè)(0)0, 21( ) 1 ln(1)1xxx ( )(0,)x 則則在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且22ln(1)1xxx 0 ，(0),x 故故0 x 時(shí)時(shí), 單調(diào)增加單調(diào)增加 ,從而從而所以原不等式成立所以原不等式成立.( )x 0( )(0)0,xx 時(shí)時(shí), ,24例例3 .ee 證證明明分析分析 取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)ln,e ( )ln ,f xxex 設(shè)設(shè)0,x ( )1efxx 0, ,xe 得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)2( )efxx 又又，1( )fee 0, ( ),f xxe 在在處處取取得

19、得極極小小值值( )f x又又可可導(dǎo)導(dǎo)且且只只有有唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)，( )f x的的極極小小值值就就是是最最小小值值，,( )( )xef xf e 對(duì)對(duì)一一切切有有，()( )0ff e ，ln0,e .ee 即即25(1)設(shè)設(shè)( )yf x 是方程是方程240yyy 的一個(gè)解的一個(gè)解,0()0,f x 若0()0,fx 且則則0( )()f xx在在(A) 取得極大值取得極大值 ;(B) 取得極小值取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示提示:( ),f x將將代代入入方方程程00()4 ()0fxf x A0,xx

20、 令例例4題型二、極值和拐點(diǎn)題型二、極值和拐點(diǎn)(2)設(shè)設(shè)2( )( )lim1,()xaf xf axa 則在點(diǎn)則在點(diǎn) a 處處( ).( )( )( )0A f xf a 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在且且；B( )( )B f x 取取得得極極大大值值；( )( )C f x 取取得得極極小小值值；( )( ).D f x 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在( ) ( )f xf a000()2 ()4 ()0,y xy xy x 260(3)( ),f xx如如果果在在 處處連連續(xù)續(xù) 則則00( )limxxf xAxx 0lim( )0 xxf x ，0()0,f x 0();fxA 00( )lim(1

21、)kxxf xA kxx 0lim ( ) 0 xxf x ，0()0,f x 0()=fx 0 027( )0f xx 設(shè)設(shè)在在的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)三三階階可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且0( )1lim,1 cos2xfxx 則則（ ）( ) (0)( )( ) (0)( )( )(0)( )()(0)( )A ff xB ff xC ffxD ffx 必必是是的的一一個(gè)個(gè)極極大大值值；必必是是的的一一個(gè)個(gè)極極小小值值；必必是是的的一一個(gè)個(gè)極極大大值值；必必是是的的一一個(gè)個(gè)極極大大值值解解0( )1lim,1 cos2xfxx 0lim( )0,xfx (0)0,f C (3)0( )(0)1lim,1

22、 cos2xfxfx ( )(0)0,fxf ( )0,1 cosf xx ( )(0) 0,1 cosf xfx 即即( )(0)0,f xf 有有(0)f為為極極小小值值，(D)選選D(0)=0f，29000()()=0,()0,( ( )5fxfxfx 設(shè)設(shè)則則下下列列選選項(xiàng)項(xiàng)正正確確的的是是00000( )()( )( ) ()( )( ),()( )()()( ).xxxxxxA ffB ffxxC ffDff x 是是是是的的極極大大值值；的的極極大大值值；的的極極小小值值；是是線線是是曲曲的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)0()0,fx 因因?yàn)闉?00( )-()lim=-xxfx fxx x 則則00( )lim-xxfxx x 0,由由保保號(hào)號(hào)性性定定理理：0(),xUx 0( )0,-fxx x 有有0,xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0,xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)( )0,fx ( )0;fx 即即曲曲線線是是凹凹的的，00(, ()( ).x f xf x點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)()D選選解解D:注注意意拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)來來自自于于二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為零零的的根根，.或或者者來來自自于于二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)30例例532291,