第五章應(yīng)力張量應(yīng)變張量與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

1、第五章應(yīng)力張量應(yīng)變張量 與應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系鶯擬進步討論應(yīng)力、應(yīng)變的性質(zhì)及線性彈 的深入羔S般規(guī)律它將有助于對問題§5-1應(yīng)力分量的坐標變換應(yīng)力張量 § 5-2主應(yīng)力應(yīng)力張量不變量§ 5-3最大剪應(yīng)力§ 5-4笛卡爾張量基礎(chǔ)§ 5-5物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化 轉(zhuǎn)動張量§ 5-6應(yīng)變的坐標變換應(yīng)變張量§ 5-7主應(yīng)變應(yīng)變張量不變量§ 5-8廣義Hooke定律的一般形式§5-9彈性體變形過程中的能量§ 5-10應(yīng)變能和應(yīng)變余能§5-11各向異性彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系§5-12各向

2、同性彈性體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系§5-13各向同性彈性體各彈性常數(shù)間的 關(guān)系§5-1應(yīng)力分量的坐標變換 應(yīng)力張量在給定載荷作用下，物體內(nèi)過一點的任意斜截 面上應(yīng)力的大小和方向都是確定的，即一點的應(yīng)力 狀態(tài)是確定的。它不隨所取坐標系而變化。但描述 一點應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量又是在確定的坐標系下確 定的，它隨坐標系的不同而不同。我們通常習(xí)慣的右手坐標系,下面首先考察旋轉(zhuǎn)變換的情形:考察物體內(nèi)任一點0。設(shè)avy功舊坐標系下0點處 的局部標架(圖5-1 (a),單位基矢量為5、纟2、e3，相應(yīng)的應(yīng)力分量為:、crvJJ,Xxy=TcrvJijyxyzT 一zy乙)單位，又oxyz為新坐標系下0

3、點處的局部標架, 基矢里為耐、叭、e；,相應(yīng)的應(yīng)力分量:TxfyfCTxr7新、舊坐標系下坐標軸間的方向余弦為mx 加2 加3JC IJ _ CC y yr 厶=a2'i £ h a3fl_ OCp3 二 a2'2 n2 ©2'3 _ 0Cy<2 農(nóng)3 _aVXy作斜面訪C垂直于X軸）作用于該微面上的應(yīng)力矢量為$。用舊系下沿坐標軸的三個分量人、丁2V和厶，及Cauchy公式（2-4）式）可將T表為T +T2e2在新系下，,沿坐標軸的三個分量即為新系下該b兀八力兀#和廠兀勺將#向兀'、丁和z'軸方向投影，并注意到這里rij及剪應(yīng)力

4、互等關(guān)系6j = °jier%, =Tey = 6j" jS '=jijGy = T e crijnjei °2，=纟2皿丿Qq rjViji = a f 0 空 p ij Tx'z'二5 =<Jijnjei 'ey=ayjai'iaji=Viy ij三個式子合起來'可簡寫為:-a(2)同理，取微斜面分別垂直于）/£，可以得到新系下的其余六個應(yīng)力分量與舊系下九個應(yīng)力分量間的類似關(guān)系:by a2fia fjijb3丁 ayia（2）（4）式可以統(tǒng)一寫為6 了 =aifiaj，j(Jij(3)(4)(5-

5、1)這就是應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式，式中a.,< a-稱為門J J轉(zhuǎn)換系數(shù)。在數(shù)學(xué)上，將坐標變換符合式(5J)的一組 量稱為二階張量。按此定義，決定一點應(yīng)力. 狀態(tài)的九個應(yīng)力分量就是一個二階張量，稱 為應(yīng)力張量。在式(5-1)中作指標置換，并利用6了的對稱性得b jT =SPij =5jUairiajrj°'ij - 6了應(yīng)力張量在經(jīng)坐標變換后，其對稱性仍然保持不變。在平面問題中，建立二維的新、舊坐標系如圖5-2,新、舊坐標軸的方向余弦為x'Zj = OCy 二 COS&777 _ d2=sin &y'= “21=-sinOm2 = °2&

6、#39;2=COS&/y占）與前面推導(dǎo)類似：f：f OC jf-OC ：fj O' a1J1 1 J J LJ指標的取值為i, ) = 1, 2 f, j -1, 2當取新系為正交曲線坐標系'其中轉(zhuǎn)換系數(shù);少力為點0處坐標曲線切線方向單位基矢量在舊 系下的方向余弦。取 xf ->廠方向 yf > &方向ar ariarj(Jij=勺P/x + aryarxTyx=aY cos 0 + cr、, sin - 0 + 2sin兀y兀y=ax cos2 0 + crv sin2sin 20同理 %=av sin & + cos0 一 tyv sin

7、 20Tre ariaej(Jij=(% -crsincos + ros2 6-sin2 3)T0r = T rO這就是極坐標下的應(yīng)力分量與直角坐標下應(yīng)力 分量的轉(zhuǎn)換公式。反過來，取直角坐標系為新坐標系，極坐標系 舊坐標系，根據(jù)(5-2)式，用極坐標應(yīng)力分量 表示直角坐標應(yīng)力分量的關(guān)系為：ax = axraxr(Jr + a x6a6 +xr06 x0T r6=cos Octr + sin 0(yg - 2sin 0cos0zrdJ, = ocyrocyrc r + oc yQ(y q + loc yroc y0T rd=sinOctr + cos 0(j3 + 2 sin & cos

8、 0zrdTxy = axrayr(Jr + aXeay6G，6 + 06xraydTr6 + 06xOayr=cos 0 sin 0ar + (- sin 0) cos 0ad + cos2 0zrd + ( sin 0) sin=sin 0cos0(cr廠-a0) + (cos2 0 sin ? 3)rr0§5-2主應(yīng)力 應(yīng)力張量不變量Cauchy公式(2-4)給出了過一點任意斜截面上的應(yīng)力矢量的計算關(guān)系，寫成矢量的形式有VT Tiei =(yijrijei ( 5-4)斜面上的應(yīng)力矢量不僅與該點的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且與斜面的方向有關(guān)。VT為該截面的正應(yīng)力20,而剪應(yīng)力為零。這個問

9、題的數(shù)學(xué)描述是，求某個法線方向v = (/, m, n),使?jié)M足方程：(5-5)VT -ov將(5-4)式代入(5-5)式得:aijnjei =61©故 SjUj = 整理合并后得；9甘=0VXV圖53X將上式展開(56 )(cr* -cr)/+rm + rx = O Tyxl + y m + ryzn=Q> T：xl + T：ym + (cr： - a)n = 0我們只有正應(yīng)力，而沒有剪應(yīng)力的平面稱為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力；主平面的法線方向，即主應(yīng)力方向稱為主方向。代數(shù)上，（5-6，）式是關(guān)于主方向（I,肌,J2）的線性齊次代數(shù)方程，它有非零解的條件是, 其系數(shù)行

10、列式為零，即無-CTyx-ryZ =0（5-7）S 一展開后得到關(guān)于主應(yīng)力cy的三次代數(shù)方程(5-7 )稱為應(yīng)力張量的特征方程:TI 一一I 一2227 =cr cr +cr cr +cr b r t T2yy 込Z 無yz乙rx yz與）crTT兀xiTb、.T_yxy可以證明方程（57 ）有3個實根，它們對應(yīng)該點的3個主應(yīng)力，分別用(T 9 I2 +m+ n2 = 1(5-9)將（5-9）式與方程組（50）中的任意兩式聯(lián)立，即可求出與給定主應(yīng)力0對應(yīng)的主方向。6是方程（57）的三個才知所以，也可以將特征方程寫成(cr 6 )(cr cr2)(cr - cr3) = 0展開后有32cr (c

11、F +a2 +cr3)cr -h(aja2 +cr2cr3 -ha3at)a - aja2a3 =0 與式(57 )比較，得/| = CT + CT? + CT3?2 - aia2 +a2a3 +Cr3CFl "】3 CriCr2Cr3一對于一個給定的應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力的大小和方向 都是確定的，它不隨坐標系的變換而變化，故 人、匚、厶 也不會因坐標系的變換而改變。這種不 因坐標系變換而改變的量，稱為不變量.Zp厶、厶分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二、 第三不變量。主應(yīng)力的幾個重要性質(zhì)：(1)主應(yīng)力為實數(shù)(2)主方向的正交性設(shè)與主應(yīng)力6、6對應(yīng)的主方向為卩如果 CT a2 a3V、貝 Uv

12、 (1) -V 二0宀卩=0 '”沖=0這表明，三個主方向是相互正交的。 如果er】=a2豐6則 ” v (2) -v =0y卩=0表明CT3的方向同時與O和O"2方向垂直;而卩沖可為零，也可以不等于零，即(J和CT?的方向可取與V垂直平面上的任意方向。即與*垂直的方向都是主方向。如果CT二勺二6,則V 0)-V(2 V叩 卩沖三者可以是零，也可以不是零，這 說明三個主方向可以相互垂直，也可以不垂 直，也就是說，任何方向都是主方向。（3 ）主應(yīng)力的極值性命題1:最大（或最?。┲鲬?yīng)力是相應(yīng)點處任意截面上正應(yīng)力的最大（或最小）值。最大剪應(yīng)力現(xiàn)在我們來考察物體內(nèi)一點戶的最大剪應(yīng)力及

13、其作用面。取應(yīng)力主軸為參考軸（圖5-4）。斜面V上應(yīng)力矢量F的分量及斜面上的正應(yīng)力分別為:T2 =2mT3 62 2 2(yv - al + a2m + a3nzFl6圖54將(1)、(2)式代入斜面上的剪應(yīng)力公式(2-7) 得(3)=CT| / + (7 771 + (7 (bji + O ?tTl +03“2)利用幾何關(guān)系:Z2 +m2 +n2 =1 得(4)t； =(l-m22 2 2 2 + m CT； CT；(1 -m2 -«2)cr1 +m2cr2 +n2a32Tv取極值的點也使萬一，將(4)式代入方程dr / dm = 0氏；/ dn = Q 得m(crf _ crj)

14、 _ 2m(cr° _ crjfm2 (a2 -crj + n2 (a3 _ 內(nèi))+ 內(nèi)=0n(crf _cr：) _ 2n(cr3 _crjfm2(cr9 -CF) + n2(cr3 -crJ + crJO(6)下面分三種情況考慮:(1 )三個主應(yīng)力互不相等，即6 a2a3將（6）式的第一式除以（c -6）,第二式除以(3-6)，整理后得(7)m(cr2 -CFj) - 2m2(cr2 -CFj) + n2(cr3 _b) = 02 2n (b3 cy) 2zn (b? Cj) + ti (c3 C) = 0方程（7）有三組解：第一組是m = 0, n = 0 第二組是 m = 0

15、, n = ±1/V2 第三組是m = ±1/ V2, n = 0有了加、就可以從（4）中求得相應(yīng)的并運用 （5 ）式得到相應(yīng)的極值剪應(yīng)力Ty，由（2）式 得到極值剪應(yīng)力面上的正應(yīng)力。同理可從（3）和（4）中分別消去加和弘 按上述 方法又可以得到六組解，但其中三組是重復(fù)的， 獨立的解答一共六組，如表5-1所示。表中前三組解答對應(yīng)于主平面，其上剪應(yīng)力為零; 而后三組解答對應(yīng)于經(jīng)過主軸之一而平分其他兩 主軸夾角的平面，如圖5-5示，其上剪應(yīng)力為廠、廠、（3）稱為主剪應(yīng)力。如果bi>b2>b3，則最大剪應(yīng)力為ai _cr3仏二一即最大剪應(yīng)力等于最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力差

16、的 一半，它作用在過oy軸（er?軸）而平分風軸（ CF軸）和血軸（6軸）夾角的微分平面上。"0! = 0m- 0"土靑(b)"0(2)兩主應(yīng)力相等為了確定起見，設(shè)6=2>”3則(6)式的第一式已滿足，第二式有4(3 -) - 2n2 (a3 - CT,) = 0由此可解得 n0 = ±1/逅第一個解二0表示平面通過穴軸，將 =0及CT = ”2代入(5 )式得入=0即過軸的平面都是主平面。第二個解n = ±l/y/2，將其代入(4)式得I2 + m它表示了任一個與經(jīng)tow擔訪對應(yīng)平面上的最大剪應(yīng)力5 = f(2) = 士 -(3)三個主

17、應(yīng)力相等，即嚴勺=內(nèi) 過該點的任何微分面上都沒有剪應(yīng)力，即任一 平面都是主平面，與§5-2的結(jié)論也是一致的。45。圖5-6§5-4笛卡爾張量基礎(chǔ)1.坐標變換Xy!XOCy j COS OC|af2 = cos 0fya；， = cos a2°2,2 = C°S 爲考察平面內(nèi)矢量a的坐標變換關(guān)系。新、舊坐標系的方向余弦為才將舊系下的矢量分量。1、向新系坐標X投影可得矢量a在新坐標系下的分量av = % cos% + a2 cos/3X a Cl| COS2 +cos B2進一步可表為(5-12)令幾丿 = 1,2則式(5-12)可簡記為air -aifja

18、j（5-1?）這就是矢量的坐標變換公式。此式在三維空間中同樣成立，這時取譏）二1,2, 32.笛卡爾張量上面證明了,當坐標旋轉(zhuǎn)時，其分量之間滿足關(guān)系式（5-1?）。下面我們將證明如果分量間滿足關(guān)系（5-12,）,則它們表示同一矢量。我們注意到新系下的單位基矢量勺，在舊系下的分量即為方向余弦a侏，故可用舊系下的基矢量表為ei, - CCi,kek反過來有ek = a i，心所以ej，ek ai,jai,kei, 'el' aijarkir =a 0k根據(jù)Kroneker 3的定義：6jk = e j ' ek 由上式可得ai'jai'k = §

19、jka =ai，eir =k=jkajek akek a這就是我們所要證明的結(jié)論。定義：在坐標變換時，滿足式（5-12,）的一組量（a） 稱為一階張量。位移矢量、力矢量都是一階張量。在§5-1中，已知坐標旋轉(zhuǎn)變換時，新、舊系下 應(yīng)力分量之間的坐標轉(zhuǎn)換公式為6了 ai'iaj'jij一般地，可寫為A了（5-16）凡坐標變換符合（5-16）式的一組量（坊）稱為二階張量。決定一點應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量cr就是一個二階 張量?？梢宰C明Kroneker §為二階張量。類似地，可以定義“階張量，即坐標變換滿足tfm個指標的-組量稱為階張量。這里的階數(shù)是指指標的個數(shù)。標量

20、，比如密度、 溫度等，它不隨坐標變換而變化，即=丁 , 其指標個數(shù)為零，稱為零階張量。3.二階張量的分解(1 )任何一個二階張量都可以分解為一個二階對稱張量和一個二階反對稱張量之和。 Tij =Tu +r/7)+ |(7 Tji) =A- + Btj 式中Aq (7/ +) = (Tji + Tq) = Ay-為對稱二階張量；% =杯-幾)=-扣廠5 = ®為反對稱二階張量。(2)任何一個二階張量都可以分解為一個球張量 與一個偏張量之和。'令 Tm =|11 +722 +733)= /3:則Tq = 丁耳 + (Tq Tm 5) = T“Q耳 + Sy幾如稱為球張量；，Sij

21、 Tjj Tm巧y稱為偏張量。上式可用矩陣表示為九 T2八?(Tm 00、一刀”12ri3 '丁21卩22丁23=07；0+T2lT22 - T皿r23&31T32卩33)3° 幾丿<廠31廠32T33 - T4.張量的運算凡是同階的兩個張量可以相加，并得到一個與原 張量同階的張量，其分量等于原張量中標號相同 的諸分量的代數(shù)和。設(shè)丿與為兩個二階張量，其和為°口，記為Cij - aij + bij據(jù)二階張量的定義，ai'j' ai'iaj'jaij兩式相加，有ai'j + bi'f二"力（切+切）

22、Cirjr airiajrjC IJ由二階張量的定義，ctj為二階張量。(2)張量的外積(并乘)兩個張量的外積定義為第一個張量中的每一個分 量乘以第二個張量中的每一個分量所組成的集合。張 量的外積仍為張量，其階數(shù)為兩個張量階數(shù)的和。向量乘以二階張量方孫,則外積Cijk aijk為三階張量。由張量的定義，有ai' ai'iaib fk' = a yF k%b jk 5托=apb jWjNk%Qibjk=0(0( jfj CX Cjj/cijk為三階張量。B(3 )張量的縮并對77階張量進行縮并，就是對張量的某兩個指 標求和。張量縮并以后仍為張量，其階數(shù)為n 2 階。A孫為

23、三階張量，則有Ap，q” ap'iaqjar'kjk對1、2個指標求和，即令p' - q得Ap，p” ap'iap'jar'kjk=ijarrkijk - 0Cr,k jjk符合一階張量的坐標變換規(guī)律，即三階張量縮 并以后為一個矢量。(4 )張量的內(nèi)積內(nèi)積是兩個張量先并乘，然后進行縮并的運算。Tijk為三階張量，S加為二階張量，其外積為U jjklm 丁舒心 im1 = j縮并，為- Jm=TijkSjm用不變性的形式記為V=T S(5 )張量對坐標的導(dǎo)數(shù)在笛卡爾直角坐標系中，張量對坐標的導(dǎo)數(shù) 仍然是張量，且為比原張量高一階的張量。由坐標變換關(guān)系

24、:Xj =ak'jXk'(1)設(shè)坊乙冋,兀2宀)為三階張量，在轉(zhuǎn)軸以后的新 坐標系下為1賓(Xr , Xy , Xy)按普通的鏈式求導(dǎo)規(guī)則，并注意到（1 ）式有您州 _ 4了k dxs dxr dx dXf（%a力a以坊北）= airiadxs 如dxs符合四階張量的坐標變換規(guī)律，故8Tijk&s為四階張量。5.商法則 若九個分量Q 與任何一個向量按一VJ對指標求和后構(gòu)成另一向量C：CCL .h .則Q”必為一個二階張量。6.二階張量的性質(zhì) 設(shè)有一個任意二階張量Q方，它與任一個向量IJbj的線性組合仍為一個向量，用c；表示，則JI這相當于一個變換，它把一個向量變換為另一

25、個 向量。若變換后的向量Cj與bj共線，即乞經(jīng)Q.變換后只改變大小，不改變方向，J lJ數(shù)學(xué)上表為5二血則向量b 的方向稱為張量Q.的主方向或主軸，JIJ2稱為張量 色了的主值，將（6）式代入（5）式得（aij 加 ij）b j = 0b為張量的主值，為張量O；的主方向。J求應(yīng)力張量主應(yīng)力及其相應(yīng)的主方向的方法就可 以用來求任意二階張量的主值和主方向。§ 5-5物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化轉(zhuǎn)動張量在§2-4中，我們曽指出，物體的位形應(yīng)由三部分 組成：物體的整體剛體位移，單元的變形以及由 相鄰單元變形引起的本單元的方位的變化。下面分兩種情況研究單元繞oz軸的轉(zhuǎn)動。設(shè)所考察單元

26、幺沒有變形。由圖5-8的幾何關(guān)系可 知單元幺由于相鄰單元的變形引起的轉(zhuǎn)角（方位 的變化），可用它的角平分線的轉(zhuǎn)動表示為：單元幺的剪應(yīng)變：因為這里"小應(yīng)為負值。/dyj dxI1X_ 1 z、_ 1 O7t4下面來考祭當單元幺有變形時，由于相鄰單元的變 形所引起的單元幺的方位的變化。由圖5-9可知單元 幺方位的變化，即轉(zhuǎn)角yr通常令（D_ = 2/,即用兩倍轉(zhuǎn)角來表示這一轉(zhuǎn)動,則式（3）可寫為yb9/-y( 90° axl avx)a”(4a)c dv du© -2y dx dy同理，可以得到單元W繞oy軸及OX軸的轉(zhuǎn)動odu dwcox =2q =(4b、cdz

27、5x r dw dvco Y = 2p =oy dzYxy 了 yz y zx(5)已知幾何方程dv=+ dx dw=一 +du=+dz利用式（4）和（5）反解出三個位移的九個偏導(dǎo)數(shù)' 寫成矩陣的形式，并進行分解得II糾尹陽陽j/8|尹II2 | >0+02 |£I s y0zII2 | >zx+szIIIIzxzxsXsy簡記為(5-19)六個應(yīng)變分量和三個轉(zhuǎn)動分量0上、coy.血乙在 純變形情況下可以完整地描述變形后單元的形位。注意到（4）和（5）式，則有Sij(5-20)在（5-19 ）式中uj的分解,烏為對稱部分, 稱為應(yīng)變張量，且勺弓打（D；而®

28、;了為其 反對稱部分，稱為轉(zhuǎn)動泰量。將（5-19）式兩邊同乘以dxj ,并注意到相 鄰兩點的位移變化量皿嚴些心，故得 z dxj j</妁二勺孔+陶電.（5-21）設(shè)尸(無、丁、Z)和0(兀+ dx, y + dy, z + dz)為物體 內(nèi)無限鄰近的兩點，在物體發(fā)生變形以后，分別 移動到尸，和0 ,相應(yīng)的位移為妁.和伙，如 圖5-10示。'Qf0(兀+戀 y +(fy,z + dz) IP9P(x, y, z)將(5-21)式展開得uf v'> 二二 <UV >wfW1-21-211 - 2 11 - 2dx< dy +dzX.丿X一 CD 72

29、 z11(201 co(5-22) 式(5-22)說明，與P點無限鄰近的一點0的位移由 3部分組成：(1) 隨同P點、的平移(妬)(2) 繞P點、的剛性轉(zhuǎn)動(旳)線元PQ自身變形()§5-6應(yīng)變的坐標變換應(yīng)變張量首先，討論微線元dr的相對伸長。設(shè)dr*的方向余弦為n = (/> m、對，變形后線元 為d” ，相應(yīng)的方向余弦為'二(廠、rn nJ 線元兩端點A、B的位移分別為妁和； 變形前后線元的位置如圖5-11所示。B(x+dx. y+dy, z+dz)B'Qc汁dx汁u 9仏z)圖511(1)線元dr的分量dx； =dm.(3)(1)(3)(1)B點的位移:d

30、u-+ LdxJ(2)(3)(1)則變形后的線元矢量的分量:dx'(兀+ dx? + 色)一(兀+ 色)=(dxz + 況;uj=(dr +0(3)變形后的線元長度dh可由下式算出（dry "臚*+警沁 + 詈） （4） 線元弘的相對伸長：dr -dr巧二(5)于是，變形后線元的長度又可表為dr - （1 + 巧）心將（5）代入（4）式的左邊，并將右邊展開，得(d廠)2(1 +» )2=dx.dx； + -dx.dx,. +-dx.dx,OX Joxk+殂殂嘰dxj dxk J在小變形條件下，略去應(yīng)變及轉(zhuǎn)角的二次項得9du- ,(dr) 2(1 + 2s) = dx

31、zdxz + 2dxzdx金j將（1）式兩邊自乘，并注意到幾何關(guān)系ng =1則有 dxidxi =(dr)2n/n/ =(dr)2代入（6）式，兩邊同除以（d廠尸倚 1丄。c如1 + 丫 =1 + 2n：ndxj J(5-23 )8ui 所以 8r =ninj xj將（5-23 ）式展開，并運用幾何方程（2-11 ），得任一線元的正應(yīng)變:sr =sxl2 +svm2 +£申2 + Yy：mn + yzxnl ( 5-23')兩線元夾角的變化變形前dr 2 -變形后drRRf圖5J2由關(guān)系式（3）可知，變形后兩線元矢量分別為(7)dr = (dx +dxf)dr；=(兀 +dx

32、f)J>由（5）式，變形后兩線元的長度分別為 dr = （1 + 片）"i（8）dr；二（1 + 6 ）並變形后線元dr；的方向余弦為+ 字対）/（i+»（）貼 =（心“+典曲町）/（1 + 6（i）d廠 dxj =（才）+加*）/（2（1） =（坷+譽n?）（i 一片+岸） =附（1-珈）+讐"展開后得:j, j、 dudu duH YYl H Z2i ay1=(i s(i)dux1 duduH )/i H /Tli H ZZidvm' 二慶'1 +(1 _ r(l)dv ft、dz 1ndw 7 Qw Z1/ H加 1 +( _ 6(1)

33、a% ay 1(1)ozQyQz(11)同理可得變形后線元張;的方向余弦昭=卅 2）（I _ »（2） + 式nf展開后一du du du(12)l2 =(1 _ 6 + 東)2 + 才加2 + L “2 dv別、m； = /2 +(1_%2)+二7)力2 +exoy, Qw T dw Z1、."2二詔2+石 +d-匂(2)+石皿由矢量代數(shù)，變形前、后線元夾角余弦:=/j/2 +mxm2 + nxn2(13)。7cos =nn(1)n COS&'=llf2 + mmf2 + nnf2(14)將（10）及（12）式代入（14）式，并利用（13 ）式，得COS&

34、amp;， COS 3 = 2(£加2 +Yyz(®2 + 加2®)+ YxZ (l尹2 +)+/(Zlm2 +<2")(6(1) +6 )COS。(5-24)由此可見，只要知道了某點的6個應(yīng)變分量就可以 求出過該點任意兩個微線元間夾角的變化。令° = G在小變形條件下可得：cos。' - cos & = 2 sin 丄(& + &') sin 丄(& 一&')&' = A&于是,(5-24 )式可以化為&二 2($丿詁2 +symm2 +s_

35、nxn2) + /v. (mn2 +m2n)+ 7戲(厶2 +/2i)+ r(/im2 +/2mi)(5-25 )0表示兩正交線兀直角的變化，按定義就是 剪應(yīng)變。下面研究三維空間中任意三個正交線元的相對伸長和剪應(yīng)變。取線元況*方向為dr方向，利用(5-23')式, 并注意到打=2知(izj)，可得線元dx 的正應(yīng)變分量與舊系下應(yīng)變分量間的關(guān)系：% avxavx£x +aY2aV2sy +6ZV3«r3z +0CYaY2Sxy aX2aV6yx aV2aV?>8yz +aV3aY2szy +ar3arlzx +ariar3=ij同理'可得= a2ria2

36、rj6ij(526a)6zf =a3fia3rjSij利用(5-25)式，可得新系下的6個剪應(yīng)變與舊系下應(yīng)變分量間的關(guān)系:Sxryr =Y=aVla2flSx + aV2a2f2Sy + aV3alf3Sz +1'22'3lfl2f2xy +幻2。2'1£嚴lf22r3yz + aV3a2'2Szy + aV3a'Szx + a'a2'3SxzSy'z a2'iayjSij（= Sy'x'）/（5-26b） 8z'x = ayia'j£ij （ sx'z）顯見，（

37、5-26a）和（5-26b）式可以統(tǒng)一寫為6p'q' =ap'iaq'jsij( 5-27 )符合二階張量的定義。因此，一點的應(yīng)變狀態(tài)是 一個二階張量。§5-7主應(yīng)變 應(yīng)變張量不變量(5-27 )式表明，在給定了一點的應(yīng)變狀態(tài)以后，該點的應(yīng)變分量將隨坐標系的變換而變化 當在某坐標系下，只有正應(yīng)變，而無剪應(yīng)變，即沿 新系坐標軸方向的三個正交線元只有相對伸長，而 無直角的變化。這三個方向稱為應(yīng)變主方向，其相 對伸長稱為主應(yīng)變。由§ 5-6式（9 ）可知，具有方向為n = （/> m、n）的線元dr，變形后為X，相應(yīng)的方向余弦n = (/ m

38、 n)滿足：(1)Idutn： =n：(l- s) Hn ：式中，&為線元dy的相對伸長。式(1)可以改寫為 n，i = ni(1 一 £)+ g + ujnj +1 %j - uj,Jnj fTj (1 _ £)+ £j + COYl j我們知道，純變形時單元的運動由單元本身的變 形和單元方位的變化兩部分組成。設(shè)dr與為兩個沿應(yīng)變主方向的正交線元，則按 主方向的定義，該兩線元變形后仍然正交，只是方 位發(fā)生了轉(zhuǎn)動，如圖5-13示。顯然，如果限制方位 的轉(zhuǎn)動，即令旳=0,有ri； = ni于是，(2)式就成為Til 二彼 (1 £)+ £

39、jj" j( 3 )式中，£為主應(yīng)變。將(3)式整理后得(% £吊)勺=0( 5-28 )這是關(guān)于應(yīng)變主方向rij的齊次代數(shù)方程,有非(5-29)展開后得83 -人屛+丿2$-丿3 =0(5-30)丿1 = *兀 + 8y +丿2 = £y£z + EZSx + £xSy _ 才(總 + zx + ?')11'27xy八13 =-Yyx£y2 7yz1(5-31 )稱為應(yīng)變張量的第一、第二、第三不變量。運用（5-28）式中的兩個方程，及幾何關(guān)系n n二1可以確定與任一主應(yīng)變p.相伴的11I應(yīng)變主方向。

40、7; 5-8廣義Hooke定律的一般形式前面我們討論了各向同性體的廣義Hooke定律，其 中還強制性地給出了一些附加假設(shè)。從這一節(jié)起， 我們將對廣義Hooke定律作一般性的討論。應(yīng)力作為應(yīng)變的函數(shù)，一般地可以寫為 勺=/(/(切)(1 )將分量6在自然狀態(tài)附近展開，在小變形條件下,(2)X（A）o +式中，右下角0表示在自然狀態(tài)取值。根據(jù)基本 假設(shè)，在自然狀態(tài)下有6了二0和£訂=0。（2）式中，（人）。=0由材料性質(zhì)決定，一般來講，它是坐標的(2)X函數(shù)；如果材料是均勻的'則它與坐標無關(guān)而成為材料常數(shù)。于是（2）式就可寫為同理ax = CllSx + Cl2Sy + C3SZ

41、+ C23Sz+ C53Sz+ C63Sz+ C14/yz + Cl5zx + Cl6/xy+ C24/yz+ C34/yz+ C44/yz+ C54/yz+ w(5-32)ay = C2lSx + C22Sy 6 = C3Sx + 如乙 Tyz = C4lSx + C42Sy Tzx = C51Sx + C52Sy Txy =C6iSx+C62Sy+ C25/zx +C26/xy+ C35/zx + C36/xy+ C45/zx +C46/xy+ C55/zx +C56/xy+ C65/zx +C66/xy式中系數(shù)Cmn(m, n = l. 2,，6)稱為彈性常數(shù)， 一共有36個。(5-32

42、)式對材料彈性性質(zhì)未加任 何限制，稱為完全各向異性。根據(jù)能量守恒定律和應(yīng)變能的存在（§5-11）， 可以證明，彈性常數(shù)之間存在關(guān)系cmn = cnm , 這就是說（5-32 ）式的系數(shù)是對稱的。因此，即 使是對于完全各向異性體，獨立的彈性常數(shù)也只 有21個。對（5-32 ）式也可寫成用應(yīng)力表示應(yīng)變 的形式，即Sij 二 Sj 9kJ§ 5-9彈性體變形過程中的能量能量守恒定律指出：，封閉系統(tǒng)中總能量的增加（包括動能增加和 內(nèi)能增加）等于外力對系統(tǒng)所做的功和系統(tǒng) 從外界吸收的熱量之和，即：" + 0二A/T + Af/兩端除以Ar,并令W = k + U-Q(1)這

43、就是熱力學(xué)第一定律的速率形式。1 f區(qū)域啲動能：K=2i riVidT 八上式對時間求導(dǎo)，得.K = pvjdr( 2 )J T設(shè)t/為單位體積的內(nèi)能，則區(qū)域T的內(nèi)能U= UxAt(3)將上式兩邊對時間微分得U =J t/jdr(4)外力功率:W = FfV/dr + TfdsJ tJ dr式中77為區(qū)域曲勺邊界Qg上的作用面力'由Cauchy公式T=(y.n 及高斯(Gauss )1 ij j積分公式，并注意到應(yīng)力的對稱性得diTjV：ds =by幻匕dvJ dr=L(WJJ“= £a,7Jvzdr + |j= £a.yy,dr+f對jCk 1 z+%)drCTy

44、.v； :dr + £ J" 2 Jij 2J +%)血= Jy,m + J(5)將(5)代入(4)式，得W = J (cFqj + 耳)匕dc +J a-Sjjdr(6)對于一個纟&熱過程，即物體金變形過程中既無熱量 損失，也不從外界吸入能量，則°二0。此時，熱 力學(xué)第一定律成為W=K+Ufij&jdz 二(8)將(2)、(3)、(6)式代入式(7)得 (bjj + F- -+式中V.,運用運動微分方程，（8）式左z dt2邊第一個積分為零，故有£cr7dr = £t/1dT(9)由區(qū)域祐勺任意性，我們有(10)兩邊同乘以得d

45、C/i “帆(5-33 )由于內(nèi)能U1是狀態(tài)的單值函數(shù)，即與過程無關(guān)， 故£/卩1必須是全微分，即有dU A與（5-33）式比較可得dsu(11)(5-34)當一個過程進行得異常迅速，以致來不及和外界發(fā) 生顯著熱交換，則可近似地按絕熱過程處理。熱力學(xué)第二定律涉及到兩個重要的狀態(tài)量：溫度卩和嫡H。溫度是表示物體冷熱程度的物理量。燔是熱力學(xué)系統(tǒng)的一個狀態(tài)函數(shù)，與系統(tǒng)熱量的增 加和絕對溫度的比值有關(guān)。在變形過程中，嫡的改變量（AH）由兩部分組成，輸 入熱量引起的嫡增量（AHJ，稱為供燔，及變形和熱 流阻力引起的嫡變化量（/） 稱為產(chǎn)嫡，即AH = A/ + A/匕I(12)AHe=AQ/T

46、(13)式（12）兩邊除以ArH = He+Hi(14)表示蠣的增大率等于燔的輸入速率與燔的生成速 率之和，其中，蠣的輸入速率He=Q/T(15)熱力學(xué)第二定律告訴我們：自然界中發(fā)生的一切 熱力學(xué)過程都不會使產(chǎn)嬌減少，或者是燔的生成 率總是非負的，即 (16)AH- >0乩no對于不可逆過程，比如塑性變形乩°對于可逆過程，比如彈性變形，=0 因此，在彈性變形情況下，（14）式化為HQ/TO = TH(18)將（18 ）代入（1 ）式得W = K + U-TH= K + (U-TH)9 +Th對于等溫過程，T = 0dt dt dt設(shè)“為單位體積的*亂定義F =U、Tri(19)

47、(20)(21 )F稱為單位體積的自由能，則區(qū)域的自由能:Fdr= f WTri)(h = U THJ TJ T(22)從而，有-(U-TH)= drdthat將(6 ) ,( 2 )和(22 )式代入(20)得r(aijj+Fvidr +/Tv-v dr + f -dr Jr z z Jr a?運用運動微分方程，立即可得r OF rdr = f a-SndT K &J J由曲勺任意性'QFdt(23)兩邊同乘以dt得dF = 6筋在等溫條件下，F(xiàn)僅與應(yīng)變分量有關(guān)，也是狀態(tài)的單值函數(shù)，故dF亦為全微分，即dF6F(24)(5-35 )(5-36)稱為格林比較(23)、(24)式

48、，得5F=“嗎將(5-34 )和(5-35 )式統(tǒng)一寫為b.二更()4(%)稱應(yīng)變能函數(shù)，式(5-36 )(Green )公式，它是一種能量形式的應(yīng)力一應(yīng) 變關(guān)系。(5-37 )如果應(yīng)變能函數(shù)用6個工程應(yīng)變分量表 A = AX> 兮 J、.、'、蔦) 必二 axdx + bydgy + crzdsz +(5-36 )式就展開為dAg _ dA'込(5-38 )dAT 由變形產(chǎn)生的熱dA_ dATyz= "貳 如果變形過程進行得非常緩慢,量有足夠時間散發(fā)掉，從而使物體溫度保持不變, 則這一過程可近似地按等溫過程處理。而彈性變 形沒有能量的耗散，因此將彈性變形視為等溫過程是合乎邏輯的。§5-10應(yīng)變能和應(yīng)變余能當彈性體受到外力作用而變形時，外力將對物體 作功，并將全部轉(zhuǎn)化為物體的動能和儲存于物體 內(nèi)的應(yīng)變能。如果外力變化得足夠慢，則動能的 變化可以忽略，這時外力的功將全部轉(zhuǎn)化為應(yīng)變y815-14X某一時刻各微分面上的應(yīng)力6j從物體中取出一個如圖5-14所示的微元體。對微元