2004～2005學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)》期末考試試題A卷與答案

1、n2 2004 2005 學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試題 a 卷（216 學(xué)時(shí)）專業(yè)班級(jí)學(xué)號(hào)姓名一、填空題：（45 分）a(1 cos x) x 0 x 21、設(shè)f (x) 4 x 0 連續(xù)，則常數(shù)a ，b b sin x x et dt 0 xx 0 2、設(shè)a xn 的收斂半徑為3, 則na (x 1)n 1 的收斂半徑r nn 1 n n 1 3、已知f (x) x(1 x)(2 x)(2005 x) ，則f (0) 14、級(jí)數(shù)nn 1 的和s = 二、選擇題： （44 分）1、函數(shù)f (x) (x 2 x 2) x3 x 不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是a、0 b、 1 c、 2 d、3 2、設(shè)周期函

2、數(shù)f (x) 在(,) 內(nèi)可導(dǎo)，其周期為 4，且lim f (1) f (1 x) 1，x0 2x則曲線y f (x) 在點(diǎn)(5, f (5) 處的切線的斜率為a、2 b、2 c、 1 d、 1 n 1 1 k 3、對(duì)于常數(shù)k 0 ，級(jí)數(shù)( 1) tann n2 n 1 a、絕對(duì)收斂b、條件收斂c、發(fā)散d、收斂性與k 的取值相關(guān)4、設(shè)函數(shù)f (x) 有任意階導(dǎo)數(shù)且f (x) f 2 (x) , 則f (n )(x) (n 2) . a、n! f n 1 (x) b、nf n 1 (x) c、f 2n (x) d、n! f 2n (x) x 三、計(jì)算下列各題： （66 分）arctan x x

3、1、求極限：lim 3x0 ln(1 2x ) 2、設(shè)y tan2x 2sin x ，求：dy x2 3、設(shè)函數(shù) y y(x) 由方程ey 6xy x 2 1 0 確定 , 求： y (0) ex ex f (x) f (x) 4、已知 f (x) ,計(jì)算不定積分：2 f (x) f (x) dx5、設(shè)函數(shù)y y(x) 由參數(shù)方程4 ln x x t3 9 ty t 2 2 t確定，求曲線y y(x) 的下凸區(qū)間。6、計(jì)算定積分：1 x dx 四、（5 分）設(shè)廣義積分f 2 (x)dx 收斂，證明廣義積分f (x) dx 絕對(duì)收斂。1 1 x五、（6 分）求曲線y ln x （2 x 6 ）的

4、一條切線，使得該切線與直線x 2, x 6 及曲線y ln x 所圍成的圖形面積a 為最小。六、 （6 分）將曲線y 繞x 軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體，它在點(diǎn)x 0 與x 1 x 2的體積記作v () ，問(wèn)a 等于何值時(shí)，能使v (a) 1 lim v ( ) ？2 ( 0) 之間七、（5 分）設(shè)0 a 1 ， 證明： f (x) sin 1 在(a,1) 內(nèi)一致連續(xù)。x 八、 (6 分)設(shè) f (x) 在區(qū)間 1,0 上二次可導(dǎo)，且 f ( 1) 0 ，又 g(x) sin (x 1) f (x) 證明：在區(qū)間( 1,0) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)c ，使得g (c) 0 。2004 2005 學(xué)年第一學(xué)期高等

5、數(shù)學(xué)期末考試試題 a 卷答案一、填空題：（ 4 5 分）1、a 8;b 3 ; 2、r 3 ; 3、2005!; 4、ln2 二、選擇題：（ 4 4 分）1、c ; 2、 b ; 3 、 b; 4、a . 三、計(jì)算下列各題：（ 66 分）1 11 ）解：lim arctan x x lim arctan x x lim 1 x 21x0 ln(1 2x3 ) x0 2x3x0 6x 2 6 2 ）解：由y2 cos2 2x cos x 2sin x ln 2 得dy x2 ( 2cos2 cos 2 sin 2 2 ln 2)dx 2dx 。3）解：當(dāng) x 0 時(shí) y 0 , 又ey y 6

6、y 6xy 2x 0 , 故 y (0) 0 4）解：注意到f (x) f (x) ，則f ( x) f (x) dln f (x) ln f (x) ln f (x) f (x) c 原積分ln 14 f (x) (e2 xf (x) dxe2 x ) c dy 5）解：dy dt 2t 1 dx dx dt 3 t 2 3 d 2 y dy d t2 t 1 12 t 2 2t 3 1 2 (3 t)(1t) dx2 dx d x3 t 2 3 x3 (t 2 3)2 3t 2 9 9 (t 2 3)3 .td 2 y t t3 當(dāng)dx2 0 時(shí)曲線下凸 ., 得 1 t 3 ; 注意到

7、x t 9t 單調(diào)升，即x ( 10, 54) 時(shí)，曲線下凸 . 6）解：令t ，當(dāng)x 1時(shí)t 1，當(dāng)x 4 時(shí)，t 2 ，則原式2 2 ln t 2tdt 2 4 ln tdt 4 t ln t t2 42 ln 2 1 1 t 1 1x 1 x21 x112 2 2 x x 四 、 （5 分）證明：由0 f (x) 1 1 ( f 2 (x) 1 ) (x 1 0) 因?yàn)? dx 、x 2 x 21 x 2 f 2 (x)dx 收斂，故1 ( f 2 (x) 1 )dx 也收斂，比較判別法知：廣義積分1 2 1 x 2 f (x) dx 絕對(duì)收斂。1 x五、（ 6 分）解設(shè)( ,ln )

8、為曲線y ln x 上任意一點(diǎn)，則此點(diǎn)處的切線方程為：y 1 (x ) ln ，即y x ln 1，于是所求面積為：6xx 26 4 a 2 ln 1 ln x dx x ln x ln x 4 ln 2 ln 2 6 ln 6 da 1 4 2da da 令d 4 2 0 ，得 4 ，又當(dāng) 4 時(shí)，d 0 ，當(dāng) 4 時(shí)，d 0 ，故 4 時(shí)，a 取得極小值，也是最小值，從而得到所求的切線方程為：y ln 4 1 (x 4) 。4 六、（6 分）解：因?yàn)関 ( ) y2 dy xdx 1 1 ，0 0 (1 x 2 )22 1 x 22 2 1 2所以limv ( ) 2，從而v (a) 2

9、2 1 1 a 2，4 由此可得1 a 2 2 ，所以a 1 或a 1（舍去），故a 1 。七、（5 分）證 ： 0 ，取 a 2 ，則當(dāng)x , x (a,1) ，且x1x2 時(shí)1 1 1 1 1 1 1 1 f (x ) f (x ) sin sin 2 cosx1 x2 sinx1 x2 2 sin ( ) 1 2 1 1 2 x2 x1 x x 1 ，所以f (x) sin 1 在(a,1) 內(nèi)一致連續(xù)。x1 x22 1 a 2 x八、(6 分)證：由題設(shè)知g(x) 在 1,0 上連續(xù)，在區(qū)間( 1,0) 內(nèi)可導(dǎo)，且g( 1) g(0) 0 ，于是由羅爾定理知，在( 1,0) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得g ( ) 0 （1 0 ） ，又在區(qū)間 1, 上函數(shù)，g (