全國卷1理科數(shù)學(xué)試題和答案

1、2017 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國I 卷）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、 選擇題：本題共 12小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合 Ax x 1，B x 3x1，則（）A A B x x 0BABRC A B x x 1DA B【答案】 A2.如圖，正方形ABCD 內(nèi)

2、的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)， 則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）A 11B C2D 484【答案】 B3. 設(shè)有下面四個(gè)命題（）p1 ：若復(fù)數(shù) z 滿足 1R ，則 zR ；zp2 ：若復(fù)數(shù)p3 ：若復(fù)數(shù)p4 ：若復(fù)數(shù)A p1 ，p3【答案】 B【解析】z 滿足 z2R ，則 z R ；z1 ，z2 滿足 z1z2R ，則 z1z2 ；z R ，則 z R B p1 ，p4C p2 ，p3D p2 ， p44.記 Sn 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，若 a4 a524 ，S648 ，則 an 的公差為（）A 1B

3、2C 4D 8【答案】 C5.函數(shù) fx 在，單調(diào)遞減， 且為奇函數(shù) 若 f11，則滿足1f x 2 1 的x 的取值范圍是（）A 2，2B 1，1C 0，4D 1，3【答案】 D1166.12x 展開式中 x2 的系數(shù)為xA 15B 20C 30D 35【答案】 C.7. 某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為 2 ，俯視圖為等腰直角三角形、該多面體的各個(gè)面中有若干是梯形，這些梯形的面積之和為A 10B 12C 14D16【答案】 B8. 右面程序框圖是為了求出滿足nn的最小偶數(shù)n ，那么在和兩32 1000個(gè)空白框中，可以分別填入A A

4、1000 和 nn1B A 1000和 nn2C A1000 和 nn1D A1000和 nn2【答案】 D【答案】 因?yàn)橐?A 大于 1000 時(shí)輸出，且框圖中在“否”時(shí)輸出“”中不能輸入 A 1000排除 A、B又要求 n 為偶數(shù)，且 n 初始值為0，“”中 n 依次加 2 可保證其為偶故選 D9. 已知曲線 C1 : ycos x ， C2 : y sin22 x，則下面結(jié)論正確的是（）3A把 C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移6個(gè)單位長度，得到曲線C2B把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變， 再把得到的曲線向左平移12個(gè)單位長度

5、，得到曲線C2C把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1 倍，縱坐標(biāo)不變， 再把得到的曲線向右平移26個(gè)單位長度，得到曲線C2D把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變， 再把得到的曲線向左平移12個(gè)單位長度，得到曲線C2【答案】 D【解析】 10. 已知 F 為拋物線 C ： y24x 的交點(diǎn)，過 F 作兩條互相垂直 l1 ， l2，直線 l1 與 C 交于 A 、B 兩點(diǎn)，直線 l2 與 C 交于 D ， E 兩點(diǎn)， ABDE 的最小值為（）A 16B 14C 12D10【答案】 AA 2 x 3y 5 zB 5z 2x 3 yC 3y 5 z 2 xD 3【答案】 D【答案】

6、 取對數(shù)： xln 2y ln3ln5 .xln33yln 22 2 x 3yx ln2zln5xln55則zln 22 2 x 5z 3 y 2x 5 z ，故選 D11. 幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了 “解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼” 的活動(dòng)， 這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16， ，其中第一項(xiàng)是 20，接下來的兩項(xiàng)是20 ， 21 ，在接下來的三項(xiàng)式 26 ， 21 ， 22 ，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù) N ： N100 且該

7、數(shù)列的前N 項(xiàng)和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是（）A 440B 330C 220D110【答案】 A【解析】 設(shè)首項(xiàng)為第1 組，接下來兩項(xiàng)為第2 組，再接下來三項(xiàng)為第3 組，以此類推設(shè)第 n 組的項(xiàng)數(shù)為 nn 1 n，則 n 組的項(xiàng)數(shù)和為2由題， N100 ，令 n 1n100 n 14且 nN* ，即 N 出現(xiàn)在第13 組之后2第 n 組的和為 12n2n112n 組總共的和為2 12nn2n2n12若要使前 N 項(xiàng)和為 2 的整數(shù)冪，則Nn 1n項(xiàng)的和 2k1應(yīng)與 2n 互為相反2數(shù)即 2k1 2n k N* ，n 14klog 2 n3 n 29 ，k 5則 N2912954402故

8、選 A二、 填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20分。12.已知向量 a ， b 的夾角為 60， a2 ， b 1 ，則 a 2b_【答案】 232222212【解析】 a2b(aa2a2b cos602 b2b)22 2 22244412 a2b12 23x2 y113.設(shè) x ， y 滿足約束條件2xy1，則 z 3 x2 y 的最小值為 _xy0【答案】5x2 y1不等式組2xy1 表示的平面區(qū)域如圖所示xy0yAB1xCx+2y-1=02x+y+1=0由 z 3 x2 y 得 y3xz，22求 z 的最小值，即求直線y3xz2的縱截距的最大值2當(dāng)直線 y3 xz 過圖中點(diǎn) A

9、 時(shí)，縱截距最大222xy1解得 A 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,1)，此時(shí) z3(1)2 1 5由2 y1x14.已知雙曲線C :x2y2，（a0，b0）的右頂點(diǎn)為 A ，以 A 為圓心，b為半徑作圓A ，a2b2圓 A 與雙曲線 C 的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，若MAN60 ，則 C 的離心率為_【答案】233【解析】 如圖，OAa ， ANAMbMAN 60 ， AP223 b 23 b ， OPOAPAa224AP3 b2 tan23OPb2a4b3 bb又 tan23b 2，3 b2，解得 a 2aa 2a4 e1b 2112 3a23315. 如圖，圓形紙片的圓心為O ，半徑為 5 cm ，該

10、紙片上的等邊三角形ABC 的中心為 O ，D 、 E 、 F 為元 O 上的點(diǎn)， DBC ， ECA， FAB 分別是一 BC ， CA ， AB 為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC ， CA ， AB 為折痕折起 DBC ， ECA ， FAB ，使得 D ， E ， F 重合，得到三棱錐當(dāng)ABC 的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位： cm3 ）的最大值為 _【答案】 4 15【解析】 由題，連接 OD ，交 BC 與點(diǎn) G ，由題， ODBCOG3 BC ，即 OG 的長度與 BC 的長度或成正比6設(shè) OGx ，則 BC23x ， DG5x三棱錐的高 hDG2OG210x2x25

11、 10x25xS ABC2 33x133 x221S ABCh3x2325x410x5則 V25 10x =3令 f x25x410x5 ， x(0, 5 ) ， fx100 x350x42令 f x0 ，即 x42x30 ， x 2則 f x f280則V 38045體積最大值為 4 15 cm3三、 解答題： 共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 17-21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。16. ABC 的內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為a， b ， c ，已知 ABC 的面積為a23si

12、n A（ 1）求 sin Bsin C ；（ 2）若 6cos B cos C1 ， a3 ，求 ABC 的周長【解析】 本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用.21（ ）面積aSS.bc sin A1 ABC3sinA且2a21 bc sin A3sin A2 a 23bc sin2 A2由正弦定理得 sin 2 A3sin Bsin C sin2A ，2由 sin A0 得 sin B sin C2.3（2）由（ 1）得 sin Bsin C2 ， cos B cos C136 ABC cos Acos BCcos BC1sin BsinC cos B cos

13、C2又 A0， A60， sin A3， cos A122由余弦定理得 a 2b 2c2bc9由正弦定理得basin B ， casin Csin Asin A bca2sin BsinC8sin2 A由 得 bc33 abc333 ，即 ABC 周長為 33317.（ 12 分）如圖，在四棱錐PABCD 中， AB CD 中，且 BAPCDP90 （ 1）證明：平面 PAB 平面 PAD ；（ 2）若 PA PD AB DC ， APD 90 ，求二面角 A PB C 的余弦值【解析】 （1）證明：BAPCDP90 PA AB，PD CD又ABCD，PDAB又PDPAP ，PD 、PA平面P

14、AD AB平面PAD，又AB平面PAB平面 PAB平面 PAD（2）取 AD 中點(diǎn) O， BC 中點(diǎn) E ，連接 PO， OEABCD四邊形 ABCD 為平行四邊形 OE AB由（ 1）知， AB平面 PAD OE平面 PAD，又 PO、 AD平面 PAD OEPO，OEAD又 PAPD ， POAD PO、OE、 AD 兩兩垂直以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz設(shè) PA2， D2，0，0 、B2，2，0 、 P 0，0， 2、 C2 ，2，0 ， PD2，0， 2 、 PB2，2， 2 、BC2 2 ，0，0設(shè) nx , y , z 為平面 PBC 的法向量由 n PB

15、0 ，得2x 2 y2 z 0nBC022x0令 y1 ，則 z2 ， x0 ，可得平面 PBC 的一個(gè)法向量 n0,1, 2 APD 90 ， PD PA又知 AB平面 PAD ， PD平面 PAD PDAB ，又 PAABA PD平面 PAB即 PD 是平面 PAB 的一個(gè)法向量，PD2,0, 2 cos PD , nPD n23PDn2 33由圖知二面角 A PBC 為鈍角，所以它的余弦值為3318.（ 12 分）為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，實(shí)驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16 個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm ）根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服

16、從正態(tài)分布N ， 2（ 1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常， 記 X 表示一天內(nèi)抽取的16 個(gè)零件中其尺寸在3 ，3之外的零件數(shù)，求 P X 1及 X 的數(shù)學(xué)期望；（ 2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在3 ，3 之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查（ I）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性：（ II ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16 個(gè)零件的尺寸：9.951 0.1 29.969.9 610.019.929.9 81 0.0 410.269.911 0.1 310.029.2210.0410.059.9 51611621經(jīng)計(jì)算得 xxi 9.97，

17、 sxi x16i 116 i 116xi 216x 20.212 ，其中 xi 為i1抽取的第 i個(gè)零件的尺寸， i1，2 ， ，16 用樣本平均數(shù)x 作為的估計(jì)值? ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 作為的估計(jì)值? ，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，剔除?3?，?3 ? 之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到 0.01 ）附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N，2則 P3Z30.997 4 ,0.997 4160.9592， 0.0080.09 【解析】 （1）由題可知尺寸落在3，3之內(nèi)的概率為0.9974，落在3，3之外的概率為0.0026P X0C16010.997400.9974160.959

18、2P X11PX010.95920.0408由題可知X B 16 ，0.0026E X160.0026 0.0416（2）（ i ）尺寸落在3，3之外的概率為0.0026，由正態(tài)分布知尺寸落在3，3之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理（ii ）39.9730.2129.33439.9730.21210.6063，39.334 ，10.6069.229.334 ，10.606，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程檢查因此剔除 9.22剔除數(shù)據(jù)之后：9.97169.2210.021529.95210.1229.9629.96210.01210.0210.0210.0210.0210.029.9229.9

19、8210.04210.2629.91210.0210.0210.0210.0210.0210.13210.02210.04210.0529.952110.0210.0210.0210.0210.02150.0080.0080.0919.20.（ 12 分）x2y2，3，3P 1P已知橢圓 C ：22 1 a b 0 ，四點(diǎn) P1 1，1 ，P210，1 ，3， 42ab2中恰有三點(diǎn)在橢圓C 上（ 1）求 C 的方程；（ 2）設(shè)直線 l 不經(jīng)過 P2 點(diǎn)且與 C 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，若直線 P2 A 與直線 P2 B 的斜率的和為 1，證明： l 過定點(diǎn)【解析】 （1）根據(jù)橢圓對稱性，必過

20、P3、 P4又 P4橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過1，所以過 P2，PP3P4 三點(diǎn)將 P20， ，3代入橢圓方程得1P31211b2，解得 a2， b2134141a2b 2橢圓 C 的方程為： x2y21 4（2） 當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)l : x m， A m，yA，Bm， yAkP AkP ByA1yA121mmm22得 m2 ，此時(shí) l 過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)lykxb b 1A x1 ，y1，B x2 ，y2聯(lián)立ykxb，整理得 1 4 k2x28kbx4b240x24 y24 08kb4b24x1x2， x1 x214k214k2則 kP2 A kP2 By

21、1 1 y21 x2 kx1b x2 x1 kx2bx1x1x2x1 x28kb28k8kb28kb1 4k24b2 41 4k28k b11， 又 b 14 b1b1b2k1 ，此時(shí)64k，存在 k 使得0 成立直線 l 的方程為 ykx 2k1當(dāng) x2 時(shí)， y1所以 l過定點(diǎn)2 ， 121. （12 分）已知函數(shù)fxae2 xa2 exx （ 1）討論 f x 的單調(diào)性；（ 2）若 f x 有兩個(gè)零點(diǎn)，求 a 的取值范圍【解析】【解析】 （1）由于 f xae2 xa2exx故 f x2ae2 xa2 ex1aex1 2ex1 當(dāng) a0 時(shí)，ex10 ，2ex10從而 f x 0恒成立a

22、f x 在 R 上單調(diào)遞減 當(dāng) a0 時(shí)，令 fx 0 ，從而ex10，得 x ln a axln aln a ， ln afx0f x單調(diào)減極小值單調(diào)增綜上，當(dāng) a0 時(shí)， f (x) 在 R 上單調(diào)遞減；當(dāng) a0時(shí)， f (x) 在 (, ln a) 上單調(diào)遞減，在(ln a,) 上單調(diào)遞增（2）由（ 1）知，當(dāng) a0 時(shí)， fx在 R 上單調(diào)減，故fx 在 R 上至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件當(dāng) a0 時(shí)，f minfln a1ln a 1a令 g a11ln a a令 g a11ln aa0，則 g 'a110 從而 g a在 0 ，上單調(diào)aa2a增，而 g 10故當(dāng)0a1時(shí)，ga0

23、 當(dāng) a1時(shí) g a0 當(dāng) a1時(shí) g a0若 a1，則 f min11ln ag a0 ，故 fx0 恒成立，從而fx 無零點(diǎn)，a不滿足條件若 a1，則f min11ln a0 ，故 fx0僅有一個(gè)實(shí)根 xln a0 ，不滿足a條件若 0a1，則 fmin11ln a 0ln a 0 f1aa20 a，注意到2e1ee故 fx在1 ， ln a 上有一個(gè)實(shí)根，而又ln31ln 1ln a aa且f ln( 3ln3 1ln3131)eaa eaa2ln1aa31 3 a a 2 ln 313 1 ln 310 aaaa故fx在ln a，31上有一個(gè)實(shí)根lna又 fx在， ln a上單調(diào)減，在ln a ，單調(diào)增，故 fx在 R 上至多兩個(gè)實(shí)根又fx在1 ， ln a及l(fā)n a，31上均至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故fx在 Rlna上恰有兩個(gè)實(shí)根綜上，0a1 （二）選考題：共10 分。請考生在第22、23題中