《中考課件初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》專題29第5章相似三角形之三等角的相似備戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）（解析版）

1、29第5章相似三角形之三等角的相似一、單選題1直線l1l2l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)a，b，c恰好分別落在三條直線上，ac與直線l2交于點(diǎn)d，則線段bd的長(zhǎng)度為（ ）abcd【答案】d【解析】分別過(guò)點(diǎn)a、b、d作afl3，bel3，dgl3，先根據(jù)全等三角形的判定定理得出bceacf，故可得出cf及ce的長(zhǎng)，在rtacf中根據(jù)勾股定理求出ac的長(zhǎng)，再由相似三角形的判定得出cdgcaf，故可得出cd的長(zhǎng)，在rtbcd中根據(jù)勾股定理即可求出bd的長(zhǎng)【解答】如圖，分別過(guò)點(diǎn)a、b、d作afl3，bel3，dgl3，abc是

2、等腰直角三角形，acbc，ebc+bce90°，bce+acf90°，acf+caf90°，ebcacf，bcecaf，在bce與acf中，cbeacf（asa）cfbe，ceaf，l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，cfbe3，ceaf3+14，在rtacf中，af4，cf3，ac5，afl3，dgl3，cdgcaf， ，在rtbcd中，bc5，所以故答案為：d【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵2如圖，正方形abcd邊長(zhǎng)為4，邊bc上有一點(diǎn)e，以de為邊作矩形edfg，使fg過(guò)點(diǎn)a，則矩形

3、edfg的面積是（）a16b8c8d16【答案】d【解析】先利用等角的余角證明adfedc，再根據(jù)相似三角形的判定方法證明adfcde，然后利用相似比計(jì)算df與de的關(guān)系式，最后根據(jù)矩形的面積公式求得矩形的面積便可.【解答】解：四邊形abcd為正方形，adcd4，adcc90°，四邊形edfg為矩形，edff90°，adf+ade90°，ade+edc90°，adfedc，adfcde，即 ，df，矩形edfg的面積為：dedfde16故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積是解題重要一步3如圖，已知矩形的頂點(diǎn)分別落在軸軸上，

4、ab=2bc則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）abcd【答案】d【解析】過(guò)c作cex軸于e，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到cd=ab，abc=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到bce=abo，進(jìn)而得出bceabo，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論【解答】解：過(guò)c作cex軸于e，四邊形abcd是矩形，cd=ab，abc=90°，abo+cbe=cbe+bce=90°，bce=abo，bceabo，ab=，ab=2bc，bc=ab=4，ce=2，be=2oe=4+2c（4+2，2），故選：d【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵4如圖，矩形紙片ab

5、cd中，ab=6，bc=8，e是邊cd上一點(diǎn)，連接ae折疊該紙片，使點(diǎn)a落在ae上的g點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)b，得到折痕bf，點(diǎn)f在ad上若de=4，則af的長(zhǎng)為（   ） a   b4     c3     d2【答案】c【解析】由矩形的性質(zhì)可得ab=cd=6，ad=bc=8，bad=d=90°，通過(guò)證明abfdae，可得，即可求解【解答】解：矩形abcd， bad=d=90°，bc=ad=8 bag+dae=90°

6、折疊該紙片，使點(diǎn)a落在ae上的g點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)b，得到折痕bf， bf垂直平分ag abf+bag=90° dae=abf， abfdae 即 解之：af=3 故答案為：c【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵5如圖，為的邊上一點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）abcd【答案】a【解析】根據(jù)已知證明adbabc,利用代值求解即可【解答】，a=c，dbc=bdc，dbc=2a，bdc=a+abd=2a，abd=a=c，adbabc，ad=bd，設(shè)bd=ad=x，則，即，解得：（不符題意，舍去），故選：a【點(diǎn)睛】本題考

7、查等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵二、填空題6如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，將沿對(duì)折，點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，與對(duì)角線交于點(diǎn)，連結(jié)若，則_【答案】【解析】由折疊的性質(zhì)可得bcm=bfm，bc=bf，再由fmcd，可得bfm=abf，從而得abfbca，由相似三角形的性質(zhì)求得ab，進(jìn)而由勾股定理可求解【解答】解：四邊形是矩形，abc=bad=90°，abcd，fmab，bfm=abf，由折疊的性質(zhì)可得：bcm=bfm，bc=bf=4，abf=acb，abfbca，即，；故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、相似三

8、角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明三角形的相似，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解7如圖，點(diǎn)d是等邊abc邊ab上的一點(diǎn)，且ad：db2：3，現(xiàn)將abc折疊，使點(diǎn)c與d重合，折痕為ef，點(diǎn)e，f分別在ac和bc上，則ce：cf_【答案】【解析】借助翻折變換的性質(zhì)得到de=ce，設(shè)ad=2k，db=3k得到ab=5k，根據(jù)aedbdf即可解決問(wèn)題【解答】解：設(shè)ad=2k，則db=3k，ab=5k，abc為等邊三角形，ab=ac=5k，a=b=c=edf=60°，eda+fdb=120°，又eda+aed=180°-a=180°-60°

9、;=120°，fdb=aed，aedbdf，由折疊得ce=de，cf=dfaed的周長(zhǎng)為ad+ae+ed=ad+ac=2k+5k=7k，bdf的周長(zhǎng)為db+df+bf=db+bc=3k+5k=8k，由相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比可知，aed與bdf的相似比為7：8ce：cf=de：df=7：8，故答案為：7：8【點(diǎn)睛】主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是借助相似三角形的判定與性質(zhì)（用含有k的代數(shù)式表示）；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求8如圖，四邊形abcd中，abcd，c90°，ab1，cd2，bc3，點(diǎn)p為bc邊上一動(dòng)點(diǎn)，若apdp，則bp的

10、長(zhǎng)為_(kāi)【答案】1或2【解析】設(shè)bp=x，則pc=3-x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得b=90°，根據(jù)同角的余角相等可得cdp=apb，即可證明cdpbpa，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案【解答】設(shè)bp=x，則pc=3-x，abcd，c90°，b=180°-c=90°，b=c，apdp，apb+dpc=90°，cdp+dpc=90°，cdp=apb，cdpbpa，ab1，cd2，bc3，解得：x1=1，x2=2，bp的長(zhǎng)為1或2，故答案為：1或2【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列方程是解題

11、的關(guān)鍵9如圖，點(diǎn)為外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線、，點(diǎn)、為切點(diǎn)連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)已知，則的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【解析】連接ob，在中應(yīng)用勾股定理求得的半徑為3，再根據(jù)，對(duì)應(yīng)線段成比例即可求解【解答】解：連接ob，、為的切線，設(shè)的半徑為r，則，在中，即，解得，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理的應(yīng)用等內(nèi)容，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵10在直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5，點(diǎn)和點(diǎn)是圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中與均不為0過(guò)點(diǎn)分別作圓的切線與軸和分別相交于兩點(diǎn)，則_【答案】25【解析】根據(jù)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5，可得圓與y軸相切于點(diǎn)o，則有

12、：ao=ab，bp=bd，可得，有，可證，得到，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果【解答】解：如圖示，ab、bd與圓相切于點(diǎn)p，d，ab、bd相交于點(diǎn)b，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5，圓與y軸相切于點(diǎn)o，則有：ao=ab，bp=bd，od是圓的直徑，又p是切點(diǎn)，即：，故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線和相似三角形的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵三、解答題11如圖，在中，于，于，試說(shuō)明：（1）（2）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）直接根據(jù)相似三角形的判定證明即可；（2）首先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明adeacb，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明【解答】解：（1）cdab于d，beac于e

13、，aeb=adc=90°，在abe和acd中abeacd；（2）abeacd，在ade和acb中，adeacbad·bc=de·ac【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12如圖，是的角平分線，延長(zhǎng)至點(diǎn)使得求證：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證【解答】是的角平分線又【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵13如圖，在中，是上一點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作，射線交線段于.

14、（1）求證：；（2）當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）長(zhǎng)為2或3【解析】（1）由三角形外角性質(zhì)可得ced=b+bde，結(jié)合def=b可推出bde=cef，再加上b=c可證明dbeecf；（2）由dbeecf可得對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)，則，建立方程求解即可.【解答】（1）證明：，；，.（2）（已證）.；為的中點(diǎn)，.設(shè)，則；又，解得或3.故長(zhǎng)為2或3.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，此圖形可作為“一線三等角”模型記住證明方法，第（2）題由相似得到對(duì)應(yīng)邊成比例，建立方程是解題的關(guān)鍵.14如圖，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，（1）求的長(zhǎng)（2）求證：【答案】（1）5；（2）證

15、明見(jiàn)解析；【解析】（1）先證明出，得出，假設(shè)bd為x，則dc=15-x，代入分式方程求出bd的長(zhǎng)；（2）由（1）可知，推出，得出結(jié)果；【解答】（1），為中點(diǎn)，設(shè)，則，即：，解得：，（2）由（1）可知，在和中，【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用15如圖，在中，是高，平分，分別與，相交于點(diǎn)，（1）求證：（2）求證：（3）若，求的長(zhǎng)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【解析】（1）由題意易得，進(jìn)而可知，然后有，進(jìn)而問(wèn)題得證；（2）由題意易得，進(jìn)而有，進(jìn)而問(wèn)題得證；（3）如圖，作于，從而易得，進(jìn)而可得，然后由可進(jìn)行求解【解答】證明：

16、（1）為邊上的高，是的平分線，；（2），；（3）如圖，作于，由，由【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵16已知，如圖，在矩形abcd中，e為ad的中點(diǎn)，交ab于f，連結(jié)fc（ab>ae）（1）求證： （2）與是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）設(shè)，是否存在這樣的值，使得與相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出的值；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）相似，理由見(jiàn)解析；（3）存在，k=【解析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余和等角的余角相等可得dec=afe，再根據(jù)a=d=90°可證得結(jié)論；（

17、2）延長(zhǎng)fe與cd的延長(zhǎng)線交于g，證明rtaefrtdeg（asa）由全等三角形的性質(zhì)可得出ef=eg證明rtefcrtegc（sas）得出afe=egc=efc則可證得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，當(dāng)afe=bcf時(shí)根據(jù)一個(gè)三角形最多有一個(gè)直角排除，當(dāng)afe=bfc，設(shè)bc=a，則ab=ka，由aefbcf，得出af=ka，bf=ka，再借助aefdce即可證明【解答】解：（1）efec，fec=90°，即aef+dec=90°，四邊形abcd為矩形，a=d=90°，aef+afe=90°，dec=afe，a=d=90°，aefdce；（2）a

18、efecf證明如下：延長(zhǎng)fe與cd的延長(zhǎng)線交于g，e為ad的中點(diǎn)，ae=de，aef=ged，a=edg，rtaefrtdeg（asa）ef=egce=ce，fec=ceg=90°，rtefcrtegc（sas）afe=egc=efc又a=fec=90°，aefecf；（3）存在k值，使得aef與bfc相似理由如下：假定aef與bfc相似，則有兩種情況：當(dāng)afe=bcf，則有afe與bfc互余，于是efc=90°，因此此種情況是不成立的；當(dāng)afe=bfc，使得aef與bfc相似，設(shè)bc=a，則ab=ka，aefbcf，af=ka，bf=ka，aefdce，即，解得

19、，k=【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理，能正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵17已知在中，為邊上的一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作射線，分別交邊、于點(diǎn)、（1）當(dāng)為的中點(diǎn)，且、時(shí)，如圖1，_：（2）若為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，_；（3）若改變點(diǎn)到圖3的位置，且時(shí)，求的值【答案】（1）2；（2）2；（3）【解析】（1）由為的中點(diǎn)，結(jié)合三角形的中位線的性質(zhì)得到 從而可得答案；（2）如圖，過(guò)作于 過(guò)作于結(jié)合（1）求解再證明利用相似三角形的性質(zhì)可得答案；（3）過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明,可得 再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解 同法求解

20、從而可得答案【解答】解：（1）為的中點(diǎn)， 故答案為： （2）如圖，過(guò)作于 過(guò)作于 由（1）同理可得 ： 故答案為： （3）過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同理可得：【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵18如圖，在矩形中，、分別為、邊上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，證明：【答案】見(jiàn)解析【解析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)余角的性質(zhì)證明，再證明即可證明結(jié)論成立【解答】證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且四邊形為矩形，又，又，【點(diǎn)睛】本題考查了余角的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵19關(guān)于x的

21、方程和一元二次方程中，k，m均為實(shí)數(shù)，方程的根為非負(fù)數(shù)（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k為最小整數(shù)時(shí)，方程有兩根分別為和，求m的值；（3）在（2）的條件下，若直線y=kx+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)a，b，點(diǎn)c是雙曲線在第一象限圖像上一動(dòng)點(diǎn)，作cdy軸交線段ab于點(diǎn)e，作cfx軸交線段ab于點(diǎn)g，坐標(biāo)原點(diǎn)為o按要求補(bǔ)全圖形并完成：bg·ae_；求eog的度數(shù)【答案】（1）k-1且k2；（2）m=4；（3）1；eog=45°【解析】（1）先解方程，根據(jù)方程的根為非負(fù)數(shù)及一元二次方程的定義即可得答案；（2）由（1）可知k-1，根據(jù)k為最小整數(shù)可知k=-1，可得方程為，利用一元二次方

22、程根與系數(shù)的關(guān)系即可得答案；（3）根據(jù)（2）可得直線ab和雙曲線的解析式，根據(jù)題意作出圖形，過(guò)點(diǎn)e作epx軸于p，過(guò)g作gqy軸于q，設(shè)點(diǎn)c坐標(biāo)為（t，），由直線ab解析式可得a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得aob是等腰直角三角形，進(jìn)而可得bqg和epa是等腰直角三角形，可得bg=qg，ae=pe，即可得答案；如圖，連接oe、og，由得bg·ae=1，oa=ob=1，oba=oab=45°，可得，即可證明bogaeo，可得ogb=eoa，根據(jù)外角性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得eog=oab=45°【解答】（1），x=，方程的根為非負(fù)數(shù)，方程是一元二次方程，0，2-k0，解得：k-1且

23、k2（2）由（1）可知k-1，k為最小整數(shù)，k=-1，方程為，方程有兩根分別為和，+()=，即-m=-4，解得：m=4（3）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如下，過(guò)點(diǎn)e作epx軸于p，過(guò)g作gqy軸于q，由（2）可知k=-1，m=4，直線ab解析式為y=-x+1，雙曲線的解析式為，直線y=kx+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)a，b，a（1，0），b（0，1），oa=ob=1，oba=oab=45°，aob是等腰直角三角形，epx軸，gqy軸，bqg和epa是等腰直角三角形，bg=gq，ae=pe，cdy軸，cfx軸，gq=cd，pe=cf，設(shè)點(diǎn)c坐標(biāo)為（t，），則cd=t，cf=，bg·ae=t×·=1如圖，連接oe、og，由得bg·ae=1，oa=ob=1，oba=oab=45°，bg=，bogaeo，ogb=eoa，ogb=goa+oab，eoa=eog+goa，eog=oab=45°【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義、根與系數(shù)的關(guān)系；等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如