由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式的常用策略

1、化歸思想在遞推數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用在高屮數(shù)學(xué)屮，解決數(shù)列問題常用的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思 想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，尤其是運(yùn)用化歸 思想將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來研究，是解答數(shù)列問題的最 基本的思維方向。本文就教學(xué)中積累的運(yùn)用化歸思想求解遞推數(shù)列通 項(xiàng)公式做一總結(jié)，供參考。運(yùn)用化歸思想求解遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，其思路是通過恰當(dāng)變換 遞推關(guān)系，將非等差非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列而求得其通項(xiàng)公式?；瘹w與轉(zhuǎn)化的原則是：將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易 解的或已經(jīng)解決的問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的、直觀的問題; 將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題；將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的、特

2、 殊的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便于解決。轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型主耍有：已知與未知的轉(zhuǎn)化；部分與整體 的轉(zhuǎn)化;具體與抽象的轉(zhuǎn)化;特殊與一般的轉(zhuǎn)化;不等與相等的轉(zhuǎn)化； 運(yùn)動(dòng)與靜止的轉(zhuǎn)化；分散與集中的轉(zhuǎn)化；幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化；陌生與 熟悉的轉(zhuǎn)化；高次與低次的轉(zhuǎn)化；復(fù)雜與簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化；綜合與基本的 轉(zhuǎn)化；順向與逆向的轉(zhuǎn)化；常規(guī)與技巧的轉(zhuǎn)化；高維與低維的轉(zhuǎn)化; 正面與反面的轉(zhuǎn)化解題方法：運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的依據(jù)或步驟主耍是要明確三個(gè)問題：(1)明確化歸對(duì)象，即對(duì)什么問題轉(zhuǎn)化，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的根 基(2)認(rèn)清化歸目標(biāo)，即化歸到何處去，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的目 標(biāo)(3)把握化歸方法，即如何進(jìn)行

3、化歸，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的關(guān) 鍵。運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的主要轉(zhuǎn)化方法有：待定系數(shù)法、作差 法、倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法、換元法、配湊法等。一、一階線性遞推公式an+i = pan +q(p> q為常數(shù),pho,phl)此類數(shù)列解決的思路是，運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù) 列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是分離常數(shù)法或作差法。例、在數(shù)列仗“沖,ax = 1,> 2時(shí)，有= 3a“_ + 2,求a“的通項(xiàng) 公式？解法 1:設(shè)+ m = 3(a“_i + jw),則有4“ =+ 2m比較=3a“_i + 2,得m = l,所以有+1 = 3(aw_1 +1)數(shù)列+1是以a,+l = 2為首項(xiàng)，3為公比

4、的等比數(shù)列/. ah =2x3m_1 -1解法 2： 5 "%+2® an-l = % ”-2 +2兩式相減得:an -an_x = 3(% -an_2)是以«2-«1=4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 an -an_x = 4x3"-$,由累加法得a“ = 2x3"-1點(diǎn)評(píng)：本例運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想，化一般為特殊，以化歸為特殊 數(shù)列為目標(biāo)，通過分離常數(shù)法、作差法手段實(shí)現(xiàn)了化歸目標(biāo)。二、一階分式遞推公式嚴(yán)旦ycd為非零常數(shù))a. +d此類數(shù)列解決的思路是，運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是取倒數(shù)法。例2、已知在各

5、項(xiàng)不為零的數(shù)列他中,a. = l9an_t =,求數(shù)1-心列的通項(xiàng)公式？解：d“_i =，兩邊取倒數(shù)得=-= 11-心55.丄丄=1 ,所以數(shù)列丄是以丄=1為首項(xiàng)，1為公差的等 心存155差數(shù)列，則- = n, an=-ann例3、已知數(shù)列心滿足碼=2,%】=呂求的通項(xiàng)公式？ 心+4解：兩邊取倒數(shù)得：= = 2x-s- +丄5+1 加“an 2£+2 = 2（4）* + £是以才+卜1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列?？肛?點(diǎn)評(píng)：上述兩例運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想，以化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列為目標(biāo)，通過取倒數(shù)手段實(shí)現(xiàn)了化歸目標(biāo)。三、一階遞推公式an+1 = pan + f（n） （p為常

6、數(shù),pho,phl）若/仇）="（g工0,g工1）,此類數(shù)列解決的思路是,運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式求解，具休轉(zhuǎn)化途徑是兩邊同除以/杠得：孕=£空+丄q q q“ q"咿十則轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式。例4、已知數(shù)列他滿足的=1, a,”=込+2"煮，求a”解：由已知得翔一器步+1 設(shè)乞=芽故有"+1 =訊+13心+1+2 = 3；（加+2）仮+2是以專為公比，多為首項(xiàng)的等比數(shù)列53"+2右（尹5x3"“2“a _ 5x3-2= 5x3"-2n+i點(diǎn)評(píng)：本例屮運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化思想，通過換元法手段將一階遞推公 式轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式求解。四、二階線性遞推公式2 = p7 +州（p、g為非零常數(shù)）此類數(shù)列解決的思路是，運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù) 列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例 5、馥|j 4“中嗎=1<2=2,且+2扌g(shù)+g”，求數(shù)列心的通項(xiàng)公式?解：設(shè)+2 一加”+1 =加（+1 一加”）?！?2 =（加+兄）a”+i 一加加”1mx =2 = 13 1或d2m =zn + /t =33v2比較得:2 =3m = 1-是以幻-如"為首項(xiàng)，-斗為公比的等比數(shù)列或數(shù)列g(shù)+軋j是以專為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列 jj117 -an a