浙教版八年級(jí)上第2章特殊三角形小專題：等腰三角形中的分類討論(含答案)

1、小專題（二 ）等腰三角形中的分類討論類型 1 對(duì)頂角和底角的分類討論對(duì)于等腰三角形，只要已知它的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，就能算出其他兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，如果題中沒(méi)有確定這個(gè)內(nèi)角是頂角還是底角，就要分兩種情況來(lái)討論在分類時(shí)要注意：三角形的內(nèi)角和等于 180 °；等腰三角形中至少有兩個(gè)角相等1等腰三角形中有一個(gè)角為 52 °，它的一條腰上的高與底邊的夾角為多少度？解：若已知的這個(gè)角為頂角，則底角的度數(shù)為（180062°）攵= 64° ,故一腰上的高與底邊的夾角為 26 °；若已知的這個(gè)角為底角，則一腰上的高與底邊的夾角為38 .故所求的一腰上的高與底邊的夾角為

2、 26°或 38°.類型 2 對(duì)腰長(zhǎng)和底長(zhǎng)的分類討論在解答已知等腰三角形邊長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)， 當(dāng)題目條件中沒(méi)有明確說(shuō)明哪條邊是“ 腰 ” 、哪條邊是“ 底 ” 時(shí)，往往要進(jìn)行分類討論判定的依據(jù)是：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊2. (1)已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于 6 cm, 一邊長(zhǎng)等于7 cm,求它的周長(zhǎng);(2)等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于 8 cm ， 周長(zhǎng)等于 30 cm ， 求其他兩邊的長(zhǎng)解：(1) 周長(zhǎng)為19 cm 或 20 cm.(2)其他兩邊的長(zhǎng)為 8 cm， 14 cm 或 11 cm， 11 cm.3若等腰三角形一腰上的中線分周長(zhǎng)為9 cm 和 1

3、2 cm 兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長(zhǎng)解：如圖，由于條件中中線分周長(zhǎng)的兩部分，并沒(méi)有指明哪一部分是9 cm、哪一部分是12 cm,因此，應(yīng)有兩種情形.設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為xcm,底邊長(zhǎng)為ycm,根據(jù)題意，得x + -x= 92x + -x= 12212x + y=12x + y = 9.x = 6, x = 8, 解得 或ly = 9, ly = 5.故腰長(zhǎng)是6 cm,底邊長(zhǎng)是9 cm或腰長(zhǎng)是8 cm,底邊長(zhǎng)是5 cm.類型3幾何圖形之間的位置關(guān)系不明確的分類討論4.已知C、D兩點(diǎn)在線段 AB的中垂線上，且/ACB = 50° , ADB = 80 求/CAD的度數(shù).解：

4、如圖1,當(dāng)C、D兩點(diǎn)在線段AB的同側(cè)時(shí)，.C、D兩點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，.CA = CB. CAB是等腰三角形.又. CELAB,.CE 是 / ACB 的平分線.ACE = / BCE. ACB = 50 , . ACE = 25 .同理可得/ADE = 40° , .CAD=/ADE/ACE = 40 25 M5圖1圖2如圖2,當(dāng)C、D兩點(diǎn)在線段AB的兩側(cè)時(shí)，同的方法可得/ACE =25 , ADE = 40 , CAD=180 -(/ADE+ /ACE) =180 -(40 也5 )=180 -65 = 115 .故/CAD的度數(shù)為15°或15°.類型

5、4 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中等腰三角形中的分類討論5.(下城區(qū)校級(jí)期中)在 RtABC 中，/C=90° ,BC = 8 cm, AC = 6 cm, 在射線BC上一動(dòng)點(diǎn)D,從點(diǎn)B出發(fā)，以2厘米每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，以A、D、B為頂點(diǎn)的三角形恰為等腰三角形，則所用時(shí)間 t25為一或5或8秒.8解析：當(dāng)AD=BD時(shí)，在RtMCD中，根據(jù)勾股定理，得AD2 = AC2 + CD2,即 BD2=(8-BD)2 + 62,25解得 BD = 1 cm.25425則 t=一（秒）； 28當(dāng)AB=BD時(shí)，在RtMBC中，根據(jù)勾股定理，得AB«AC2 + BC2 = 62 + 82

6、= 10（cm）,10則 t="2- = 5（秒）；當(dāng) AD = AB 時(shí)，BD = 2BC=16 cm,16則 t="2- = 8（秒）.綜上所述，t的值可以是：空，5, 8.86.(杭州期中)如圖，已知 4ABC 中，ZB = 90° ,AB = 8 cm, BC = 6 cm, P、 Q是ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn) P從點(diǎn)A開始沿A-B方向運(yùn)動(dòng)，且 速度為每秒1 cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B-C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2 cm, 它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.當(dāng)t= 2秒時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；(2)求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，zPQB是等腰三角形?若Q沿B-C-A方向運(yùn)動(dòng)

7、，則當(dāng)點(diǎn) Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使 BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.C K Li解：(1)BQ = 2T2 = 4(cm),BP = AB AP = 8 2X1 = 6(cm),B = 90 ,.*PQ = BQ2 + BP2=42 + 62 = 2yi3(cm).(2)根據(jù)題意，得BQ = BP,即 2t= 8 t,8 解得一.38出發(fā)時(shí)間為3秒時(shí)，zPQB是等腰三角形.(3)分三種情況：當(dāng)CQ = BQ時(shí)，如圖1所示，則/C=/CBQ,v ABC = 90 , CBQ+/ABQ = 90 , A+/C = 90 . . A=/ABQ. BQ = AQ. CQ = AQ = 5 cm. BC + CQ=11 cm. t= 11 受= 5.5（秒）.當(dāng)CQ = BC時(shí)，如圖2所示,則 BC+CQ=12 cm. t=12 受=6（秒）.當(dāng)BC = BQ時(shí)，如圖3所示,過(guò)B點(diǎn)作BEX AC于點(diǎn)E,AB BC則 BE =AC6X810= 4.8（ cm