2020屆江蘇省南京師范大附中高三下學(xué)期6月高考模擬(2)數(shù)學(xué)試題

1、1 / 28 2020屆屆江蘇省南京師范大附中高三下學(xué)期江蘇省南京師范大附中高三下學(xué)期6月高考模擬月高考模擬(1)數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試題 第第卷（必做題，共卷（必做題，共 160 分）分） 一、填空題（本大題共一、填空題（本大題共 14 小題，每小題小題，每小題 5 分，共計(jì)分，共計(jì) 70分不需要寫出解答過程，請將答案分不需要寫出解答過程，請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上）填寫在答題卡相應(yīng)的位置上） 1. 已知集合2,3a=，2,4b =，則ab =_ 【答案】2,3,4 【解析】 【分析】 利用并集的知識求得ab. 【詳解】集合2,3a=，2,4b =，所以ab =2,3,4. 故答案為：2,3,

2、4 【點(diǎn)睛】本小題主要考查并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題. 2. 設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(),rzabi a b=+，若242zi=+，則ab =_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)2z化為一般形式，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求得ab的值. 【詳解】復(fù)數(shù)(),rzabi a b=+，()2222242zabiababii=+=+=+，22ab=， 因此，1ab =. 故答案為：1. 【點(diǎn)睛】本題考查利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)，同時也考查了復(fù)數(shù)乘法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 3. 將 6個數(shù)據(jù) 1，2，3，4，5，a 去掉最大的一個，剩下的 5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 1.8，則a=_ 【答

3、案】1 【解析】 【分析】 利用平均數(shù)的計(jì)算公式列方程，解方程求得a的值. 【詳解】若a是最大的數(shù)，則1 234535+ +=， 不符合題意. 故5是最大的數(shù)， 2 / 28 則12341.85a+ +=，解得1a = . 故答案為：1 【點(diǎn)睛】本小題主要考查平均數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題. 4. 下圖是一個算法流程圖，則輸出的s的值是_ 【答案】1024 【解析】 【分析】 列舉出算法循環(huán)的每一步，由此可得出輸出的s的值. 【詳解】第一次循環(huán)，010k =成立，012s = +，0 11k =+ =； 第二次循環(huán)，110k = 成立，01122s = +，1 12k = + =； 第三次循環(huán)，21

4、0k =成立，0121222s = +，213k =+ =； 以此類推，執(zhí)行最后一次循環(huán)，910k =成立，012912222s = +，9 110k =+ =； 1010k =不成立，輸出1001291 21 2222110241 2s= += +=. 故答案為：1024. 【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于中等題. 5. 從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是_ 3 / 28 【答案】19 【解析】 個位數(shù)為 1,3,5,7,9 時，十位數(shù)為 2,4,6,8；個位數(shù)為 0,2,4,6,8 時，十位數(shù)為 1,3,5,7,9，共 45 個

5、個位數(shù)為 0 時，十位數(shù)為 1,3,5,7,9，共 5 個，個位數(shù)為 0 的概率是54519. 6. 函數(shù)( )()1 lg 2f xx=的定義域?yàn)開 【答案】)8,2 【解析】 分析】 由二次根式的被開方數(shù)非負(fù)，對數(shù)的真數(shù)大于零，列不等式組，可求得函數(shù)的定義域 【詳解】解：由題意得，1 lg(2)020 xx得021020 xx， 解得82x ， 所以函數(shù)的定義域?yàn)?8,2， 故答案為：)8,2 【點(diǎn)睛】此題考查求復(fù)合函數(shù)的定義域，考查對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題 7. 曲線()2sin04yx=+的一個對稱中心的坐標(biāo)為()3,0，則的最小值為_ 【答案】4 【解析】 【分析】 令2sin(

6、3)04+=，求出最小的即可. 【詳解】令2sin(3)04+=，可得sin(3)04+=，3=,4+kkz +,123= kkz，當(dāng)1,4=k最小 故答案為：4 【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱中心，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題. 8. 設(shè)雙曲線()222210,0 xyabab=的左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離與它到右準(zhǔn)線的距離的比為1:2，則雙曲4 / 28 線的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離分別為1d，2d，則12dd=_ 【答案】33 【解析】 【分析】 先由題意，得到左準(zhǔn)線為：2axc= ；右準(zhǔn)線為2axc=；左右焦點(diǎn)分別記作()1,0fc，()2,0fc，根據(jù)題中條件，得到223c

7、a=，記該雙曲線的右頂點(diǎn)為(),0a a，過點(diǎn)(),0a a作1aml于點(diǎn)m，過點(diǎn)()2,0fc作21f nl于點(diǎn)n，其中1l為雙曲線的一條漸近線；根據(jù)三角形相似，即可得出結(jié)果. 【詳解】因?yàn)殡p曲線()222210,0 xyabab=的左準(zhǔn)線為：2axc= ；右準(zhǔn)線為2axc=； 左右焦點(diǎn)分別記作()1,0fc，()2,0fc， 又左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離與它到右準(zhǔn)線的距離的比為1:2， 所以2212accacc=+，整理得223ca=， 記該雙曲線的右頂點(diǎn)為(),0a a，如圖，過點(diǎn)(),0a a作1aml于點(diǎn)m，過點(diǎn)()2,0fc作21f nl于點(diǎn)n，其中1l為雙曲線的一條漸近線； 則易知2r

8、t oamrt of n， 所以21222233damoaaadf nofcc=. 5 / 28 故答案為：33. 【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線性質(zhì)的簡單應(yīng)用，熟記雙曲線的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型. 9. 已知在體積為4的圓柱中，ab，cd分別是上、下底面直徑，且abcd，則三棱錐abcd的體積為_ 【答案】83 【解析】 設(shè)上，下底面圓的圓心分別為1o，o，圓的半徑為r 由已知，214vroo=圓柱，則214roo= a bcdc oabd oabvvv=+ o是cd中點(diǎn) c到平面oab的距離與d到平面oab的距離相等 故c oabd oabvv=，2a bcdc oabvv= 設(shè)三棱錐coab

9、的高為h 則hr=， 211122 122233 28333a bcdc oaboabvvshab oorroor oor= 10. 已知( )3,0sin ,0 xx xf xx x=，( )23 ,0cos,0 xx xg xxx x+=+，則不等式( )()6f g x解集為_ 【答案】12xx 【解析】 【分析】 先由( )()6f g x結(jié)合函數(shù)( )yf x=的解析式，求得( )g x的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)( )yg x=的解析式可得出原不等式的解集. 【詳解】令( )ug x=，由( )()6f g x得( )6f u ，且( )3,0sin ,0 xx xf xx x=. 當(dāng)0

10、u時，由( )6f u 可得360uu，即()()22230uuu+， 6 / 28 ()2223120uuu+=+，解得2u ； 當(dāng)0u時，( )sin1,1f uu= ，此時不等式( )6f u 無解. 所以，( )2g x ，且( )23 ,0cos,0 xx xg xxx x+=+. 當(dāng)0 x 時，由( )2g x 可得232xx+，即2320 xx+，解得12x； 當(dāng)0 x 時，1cos1x ，( )cos1g xxx=+，不等式( )2g x 無解. 綜上所述，不等式( )()6f g x的解集為12xx. 故答案為：12xx. 【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)不等式的求解，考查了分類討論

11、思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題. 11. 直線yaxb=+是曲線1yx=+的切線，則+ab的最小值為_ 【答案】2 【解析】 【分析】 設(shè)直線yaxb=+與曲線1yx=+相切于點(diǎn)()00,1xx +，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，可得001,212axxb=+，再根據(jù)基本不等式可得+ab的最小值. 【詳解】設(shè)直線yaxb=+與曲線1yx=+相切于點(diǎn)()()000,10 xxx+， 當(dāng)00 x =時，直線yb=不是曲線1yx=+的切線，故00 x , 由1yx=+得0012x xyx=， 所以切線方程為()()000112yxxxx+=， 即001122xyxx=+， 7 / 28 所以

12、001,212axxb=+， 所以00001112122222xxabxx+=+ + =， 當(dāng)且僅當(dāng)01x =時，等號成立，所以()min2ab+= 故答案為：2. 【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題. 12. 各項(xiàng)為正且公差不為 0的等差數(shù)列 na的第 1項(xiàng)、第 2 項(xiàng)、第 6項(xiàng)恰好是等比數(shù)列 nb的連續(xù)三項(xiàng)（順序不變），設(shè)12231111nnnsa aa aa a+=+，若對于一切的*nn，11nsa，則1a的最小值為_ 【答案】13 【解析】 【分析】 根據(jù)等差數(shù)列 na的第 1 項(xiàng)、第 2 項(xiàng)、第 6 項(xiàng)恰好是等比數(shù)列 nb的連續(xù)三項(xiàng)，利用等比中項(xiàng)得到

13、2216aa a=，化簡得到13da=，從而求得()132nana=，然后利用裂項(xiàng)相消法求得()2131nnsna=+，再由()211131nnaa+，得到131nan+求解. 【詳解】設(shè)等差數(shù)列 na的公差為 d， 由2216aa a=得()()21115adaad+=+， 因?yàn)?d ， 所以13da=， 所以()()11132naandna=+=， 12231111nnnsa aa aa a+=+ 8 / 28 11223111111113nnaaaaaaa+=+ ()()21111133131ndnaanana=+， 所以()211131nnaa+，則131nan+， 因?yàn)?111313

14、313nnn=+， 所以113a ， 故1a的最小值為13 故答案為：13 【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)，裂項(xiàng)相消法求和以及數(shù)列不等式問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題. 13. 在abc中，24acbc=，acb為鈍角，,m n是邊ab上的兩個動點(diǎn)，且1mn =，若cm cn的最小值為34，則cosacb=_ 【答案】1 3 58 【解析】 【分析】 取mn的中點(diǎn)p得pnpm= ，12pnpm=，再將cm cn用向量,pn pm cp表示并結(jié)合cm cn的最小值為34得min1cp=，即c到直線ab的距離為1，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求得cosacb 【詳解】取mn的中點(diǎn)

15、p，取pnpm= ，12pnpm=， () () () ()214cm cncppmcppncppmcppmcp=+=+=， 9 / 28 因?yàn)閏m cn的最小值34， 所以min1cp= 作chab，垂足為h，如圖， 則1ch =，又2bc =，所以30b=， 因?yàn)?ac =， 所以由正弦定理得：1sin4a=，15cos4a=， 所以()31coscos 150cossin22acbaaa= + 315111 3 524248= += 故答案為：1 3 58. 【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中檔題. 14. 設(shè) a，b是兩個實(shí)數(shù)，0ab，直線: l

16、 ykxm=+和圓221xy+=交于兩點(diǎn) a，b，若對于任意的,ka b，均存在正數(shù) m，使得oab的面積均不小于34，則2ba的最大值為_ 10 / 28 【答案】2 【解析】 【分析】 設(shè) o 到直線 l 的距離為 d，利用三角形的面積均不小于34列不等式，由此求得d的取值范圍，再利用點(diǎn)到直線的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于,m k的不等式.根據(jù)k的取值范圍，求得m的取值范圍，由此求得關(guān)于, a b的不等式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得2ba的最大值. 【詳解】設(shè) o 到直線 l的距離為 d，則2132 124aobsdd=， 解得1322d，即213221mk+， 所以22131122kmk+ +， 因?yàn)?ka b

17、，0m 時， 22max111122kb+=+，22min331122ka+=+， 所以22131122bma+ +， 因?yàn)榇嬖?m 滿足條件， 11 / 28 所以22131122ba+ +， 化簡得223122ba，且0ab， 由223122ba得232ba+， 所以( )22322baaaf a+=， 因?yàn)?a ，解不等式( )26202 32afaa=+無解， 所以( )f a在)0,+上單調(diào)遞減， 所以( )( )02f af= 故2ba的最大值為2 故答案為：2 【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題. 二、二、解答題（本大題共解答題（本大題共 6

18、小題，共計(jì)小題，共計(jì) 90 分請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說分請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）明，證明過程或演算步驟） 15. 如圖，在四棱錐 pabcd 中，底面 abcd為矩形，平面 pad平面 abcd，papd，e，f分別為ad，pb的中點(diǎn)求證： （1）ef/平面 pcd； （2）平面 pab平面 pcd 【答案】（1）見解析；（2）見解析 【解析】 【分析】 （1）取 bc 中點(diǎn) g，連結(jié) eg，fg，推導(dǎo)出/ /fgpc，/ /egdc，從而平面/ /efg平面pcd，由此12 / 28 能得出結(jié)論； （2）推導(dǎo)出cdad，從而cd 平

19、面 pad，即得cdpa，結(jié)合papd得出pa 平面 pcd，由此能證明結(jié)論成立. 【詳解】（1）取 bc中點(diǎn) g，連結(jié) eg，fg，e，f 分別是 ad，pb 的中點(diǎn)， / /fgpc，/ /egdc， / /fg面pcd，/ /eg面pcd， fgegg=，平面/ /efg平面pcd， ef 平面efg，/ /ef平面pcd. （2）因底面 abcd 為矩形，所以cdad， 又因?yàn)槠矫鎝ad 平面 abcd， 平面pad平面abcdad=，cd 平面 abcd，所以cd 平面 pad 因?yàn)閜a 平面 pad，所以cdpa. 又因?yàn)閜apd， pdcdd=，所以pa 平面 pcd 因?yàn)閜a

20、平面 pab，所以平面pab 平面 pcd 【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直、線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題. 16. 已知，均為銳角，且5tantan43+= （1）求cos2的值； （2）若()1sin3=，求tan的值 【答案】（1）35；（2）95 22+. 【解析】 【分析】 （1）對所給等式利用兩角差的正切公式展開化簡可求出tan，再利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系13 / 28 進(jìn)行化簡求值；（2）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出()cos、()tan，角寫為()+，再利用兩角和的正切公式展開求值. 【詳解】（1）由5t

21、antan43+=，得1tan5tan1tan3+=+，即23tan5tan20=， 解得tan2=，或1tan3= ，因?yàn)闉殇J角， 所以tan2=，222222cossin1 tan3cos2cossin1 tan5= + （2）因?yàn)?，均為銳角，所以22， 所以()()22 2cos1 sin3=，()()()sin2tancos4=， ()()()tantantantan1 tantan+=+= ()228295 24222 22124+= 【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、三角恒等變換，涉及兩角和與差的正切公式、二倍角的余弦公式，屬于中檔題. 17. 一種機(jī)械裝置的示意圖如圖所示，所有

22、構(gòu)件都在同一平面內(nèi)，其中，o，a是兩個固定點(diǎn)，2oa =米，線段 ab 是一個滑槽（寬度忽略不計(jì)），1ab =米，60oab=，線段 op，oq，pq 是三根可以任意伸縮的連接桿，opoq，o，p，q 按逆時針順序排列，該裝置通過連接點(diǎn) q 在滑槽 ab 中來回運(yùn)動，帶動點(diǎn) p 運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，始終保持14opoq= （1）當(dāng)點(diǎn) q運(yùn)動到 b點(diǎn)時，求 op的長； （2）點(diǎn) q在滑槽中來回運(yùn)動時，求點(diǎn) p 的運(yùn)動軌跡的長度 14 / 28 【答案】（1）34米；（2）14米 【解析】 【分析】 （1）當(dāng) q運(yùn)動到b時，由條件可求得3oq = 在直角opq中，再利用14opoq=，可得op的長

23、. （2）以 o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ao所在的直線為 x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)出p， q兩點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線ab的方程，找出p點(diǎn)軌跡的兩個臨界，即可得出 p的運(yùn)動軌跡的長度. 【詳解】（1）在rtopq中，14opoq=，設(shè)opx=，則4oqx=， 當(dāng)點(diǎn) q運(yùn)動到 b 點(diǎn)時，224212 1 2 cos603oqx=+ =， 所以34x = 答：當(dāng)點(diǎn) q運(yùn)動到 b 點(diǎn)時，op的長為34米 （2）以 o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ao所在的直線為 x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)(),p x y，()00,q xy，則004 ,4xyyx= = 因?yàn)榫€段 ab 的方程為()32yx=+，32,2

24、x ， 所以()0032yx=+，032,2x ， 因此()4342xy=+，342,2y ， 整理得3132yx= +， 15 / 28 由342,2y 得3182y， 設(shè)直線3132yx= +和直線38y =的交點(diǎn)為 m， 直線3132yx= +和直線12y =的交點(diǎn)為 n， 則點(diǎn) p的運(yùn)動軌跡為線段 mn，易解得3 3,88m，10,2n， 所以22331108824mn=+= 答：點(diǎn) q 在滑槽中運(yùn)動時，點(diǎn) p的運(yùn)動軌跡的長度為14米 【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及直線的方程，弄清楚模型是關(guān)鍵，屬于難題. 18. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓()2222:10 xyca

25、bab+=，直線():,r,0l ykxt k tk=+ （1）若橢圓 c 的一條準(zhǔn)線方程為4x =，且焦距為 2，求橢圓 c的方程； （2）設(shè)橢圓 c 的左焦點(diǎn)為 f，上頂點(diǎn)為 a，直線 l過點(diǎn) f，且與 fa垂直，交橢圓 c于 m，n（m在 x軸上方），若2nffm=，求橢圓 c的離心率； （3）在（1）的條件下，若橢圓 c 上存在相異兩點(diǎn) p，q 關(guān)于直線 l對稱，求2t的取值范圍（用 k表示） 【答案】（1）22143xy+=；（2）1536e=；（3）220,34kk+. 【解析】 【分析】 （1）利用準(zhǔn)線、焦距以及222abc=+列方程組，解方程組求得, ,a b c的值，進(jìn)而求得

26、橢圓方程. （2）求得直線l的方程并與橢圓方程聯(lián)立，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合2nffm=得到關(guān)于, a c的方程，由此求得橢圓的離心率. （3）設(shè)()11,p x y，()22,q xy，pq的中點(diǎn)()00,xy，利用點(diǎn)差法求得0043txkyt= = ，根據(jù)點(diǎn)()00,xy在橢圓 c 的內(nèi)部列不等式，由此求得2t的取值范圍. 16 / 28 【詳解】（1）設(shè)橢圓 c 的半焦距為 c， 因?yàn)闄E圓 c的一條準(zhǔn)線方程為4x =，且焦距為 2， 所以22224,22accabc=+， 解得2,31abc=，橢圓 c 的方程為22143xy+= （2）如圖，因?yàn)?)0,ab，(),0fc， 所以afbk

27、c=， 因?yàn)橹本€ l過點(diǎn) f，且與 fa 垂直， 所以直線 l的方程為bxycc= ， 與橢圓 c 的方程聯(lián)立得()4222324220ba cyb c yb c+=， 因?yàn)?l過左焦點(diǎn) f， 所以 恒成立， 設(shè)()11,m x y，()22,n xy，則321242242124222,b cyyba cb cy yba c+= += +（*）， 因?yàn)?nffm=， 所以212yy= ， 代入（*）得32142242214222,2b cyba cb cyba c= += +， 消去1y并化簡得4222280ba cb c+=， 因?yàn)?22bac=， 所以()()2222222280aca c

28、acc+=， 17 / 28 即4224990ca ca+=， 因?yàn)閏ea=， 所以429910ee+ =，解得2356e=， 所以3515366e= （3）如圖，設(shè)()11,p x y，()22,q xy，pq中點(diǎn)()00,xy， 則221122221,43143xyxy+=+=，兩式相減并化簡得 2121212134yyyyxxxx+= +，即0034pqykx= ， 因?yàn)?pqkk= ， 所以0034kyx=， 又00ykxt=+， 所以004,3txkyt= = ， 因?yàn)辄c(diǎn)()00,xy在橢圓 c的內(nèi)部， 18 / 28 所以()2243143ttk+，化簡得22234ktk+ 故2t

29、的取值范圍為220,34kk+ 【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題. 19. 已知函數(shù)( )()11xf xaxae=+，( )21122g xaxxa=+，其中ra （1）當(dāng)0a =時，求函數(shù)( )( )()2112f xf xx=在r上的零點(diǎn)個數(shù)； （2）對任意的1x，有( )( )f xg x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 【答案】（1）( )f x在r上只有一個零點(diǎn)；（2）)0,+. 【解析】 【分析】 （1）求得( )()12112xf xex=，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)( )f x在r上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論；

30、（2）令( )( )( )h xf xg x=，求得( )()()111xh xaxe=+，對實(shí)數(shù)a的取值分0a 、1a 、10a 三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)( )h x在區(qū)間)1,+上的單調(diào)性，驗(yàn)證不等式( )0h x 是否恒成立，由此可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【詳解】（1）0a =時，( )( )()()221111122xf xf xxex=，( )11xfxex=+， 令( )11xg xex=+，則( )11xgxe=， 19 / 28 當(dāng)1x 時，( )0gx，當(dāng)1x 時，( )0gx， 所以( )g x在(),1上單調(diào)遞減，在()1,+上單調(diào)遞增，所以( )( )110g x

31、g= ， 所以( )0fx，( )f x在 r 上單調(diào)遞增， 由于( )11002fe=，( )110f=，所以( )f x在 r 上只有一個零點(diǎn) （2）令( )( )( )()1211122xh xf xg xaxaeaxxa=+， 則對任意的1x，( )0h x 恒成立，注意到( )10h=， ( )()()()()1111111111xxxxh xaeaxaeaxaxeaxaxe=+ =+ =+ 因?yàn)?x，所以110 xe 若0a ，當(dāng)1x時，10ax+ ，( )0h x，所以( )h x在)1,+上單調(diào)遞增， 當(dāng)1x時，( )( )10h xh=，符合題意 若1a ，當(dāng)1x 時，10a

32、x+ ，( )0h x，所以( )h x在)1,+上單調(diào)遞減， 當(dāng)1x 時，( )( )10h xh=，與( )0h x 矛盾，不符合題意 當(dāng)10a 時，由（1）知，( )()12112xf xex=在r上單調(diào)遞增，且只有一個零點(diǎn)， 設(shè)該零點(diǎn)為0 x，則()00,1x ， 當(dāng)1x 時，( )( )()010f xff x=， 即1x 時，()21112xex，()21112xaea x ， 則( )()()()()21211111111222xxh xaxaeaxxaaxaea xaxa=+=+ ()()()()11111211xxxaxaeaeaxaaxaeaxa+=+， 當(dāng)210axa+

33、，即121xa時，()1210 xaxae+， 當(dāng)10a ，1x 時，()10axa+， 所以12xa時，( )0h x ，與( )0h x 矛盾，不符合題意 20 / 28 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是)0,+ 【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式恒成立問題，考查計(jì)算能力，屬于難題. 20. 若無窮數(shù)列 na和無窮數(shù)列 nb滿足：存在正常數(shù) a，使得對任意的*nn，均有nnaba，則稱數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a （1）設(shè)無窮數(shù)列 na和 nb均是等差數(shù)列，且2nan=，()*2nnbnn=+，問：數(shù)列 na與 nb是否具有關(guān)系( )1p？說明理由

34、； （2）設(shè)無窮數(shù)列 na是首項(xiàng)為 1，公比為13的等比數(shù)列，11nnba+=+，*nn，證明：數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a，并求 a 的最小值； （3）設(shè)無窮數(shù)列 na是首項(xiàng)為 1，公差為()rd d 的等差數(shù)列，無窮數(shù)列 nb是首項(xiàng)為 2，公比為()*nq q的等比數(shù)列，試求數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a的充要條件 【答案】（1）數(shù)列 na與 nb不具有關(guān)系( )1p；理由見解析；（2）證明見解析，a 的最小值為 1；（3）數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a的充要條件為0d =，1q = 【解析】 【分析】 （1）先假設(shè)數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )1p，根據(jù)題意，

35、推出矛盾，即可得出結(jié)論； （2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到1112111333nnnnnab= ，即可得出數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a設(shè) a的最小值為0a，0nnaba，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果； （3）先由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出兩數(shù)列通項(xiàng)，設(shè)1da=，20bq=，根據(jù)數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a，即存在正常數(shù) a，使得對任意的*nn，均有nnaba分0d =，1q =；0d =，2q ；0d ，1q =；0d ，2q 四種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的方法，以及反證法，分別求解，即可得出結(jié)果. 【詳解】（1）因?yàn)?nan=，()*2nnbnn=+， 21 / 28 若

36、數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )1p， 則對任意的*nn，均有1nnab， 即()221nn+，亦即21n， 但4n =時，221n=， 所以數(shù)列 na與 nb不具有關(guān)系( )1p （2）證明：因?yàn)闊o窮數(shù)列 na是首項(xiàng)為 1，公比為13的等比數(shù)列， 所以113nna=， 因?yàn)?1nnba+=+， 所以113nnb=+， 所以1112111333nnnnnab= ， 所以數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a 設(shè) a 的最小值為0a，0nnaba， 因?yàn)?nnab，所以01a 若001a，則當(dāng)302log1na時，0231na， 則0213na，這與“對任意的*nn，均有0nnaba”矛盾， 所

37、以01a =，即 a的最小值為 1 （3）因?yàn)閿?shù)列 na是首項(xiàng)為 1，公差為()rd d 的等差數(shù)列， 無窮數(shù)列 nb是首項(xiàng)為 2，公比為()*nq q的等比數(shù)列， 所以()111naanddnd=+=+ ，112nnnbbqqq=， 設(shè)1da=，20bq=， 22 / 28 則nadna=+，nnbbq=，*nn 數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a，即存在正常數(shù) a， 使得對任意的*nn，均有nnaba （）當(dāng)0d =，1q =時，1 21 1nnab= ，取1a =， 則nnaba，數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a； （）當(dāng)0d =，2q 時，假設(shè)數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )

38、p a， 則存在正常數(shù) a，使得對任意的*nn，均有nnaba 因?yàn)閚nnnbaab， 所以，對任意的*nn，nnbaa， 即1nbqa +，1naqb+， 所以1logqanb+， 這與“對任意的*nn，均有nnbaa”矛盾，不合； （）當(dāng)0d ，1q =時，假設(shè)數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a， 則存在正常數(shù) a，使得對任意的*nn，均有nnaba 因?yàn)閚nnnabab， 所以，對任意的*nn，nnaba， 即2naa+，2dnaa+， 所以2dnaa+，2aand+， 這與“對任意的*nn，均有nnaba”矛盾，不合； （）當(dāng)0d ，2q 時，假設(shè)數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p

39、 a， 則存在正常數(shù) a，使得對任意的*nn，均有nnaba 因?yàn)閚nnnbaab， 23 / 28 所以，對任意的*nn，nnbaa， 所以nbqdnaad naa+， 所以ndaaqnbb+， 設(shè)0db=，0aab+=， 則對任意的*nn，nqn+ 因?yàn)椋?nnq ， 所以，對任意的*nn，2nn+， 下面先證明：存在1n ，當(dāng)nn時，22nn 即證ln22ln0nn 設(shè)( )()ln0f xxx x=，則( )11222xfxxxx=， 所以()0,4x時，( )0fx，( )fx在區(qū)間()0,4上遞增， 同理( )fx在區(qū)間()4,+上遞減， 所以( )( )max4ln420f xf

40、=， 所以ln xx 因此，()()ln22lnln22ln22xxxxxx=， 所以，當(dāng)22ln2x時，ln22ln0 xx， 設(shè)22ln2n=，則當(dāng)xn時，ln22ln0 xx， 即當(dāng)nn時，22nn，又2nn+， 所以2nn+，即20nn， 解得2402n+， 24 / 28 這與對任意的*nn，2nn+矛盾，不合 綜上所述，數(shù)列 na與 nb具有關(guān)系( )p a的充要條件為0d =，1q = 【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的應(yīng)用，涉及導(dǎo)數(shù)的方法求最值，以及反證思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大. 第第卷（附加題，共卷（附加題，共 40 分）分） 【選做題】本題包括【選做題】本題包

41、括 a，b，c三小題，請選定其中兩題作答，每小題三小題，請選定其中兩題作答，每小題 10 分共計(jì)分共計(jì) 20 分，解分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 a選修選修 42：矩陣與變換：矩陣與變換 21. 已知二階矩陣m的逆矩陣1213122=m （1）求矩陣m； （2）設(shè)直線:4l x = 在矩陣m對應(yīng)的變換的作用下得到直線l，求l的方程 【答案】（1）1234m=；（2）240 xy=. 【解析】 【分析】 （1）利用逆矩陣的計(jì)算公式可求得矩陣m； （2）設(shè)直線l上一點(diǎn)(),p x y，則直線l上一點(diǎn)(),px y，根據(jù)矩陣的乘法可計(jì)算得出232

42、2xyxyyx=，代入4x = ，化簡可得出直線l的方程. 【詳解】（1）由1213122=m，知其行列式為：13121222 = 得112111222334221122m=； （2）設(shè)直線l上一點(diǎn)(),p x y，則直線l上一點(diǎn)(),px y， 25 / 28 在矩陣m的作用變換下，1223434xxxyyyxy+ = + ， 所以234xxyyxy=+=+，所以2322xyxyyx= 4x = ，24yx= ，即直線l的方程為240 xy= 【點(diǎn)睛】本題考查二階逆矩陣的求解，同時也考查了矩陣變換，考查計(jì)算能力，屬于中等題. b選修選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 22. 已知

43、直線 p的參數(shù)方程為x82tty= +=（t 為參數(shù)）,曲線 c的參數(shù)方程為22,2 2xsys =（s為參數(shù)）設(shè) p為曲線 c 上的動點(diǎn)，求點(diǎn) p 到直線 l的距離的最小值. 【答案】4 55. 【解析】 【詳解】直線l的普通方程為280 xy+=. 因?yàn)辄c(diǎn)p在曲線c上，設(shè)()22,2 2pss， 從而點(diǎn)p到直線l的距離()()()222222424 28512sssd+=+ ， 當(dāng)2s =時，min4 55d=. 因此當(dāng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為()4,4時，曲線c上點(diǎn)p到直線l的距離取到最小值4 55. c選修選修 45：不等式選講：不等式選講 23. 已知：a，b，c+r且231abc+=，求證：222114abc+ 【答案】證明見解析. 【解析】 【分析】 構(gòu)造柯西不等式，即可得出結(jié)果. 26 / 28 【詳解】由柯西不等式，得() ()()22222221231231