直線一級倒立擺的課程設(shè)計(jì)

1、目錄摘要31一階倒立擺的概述41.1倒立擺的起源與國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀41.2倒立擺系統(tǒng)的組成51.3倒立擺的分類：51.4倒立擺的控制方法：51.5本文研究內(nèi)容及安排61.6系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為：62一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立72.1概述72.2數(shù)學(xué)模型的建立82.3一階倒立擺的狀態(tài)空間模型：112.4實(shí)際參數(shù)代入：123定量、定性分析系統(tǒng)的性能133.1，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析133.2 對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析：154狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)164.1反饋控制結(jié)構(gòu)164.2單輸入極點(diǎn)配置174.3利用MATLAB編寫程序205系統(tǒng)的仿真研究，校驗(yàn)與分析225.1使用Matlab中的SIMULINK仿真

2、226設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器，討論帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的性能。266.1觀測器的設(shè)計(jì)思路：266.2利用MATLAB進(jìn)行編程276.3狀態(tài)觀測器的仿真29小結(jié)32參考文獻(xiàn)：33摘要倒立擺是進(jìn)行控制理論研究的典型實(shí)驗(yàn)平臺。倒立擺也是機(jī)器人技術(shù)，控制理論，計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域，多種技術(shù)的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又是一個(gè)絕對不穩(wěn)定，多變量，強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)。可以作為一個(gè)典型的被控對象對其進(jìn)行研究。最初的研究開始于二十世紀(jì)50年代，專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)出一級倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備。近年來，新的控制方法不斷出現(xiàn)，人們試圖通過倒立擺的一個(gè)典型的控制對象，檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理多變量，非線性和

3、絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力，從而從中找出好的控制方法。倒立擺不僅僅是一種優(yōu)秀的教學(xué)實(shí)驗(yàn)儀器，同時(shí)也是進(jìn)行控制理論研究的理想實(shí)驗(yàn)平臺。倒立擺的研究不僅具有深刻的理論意義，還有重要的工程背景，在多種控制理論與方法的研究中，特別是在工程實(shí)踐中，也存在一種可行性的實(shí)驗(yàn)問題，使其理論與方法得到有效檢驗(yàn)，倒立擺就能為此提供一個(gè)從理論通往實(shí)踐的橋梁，目前，對倒立擺的研究也引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，是控制領(lǐng)域的熱門課題之一。1一階倒立擺的概述1.1倒立擺的起源與國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀倒立擺的最初研究開始于二十世紀(jì)五十年代，麻省理工學(xué)院的控制理論專家根據(jù)火箭助推器原理設(shè)計(jì)出來一級倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備。倒立擺作為一個(gè)典型的不穩(wěn)定，

4、嚴(yán)重非線性例證被正式提出于二十世紀(jì)六十年代后期。國內(nèi)，在倒立擺系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺先后出現(xiàn)了多種控制算法。用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)的比例微分控制器來實(shí)現(xiàn)單機(jī)倒立擺的穩(wěn)定控制；利用最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)雙電機(jī)三集倒立擺實(shí)物控制；用變結(jié)構(gòu)方法實(shí)現(xiàn)倒立擺的控制。用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)模糊控制器的輸入輸出的對比，引起其他學(xué)者的關(guān)注，之后不斷出現(xiàn)實(shí)時(shí)學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法來控制倒立擺。圖1 一級倒立擺1.2倒立擺系統(tǒng)的組成倒立擺系統(tǒng)由計(jì)算機(jī)，運(yùn)動(dòng)控制卡，伺服機(jī)構(gòu)，傳感器和倒立擺本體五部分構(gòu)成。1.3倒立擺的分類：1，根據(jù)擺桿數(shù)目的不同，可以把倒立擺分為一級，二級和三級倒立擺等2，根據(jù)擺桿間連接形式不同，可以把倒立擺系統(tǒng)分為并聯(lián)式倒

5、立擺和串聯(lián)式倒立擺；3根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌道的不同，可以把倒立擺系統(tǒng)分為傾斜軌道倒立擺和水平軌道倒立擺；4根據(jù)控制電機(jī)的不同，可以把倒立擺分為多電機(jī)倒立擺和單電機(jī)倒立擺5根據(jù)擺桿與小車的連接方式不同，可以把倒立擺分為剛性擺和柔性擺6根據(jù)運(yùn)動(dòng)方式不同，可以把倒立擺分為平面倒立擺，直線倒立擺和旋轉(zhuǎn)倒立擺。1.4倒立擺的控制方法：1）PID控制：該方法出現(xiàn)的最早，首先是對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行力學(xué)分析，并在牛頓定律基礎(chǔ)上得到運(yùn)動(dòng)方程，然后在平衡點(diǎn)附近對其進(jìn)行線性化求出傳遞函數(shù)，最后在要求系統(tǒng)的特征方程應(yīng)有全部左半平面的根的條件下，設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)控制器。2）狀態(tài)反饋控制：極點(diǎn)配置法是在動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性都滿足的條件下，將

6、多變量閉環(huán)倒立擺系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的位置上，來設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器3）線性二次型最優(yōu)控制（LQR）LQR最優(yōu)控制是通過尋找最佳狀態(tài)反饋控制規(guī)律使期望的性能指標(biāo)達(dá)到最小。1.5本文研究內(nèi)容及安排倒立擺的控制算法多種多樣，各種方法都有其各自的領(lǐng)域及重點(diǎn)，通過算法的比較，可以看出它們彼此之間的一些優(yōu)缺點(diǎn)。本課程設(shè)計(jì)的被控對象采用固高公司生產(chǎn)的GIP-100-L型一階倒立擺系統(tǒng)，選取穩(wěn)定控制算法中的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)，在分析了倒立擺的受力情況后，建立理論模型，由此推倒出系統(tǒng)的狀態(tài)方程，并且對系統(tǒng)的性能進(jìn)行定量、定性分析。配制出理想極點(diǎn)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使得當(dāng)在小車上施加1N的脈沖信號時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的

7、響應(yīng)滿足性能指標(biāo)要求。對設(shè)計(jì)的系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究、校驗(yàn)與分析，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器，討論帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的性能。1.6系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為：小車質(zhì)量 0.5 Kg ；擺桿質(zhì)量0.2 Kg ；小車摩擦系數(shù)0.1 N/m/sec ； 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度0.3 m ；擺桿慣量0.006 kg*m*m ；采樣時(shí)間0.005秒。2一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立2.1概述倒立擺系統(tǒng)其本身是自不穩(wěn)定系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一些問題和困難，在忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以再慣性坐標(biāo)系中運(yùn)用經(jīng)典力學(xué)對它進(jìn)行分析，來建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。在忽略掉了空氣阻力和各種摩擦力之后，可以講

8、一階倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和均勻桿組成的系統(tǒng)，一階倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如下：圖2 一階倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖定義的參數(shù)為： 小車質(zhì)量 擺桿質(zhì)量 小車摩擦系數(shù) 擺桿慣量 加在小車上的力 小車位置 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度 擺桿與垂直向下方向的夾角（擺桿初始位置為豎直向下）得到小車和擺桿的受力圖：圖3 小車和擺桿的受力圖2.2數(shù)學(xué)模型的建立運(yùn)用牛頓定理分析受力得到下列方程：（2-1）由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： （2-2）求導(dǎo)得到： （2-3）代入第一個(gè)方程得到： （2-4）在擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析得到方程： （2-5） 即： （2-6）力矩平衡

9、方程： （2-7）又因?yàn)闉閿[桿與垂直向下方向的夾角（擺桿初始位置為豎直向下），為擺桿與垂直向上方向的夾角，由和關(guān)系得合并這兩個(gè)方程，約去 P和 N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： （2-8）微分方程的建立：因?yàn)?，假設(shè) <<1弧度，則可以進(jìn)行近似處理：來實(shí)現(xiàn)線性化。用上述近似進(jìn)行線性化得直線一階倒立擺的微分方程為： （2-9）一階倒立擺的傳遞函數(shù)模型：對上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得：（2-10）推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0。由于輸出為角度，求解方程組的第一個(gè)方程，可得：（2-11）或 （2-12）如果令，則有： （2-13）把上式代入方程組（2-1）的第二個(gè)方程，得： （2-14）整理后得到傳

10、遞函數(shù)：（2-15）其中。2.3一階倒立擺的狀態(tài)空間模型：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： （2-16）方程組（2-9）對解代數(shù)方程，得到解如下：（2-17）整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：（2-18）（2-19）2.4實(shí)際參數(shù)代入：GIP-100-L型一階倒立擺系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為：小車質(zhì)量 0.5 Kg ；擺桿質(zhì)量0.2 Kg ；小車摩擦系數(shù)0.1 N/m/sec ； 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度0.3 m ；擺桿慣量0.006 kg*m*m ；采樣時(shí)間0.005秒。將上述參數(shù)代入得實(shí)際模型：擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：（2-20）擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： （2-21）以外界作用力

11、作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：（2-22）3定量、定性分析系統(tǒng)的性能3.1，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析在MATLAB中運(yùn)行以下程序： A= 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0;B= 0 1.818182 0 4.545455'C= 1 0 0 0; 0 0 1 0;D= 0 0 'z,p,k=ss2zp(A,B,C,D)z = -4.9497 0.0000 + 0.0000i 4.9497 0.0000 - 0.0000ip = 0 -5.6041 -0.1428 5.5651k = 1.81

12、82 4.5455>> impulse(A,B,C,D）圖4 系統(tǒng)脈沖響應(yīng)由圖可得，系統(tǒng)在單位脈沖的輸入作用下，小車的位移和擺桿的角度都是發(fā)散的，同時(shí)，由以上程序的零極點(diǎn)得極點(diǎn)有一個(gè)大于零，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.2 對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析： A= 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0;B= 0 1.818182 0 4.545455'C= 1 0 0 0; 0 0 1 0;D= 0 0 '>> Qc=ctrb(A,B);>> Qo=obsv(A,C);

13、>> rank(Qc)ans = 4>> rank(Qo)ans = 4因此系統(tǒng)為完全能觀測和完全能控的。4狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)4.1反饋控制結(jié)構(gòu)設(shè)系統(tǒng)為，其中x，u，y分別為n維狀態(tài)變量，m維輸入向量和p維輸出向量；A,B,C分別為n*n，n*m，p*n矩陣當(dāng)將系統(tǒng)的控制量u取成狀態(tài)變量的線性函數(shù)u=v+Kx稱之為線性直接狀態(tài)反饋，其中v為m維參考輸入向量，K為m*n矩陣，成為反饋增益矩陣。得到采用狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：得出結(jié)論引入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的輸出方程沒有變化，狀態(tài)反饋將開環(huán)系統(tǒng)方程式中的系數(shù)矩陣A，變成了閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程中的（A+BK），特征方程從

14、變?yōu)榱耍梢钥闯鰻顟B(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)特征跟不僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，而且與狀態(tài)反饋增益矩陣K有關(guān)，正是利用這一點(diǎn)進(jìn)行配置。4.2單輸入極點(diǎn)配置控制系統(tǒng)的品質(zhì)很大程度上取決于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上的位置，因此在對系統(tǒng)進(jìn)行綜合討論是，往往給出一組期望的極點(diǎn)，或根據(jù)時(shí)域指標(biāo)提出一組期望的極點(diǎn)，所謂極點(diǎn)配置問題就是通過對反饋增益矩陣的設(shè)計(jì)，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)處于復(fù)平面所期望的位置，以獲得理想的動(dòng)態(tài)特性。由于用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置只涉及系統(tǒng)的狀態(tài)方程，與輸出方程無關(guān)，因此設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，是由n個(gè)復(fù)數(shù)組成的集合，如果A中的復(fù)數(shù)總是共軛成對出現(xiàn)，則稱A為對稱復(fù)數(shù)集合，對于任意對稱復(fù)數(shù)集

15、合，如果存在狀態(tài)反饋U=kx+v 其中，k為1*n常數(shù)陣，再次反饋?zhàn)饔孟?，閉環(huán)系統(tǒng)為的極點(diǎn)集合為A，即責(zé)成系統(tǒng)用狀態(tài)反饋能任意配置極點(diǎn)，k稱為反饋增益陣設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器 設(shè)計(jì)要求：當(dāng)在小車上施加1N的脈沖信號時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度由得，.又因?yàn)樗缘玫?，又因?yàn)榕渲脴O點(diǎn)，所以得到期望的閉環(huán)極點(diǎn)為：，因此特征方程為：由系統(tǒng)的特征方程：求變換陣T，因?yàn)?得到于是根據(jù)公式有 所以得到變換矩陣T所以得到所以求得狀態(tài)反饋增益為 K =-2.5401 -4.3012 33.9233 6.0805因此所求的狀態(tài)反饋為U=kx+v=

16、-2.54 -4.30 33.92 6.08x+v4.3利用MATLAB編寫程序A= 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0;B= 0 1.818182 0 4.545455'C= 1 0 0 0; 0 0 1 0;D= 0 0 'J=-9 0 0 0;0 -9 0 0;0 0 -1+0.63i 0;0 0 0 -1-0.63i;pa=poly(A);pj=poly(J);Qc=B A*B A2*B A3*B;F=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;p

17、a(2) 1 0 0;1 0 0 0;T=Qc*FK=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(T)Ac=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;sys=ss(Ac,Bc,Cc,Dc);Tc=0:0.005:5;y,Tc,X=impulse(sys,Tc);plot(Tc,X(:,1),'-');hold on;plot(Tc,X(:,2),'-.');hold on;plot(Tc,X(:,3),':');hold on;plot(Tc,X(:,4),'-')l

18、egend('小車位置曲線','小車速度曲線','擺桿角度曲線','擺桿速度曲線')T = -44.5455 -0.0000 1.8182 0 -0.0000 -44.5455 -0.0000 1.8182 -0.0000 -0.0000 4.5455 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 4.5455K = -2.5401 -4.3012 33.9233 6.0805圖5 系統(tǒng)脈沖響應(yīng)曲線 由上圖可以看出，小車位置曲線在4S內(nèi)可以很好的回到平衡位置，在脈沖干擾的情況下，小車的擺桿角度變化小于0.1弧度，滿足設(shè)計(jì)要求

19、。5系統(tǒng)的仿真研究，校驗(yàn)與分析5.1使用Matlab中的SIMULINK仿真Simulink是MATLAB最重要的組件之一，它提供一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標(biāo)操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)。Simulink具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰及仿真精細(xì)、貼近實(shí)際、效率高、靈活等優(yōu)點(diǎn)，并基于以上優(yōu)點(diǎn)Simulink已被廣泛應(yīng)用于控制理論和數(shù)字信號處理的復(fù)雜仿真和設(shè)計(jì)。同時(shí)有大量的第三方軟件和硬件可應(yīng)用于或被要求應(yīng)用于Simulink。Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具， 是一種基于MATLAB的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境，是實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)

20、系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個(gè)軟件包，被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。Simulink可以用連續(xù)采樣時(shí)間、離散采樣時(shí)間或兩種混合的采樣時(shí)間進(jìn)行建模，它也支持多速率系統(tǒng)，也就是系統(tǒng)中的不同部分具有不同的采樣速率。為了創(chuàng)建動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型，Simulink提供了一個(gè)建立模型方塊圖的圖形用戶接口(GUI) ，這個(gè)創(chuàng)建過程只需單擊和拖動(dòng)鼠標(biāo)操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。 Simulink是用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和嵌入式系統(tǒng)的多領(lǐng)域仿真和基于模型的設(shè)計(jì)工具。對各種時(shí)變系統(tǒng)，包括通訊、控制、信號處理、視頻處理和圖像處理系統(tǒng)，Si

21、mulink提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫來對其進(jìn)行設(shè)計(jì)、仿真、執(zhí)行和測試。. 構(gòu)架在Simulink基礎(chǔ)之上的其他產(chǎn)品擴(kuò)展了Simulink多領(lǐng)域建模功能，也提供了用于設(shè)計(jì)、執(zhí)行、驗(yàn)證和確認(rèn)任務(wù)的相應(yīng)工具。Simulink與MATLAB緊密集成，可以直接訪問MATLAB大量的工具來進(jìn)行算法研發(fā)、仿真的分析和可視化、批處理腳本的創(chuàng)建、建模環(huán)境的定制以及信號參數(shù)和測試數(shù)據(jù)的定義。圖6 狀態(tài)反饋控制器仿真圖 圖7 擺桿角度變化曲線圖8 小車位置曲線圖9 小車速度曲線 圖10 擺桿速度曲線采用狀態(tài)反饋控制器后，系統(tǒng)的性能達(dá)到了設(shè)計(jì)的要求。系統(tǒng)能夠在4S內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，擺桿擺動(dòng)的角度也小于0.1弧度

22、。6設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器，討論帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的性能。6.1觀測器的設(shè)計(jì)思路：狀態(tài)觀測器實(shí)質(zhì)上是一個(gè)狀態(tài)估計(jì)器，它是利用被控對象的輸入變量U和輸出Y對系統(tǒng)的狀態(tài)x進(jìn)行估計(jì)，從而解決某些狀態(tài)變量不能直接測量的難題?？紤]線性定常系統(tǒng)：構(gòu)造的狀態(tài)觀測器，輸入是輸出Y和輸入U(xiǎn)的綜合。其輸出為Z使，則Z可以作為X的估計(jì)值，從而實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)。為了得到估計(jì)值Z，一個(gè)很自然的想法是用模擬部件去再實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)式，構(gòu)造系統(tǒng)式的模擬系統(tǒng)：由于上式是構(gòu)造的，所以Z都是可測量的信息，若以Z去做為X的估計(jì)值，則其估計(jì)誤差為，則誤差滿足方程：如果上式不穩(wěn)定，則當(dāng)，有z不能作為x的估計(jì)值，因此上式不能作為一個(gè)觀測器。因此采

23、取措施利用輸出估計(jì)的誤差Cz-y作為反饋，此時(shí)構(gòu)造的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：其中Kz反饋增益陣的估計(jì)誤差ez方程為：如果選擇合適的Kz，使得上式穩(wěn)定，則有，因此Z可以用為X的估值，因此可以作為線性定常系統(tǒng)的一個(gè)觀測器。6.2利用MATLAB進(jìn)行編程> A= 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0;B= 0 1.818182 0 4.545455'C= 1 0 0 0; 0 0 1 0;D= 0 0 'b1=1 0 0 0'b2=0 0 1 0'E=0 0 0 0;Ac=A'Cc=B'Bc=C'Dc=0;J= -2; -2; -3;-3;Z,P,K=ss2zp(Ac,b2,Cc,Dc);num,den=ss2tf(Ac,b2,Cc,Dc);num,denf=zp2tf(Z,J,K);Q=b1,Ac*b1,b2,Ac*b2;S=0 0 0 0;0 1 0 0;K1=S*inv(Q);T=0 0 0 1*inv(Q);K11=den(:,5)-denf(:,5);K12=den(:,4)-denf(:,4);K13=den(:,3)-denf(:,3);K14=den(: